《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 13-1 函数的差分与差分方程的基本概念

第十三章差分方程第一节函数的差分与差分方程的基本概念一、差分的概念二、差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构四、小结引例某商家经营一种产品，记第t月初的存货量是则ΔR(t)记录的就是商家相邻两月库存量的改变量.如果记R(t)，第t月的进货量和出售量分别是P(t)和Q(t),则第

一、函数的差分第t+1

月初的存货量是R(t+1)应是即1、差分的定义函数的差分.定义1设有函数y=f(x)，其中自变量的取值为非负整数，函数y的取值为一个序列或记为当自变量由x改变到x+1时，相应的函数值的改变量称为函数y=f(x)在点x的差分（也称为一阶差分），记为Δyx，即解：例1

解：即：常数的一阶差分为零.例2

一般地，指数函数y=ax（其中a>0且a≠1），解：例3Δyx=ax(a-1).例4解：解：例5解：例6

2、一阶差分的运算性质与导数的四则运算法则类似.一阶差分的几何意义：由差分的定义，函数y=f(x)在点x的（一阶）差分可化为表示经过点(x,yx)与点(x+1,yx+1)的直线的斜率.定义2对于函数y=f(x)，一阶差分函数Δyx的差分称为函数y=f(x)的二阶差分，记为Δ2yx，即类似地，可以定义三阶差分、四阶差分、…二阶或二阶以上的差分统称为高阶差分．解：例7说明：对于n次多项式，它的n阶差分是常数，n阶以上的差分均为零．解：例8可以看到，一阶差分Δyx可以用yx的两个相邻的值表示；二阶差分Δ2yx可以用yx的三个相邻的值表示；三阶差分Δ3yx可以用yx的四个相邻的值表示．即：n阶差分Δnyx是函数yx的n+1个相邻值的线性组合.定理1

设有函数yx=f(x)，则定义3含有未知函数及其差分的等式称为差分方程.它的一般形式是由定理1，yx的高阶差分可以用yx的相邻值表示，则有二、差分方程的一般概念定义4含有未知函数的相邻值的等式称为差分方程.它的一般形式是或例如:

差分方程可化为又可化为定义5差分方程中含有的未知函数yx的最大下标与最小下标的差称为该差分方程的阶.例如，二阶三阶一阶三阶定义6对于n阶差分方程若有函数ux，使得则称此函数ux为差分方程的解.若ux中含有n个相互独立的任意常数，则称此函数ux为差分方程的通解；若ux中不含有任意常数，则称此函数ux为差分方程的特解.一般地，为得到差分方程的特解（确定通解中的任意常数），需要知道一些附加的条件，即定解条件.对于n阶差分方程，常见的定解条件是以下的初始条件：初值问题：求满足给定初始条件的差分方程解的问题.其中，是已知的常数.n阶常系数线性差分方程的一般形式为三、常系数线性差分方程解的结构其中是常数，当不恒等于零时，称差分方程是非齐次的；当恒等于零时，称差分方程是齐次的，即为也是差分方程(2)的解.定理2设

是齐次线性差分方程(2)的解，则也是差分方程(2)的解，定理3

设

是齐次线性差分方程(2)的n个线性无关的解，则与齐次线性微分方程解的结构类似.是非齐次线性差分方程(1)的通解.定理4

设

是非齐次线性差分方程(1)的一个特解，Yx是方程(1)对应的齐次线性差分方程(2)的通解，则说明：“非齐次的通解”=“齐次的通解”+“非齐次的特解”.与非齐次线性微分方程解的结构类似.定理5设

分别是以下非齐次线性差分方程的特