天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题（含解析）

天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.4.已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.5.在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（）A3 B.2 C.1 D.06.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n层的各层的球数构成一个数列anA.241 B.231 C.213 D.1927.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（）A B. C. D.8.若，则（）A.1 B.2 C.3 D.49.设函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则下列说法正确的是（）A.的图象过点B.在上单调递减C.的一个对称中心是D.将图象向左平移个单位长度得到函数的图象10.已知函数是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，若且则的值（）A.恒等于 B.恒小于 C.恒大于 D.无法判断11.函数在区间上存在极值点，则整数k的值为A.，0 B.，1 C. D.，012.已知函数满足，在区间[a，2b]上的最大值为，则b为A.ln3 B. C. D.l二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13.若复数，则__________．14.若正数，满足，则的最小值为______.15.定义在R的函数y=fx，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；②函数y=fx③函数y=fx④函数y=fx⑤函数y=的图象与直线y=有三个交点，16.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为________．17.已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为______.18.在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则最小值为______.三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求的值；（3）若为的中点，且，求的面积.20.已知等比数列是递增数列，且，.（1）求通项公式；（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数取值范围.天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为，，所以.故选：D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.【详解】由，解得或，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由函数图象的特殊点以及单调性逐一判断可得解.【详解】由图象可知，故BD不成立；对于A选项：，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，不符合图象，故A不成立；故选：C4.已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据奇函数的性质得到，，再比较，，的大小关系，最后结合函数的单调性判断即可.【详解】奇函数在上是减函数，则，所以，，因为，，又，所以，所以，则，故.故选：B5.在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（）A.3 B.2 C.1 D.0【正确答案】A【分析】用去换中的，得，相加即可得数列的周期，再利用周期性运算得解.【详解】由题意得，用替换式子中的，得，两式相加可得，即，所以数列an是以6为周期的周期数列.又，，.所以数列an的前2024项和.故选：A.6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n层的各层的球数构成一个数列an，则第21层的球数为（A.241 B.231 C.213 D.192【正确答案】B【分析】依题意写出前几项即可发现规律.【详解】设，由，，，…，可知为等差数列，首项为2，公差为1，故，故，则，，，…，，累加得，即，显然该式对于也成立，故．故选：B7.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.【详解】分别取，的中点，，连接，，过点作的垂线，垂足为，因为，,所以，所以，根据对称性易得，所以，在中，，所以，，又，所以.故选：D．8.若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【详解】,所以原式，故选C.点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用.本题主要考查两角和与差的公式.9.设函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则下列说法正确的是（）A.的图象过点B.在上单调递减C.的一个对称中心是D.将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象【正确答案】D【分析】由周期求出，再由对称轴求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】函数的最小正周期是，所以，则，图象关于直线对称，所以，解得，因为，所以当时，，则，当时，，故A错误；由，所以，因为在上不单调，所以在上不单调，故B错误；因为，所以不是一个对称中心，故C错误；因为，将的图象向左平移个单位长度得到：，所以能得到的图象，故D正确.故选：D.10.已知函数是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，若且则的值（）A.恒等于 B.恒小于 C.恒大于 D.无法判断【正确答案】C【分析】根据函数是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，得到，确定函数为奇函数，单调递增，故，得到答案.【详解】函数是幂函数，则，解得或.当时，，在(0,+∞)上为减函数，排除；当时，，在(0,+∞)上增函数，满足；，函数为奇函数，故在上单调递增.，故，，故.故选.本题考查了幂函数的定义，根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.11.函数在区间上存在极值点，则整数k的值为A.，0 B.，1 C. D.，0【正确答案】C【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解的值即可．【详解】函数，可得，当和(0,+∞)时，，当时，，则在和(0,+∞)上单调递增，在上单调递减．若在上无极值点，则或或，，，．时，在上无极值点，，，时，在上存在极值点．因为是整数，故或，故选：．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题．12.已知函数满足，在区间[a，2b]上的最大值为，则b为A.ln3 B. C. D.l【正确答案】C【分析】函数图象结合单调性可解.【详解】,函数在上单调递增，所以,所以在区间上的最大值为，解得故选：C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13.若复数，则__________．【正确答案】【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.【详解】,故14.若正数，满足，则的最小值为______.【正确答案】5【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得.【详解】正数，满足，，当且仅当即且时取等号，故的最小值为5.故515.定义在R函数y=fx，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；②函数y=fx值域为R③函数y=fx④函数y=fx⑤函数y=的图象与直线y=有三个交点，【正确答案】①③④【分析】利用奇偶性单调性结合函数图象求解.【详解】①当时所以成立，正确②函数的图像可能都在轴上方，值域不是R，故错误③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶，正确④函数可能是增函数，也可能是减函数，也可能不是单调函数，正确⑤函数的图像与直线有可能只有一个交点（原点），也可能有两个，也可能有三个交点，错误.故①③④．16.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为________．【正确答案】【详解】试题分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为，所以其比表面积的最小值为.考点：几何体的外接球，基本不等式.17.已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为______.【正确答案】或【分析】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案.【详解】令，当时，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；……作出函数的部分图象如下，因为零点个数为2，所以的图象与的图象的公共点个数为2，由图可知，或.故或18.在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为______.【正确答案】【分析】由题意可得，，进一步化为，再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值．【详解】由题意，，，所以，，又动点和分别在线段和上，且，，所以，解得，，当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，故．三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求的值；（3）若为的中点，且，求的面积.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案.（2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案.（3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案.【小问1详解】，由正弦定理，得，，，，【小问2详解】，，，【小问3详解】中，由余弦定理，得，，中，由余弦定理，得，，联立，得，，代入，解得，的面积.20.已知等比数列是递增数列，且，.（1）求通项公式；（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由等边数列的通项与前项和列式