2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期10月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期10月月考数学检测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.2.已知函数，则的定义域为（）A. B. C.且 D.且3.若，则下列正确的是（）A B. C. D.4.函数的大致图象是（）A B.C. D.5.使“”成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.或6.已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（）A. B. C. D.7.命题“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N+，有n<2x+1B.∀x∈R，∀n∈N+，有n<2x+1C.∃x∈R，∃n∈N+，使n<2x+1D.∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+18.设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分.9.已知为正数，且，则下列说法正确的是（）A.有最小值2 B.有最大值2C.有最小值2 D.有最大值210.已知命题是真命题，则下列说法正确的是（）A.命题“”是假命题B.命题“”是假命题C.“”是“命题为真命题”充分不必要条件D.“”是“命题为真命题”的必要不充分条件11.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转换为集合问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（）A.的图象是轴对称图形B.的值域是C.先递减后递增D.方程有且仅有一个解三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.12.集合的子集个数为__________个.13.已知一元二次不等式解集为，则________.14.函数满足：对任意的都有，且，若恒成立，则的最小值为___________.四、简答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设集合，，或x>2.（1）当时，求；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.16.某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元.（1）写出总造价与间的关系；（2）水池的最低总造价是多少？并求出总造价最低时的值.17.已知命题：“，使得”为真命题．（1）求实数m的取值的集合A；（2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18.函数（1）时，求方程的解；（2）求在上的解集；（3）若时，①②同时成立，求的取值范围.①恒成立；②函数的值域为.19.对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.（1）判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期10月月考数学检测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】运用集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意知：，对于D，集合的表示有误；故选：B.2.已知函数，则的定义域为（）A. B. C.且 D.且【正确答案】B【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得.【详解】函数有意义，则，解得，所以的定义域为.故选：B3.若，则下列正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用不等式及其性质逐项判断即可.【详解】对A，因为，所以，所以不等式两边同时除以得：，故A错误；对B，由，若，则，故B错误；对C，因为，所以不等式两边同时同时乘以得：，故C正确；对D，因为，所以不等式两边同时乘以得：，故D错误.故选：C.4.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】探讨函数的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.【详解】函数的定义域为，选项C，D不满足，因，则函数在，上都单调递增，B不满足，则A满足.故选：A方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.5.使“”成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.或【正确答案】C【分析】先解不等式，根据不等式的解集以及必要不充分条件的定义即可求解.【详解】不等式可化为，解得，根据题意成立，反之不成立，所以是成立的必要不充分条件.故选：C6.已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小.【详解】因为、为互不相等的正实数，所以由重要不等式可得，则，所以，，则，由基本不等式可得，所以，因此，最大的数为.故选：C.7.命题“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N+，有n<2x+1B.∀x∈R，∀n∈N+，有n<2x+1C.∃x∈R，∃n∈N+，使n<2x+1D∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1【正确答案】D【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的、，然后把结论否定，即可确定答案【详解】条件中的、，把结论否定∴“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1”故选：D本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的、且否定原结论8.设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【正确答案】D【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数在处取得最大值.根据已知即可列出关系式，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，.因为，所以，解得，所以.因为在上单调递减，在上单调递增，所以，在处取得最小值，所以，在处取得最大值，所以，函数在处取得最大值.因为，所有点构成一个正方形区域，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分.9.已知为正数，且，则下列说法正确的是（）A.有最小值2 B.有最大值2C.有最小值2 D.有最大值2【正确答案】AC【分析】利用基本不等式和重要不等式求和的最小值.【详解】为正数，且，则有，，当且仅当时等号成立，所以有最小值2，有最小值2.故选：AC.10.已知命题是真命题，则下列说法正确的是（）A.命题“”是假命题B.命题“”是假命题C.“”是“命题为真命题”的充分不必要条件D.“”是“命题为真命题”的必要不充分条件【正确答案】BCD【分析】由命题的否定判断AB选项；分离变量法求出为真命题时的取值范围，再根据充分必要条件的概念判断CD.【详解】不能否定，A选项错误；命题是真命题，则是假命题，故B选项正确；，则当时，，由，当且仅当，即时等号成立，所以是命题是真命题的充要条件.时有，时不一定有，“”是“命题为真命题”的充分不必要条件，C选项正确；时不一定有，时一定有，“”是“命题为真命题”的必要不充分条件，D选项正确.故选：BCD11.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转换为集合问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（）A.的图象是轴对称图形B.的值域是C.先递减后递增D方程有且仅有一个解【正确答案】AC【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项．【详解】依题意，，对于A，，则的图象是轴对称图形，A正确；对于B，设，，，则，如图，线段轴，当时，，即，又，而不可能共线，即，因此，B错误；对于C，设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则，，则，即，而在轴上点的右侧，，因此，即于是点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确；对于D，，，设，则的解是和，有一个解，由，得，两边平方解得或，因此有三个解，D错误．故选：AC思路点睛：将题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，利用数形结合使得较为复杂的函数问题得到解决.三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.12.集合的子集个数为__________个.【正确答案】4【分析】根据“集合中有个元素，子集个数为”可得结果.【详解】∵集合中元素个数为2，∴集合的子集个数为.故4.13.已知一元二次不等式的解集为，则________.【正确答案】【分析】根据一元二次不等式的解以及根与系数关系列方程组，由此求得的值.【详解】由于一元二次不等式的解集为，所以，解得.故14.函数满足：对任意的都有，且，若恒成立，则的最小值为___________.【正确答案】【分析】根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转化为，利用函数的单调性得，分离参数，结合基本不等式求的最小值.【详解】∵对任意的都有，∴在上为增函数，令，则在上为增函数.∵，∴，∴不等式可转化为，∴，∴，即令，则，，∵（当且仅当，即时取等号），∴，∴，∴，的最小值为.故答案为.思路点睛：本题考查构造函数解决不等式问题，具体思路如下：根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转化为，利用函数的单调性得，分离参数得，转化为，令，利用换元法结合基本不等式求的最小值.四、简答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合，，或x>2.（1）当时，求；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合；（2）分析可知，结合题意可知集合中的唯一的整数为，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，，又因为，则.【小问2详解】解：因，或，因为只有一个整数，则，所以，解得，由题意可知，且，则集合中的唯一的整数为，所以，解得.因此，实数的取值范围是.16.某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元.（1）写出总造价与间的关系；（2）水池的最低总造价是多少？并求出总造价最低时的值.【正确答案】（1）；（2），【分析】（1）根据题意列出底面积与侧面积，再根据每平米造价即可表示出总造价.（2）利用基本不等式求其最小值即可.【小问1详解】根据题意可知，，则，又根据题意，总造价【小问2详解】由（1），当且仅当时，等号成立，故水池的长和宽均为时，总造价最低，最低值为元.17.已知命题：“，使得”为真命题．（1）求实数m的取值的集合A；（2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）或；（2）．【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【小问1详解】命题“，使得”为真命题，所以，即，解之得或，所以实数m的取值的集合或；；【小问2详解】不等式的解集为，因为是的必要不充分条件，所以，则或，所以或，故实数a的取值范围为．18.函数（1）时，求方程的解；（2）求在上的解集；（3）若时，①②同时成立，求的取值范围.①恒成立；②函数的值域为.【正确答案】（1）或（2）答案见解析（3）【分析】（1）根据分段函数解析式来求得方程的解.（2）对进行分类讨论，由此求得不等式在上的解集.（3）根据不等式恒成立以及函数的值域列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】当时，，所以或，解得或【小问2详解】当时，，当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.【小问3详解】当时，①，，而，当且仅当时等号成立，所以.②函数的值域为，当时，，，不符合.当，二次函数的开口向下，不符合值域为，当时，二次函数开口向上，对称轴，要使的值域为，则需，解得.综上所述，的取值范围是.方法点睛：分段函数的解法：对于小问1，通过分段讨论函数的解析式，分别求解各个区间上