广东省东莞市两校2024-2025学年高一上学期期中联合考试 数学 含解析

2024~2025学年度第一学期期中联合学业质量监测考试高一数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，知两集合中的元素是点，进而求出公共点，再利用集合的运算，即可求解.【详解】因为，，由，解得，所以，故选：B2.是有理数集，是实数集，命题，，则（）A.是真命题，，B.是真命题，，C.是假命题，，D.是假命题，，【答案】C【解析】【分析】根据特值可判断命题的真假，再结合命题的否定的概念可得.【详解】命题，，由，，则命题为假命题，且命题的否定为，，故选：C.3.“方程有实根”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由得到有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案.【详解】有实数根，故，解得或，由于是的真子集，故“方程有实根”是“”的必要不充分条件.故选：B4.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得，解得且且，故定义域为.故选：D5.函数在上的最小值为（）A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由反比例函数的性质判断的单调性即可得出答案.【详解】因为在上单调递减，所以当时取最小值为.故选：B．6.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解.【详解】因为是减函数，所以，因为在上单调递增，又，所以，又是增函数，所以，则，故选：A.7.若在上是减函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式组，解不等式即可.【详解】由已知函数在上单调递减，当时，单调递减，则，当时，单调递减，则，即，又结合分段函数可知，综上所述.故选：D.8.已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用乘1法即得.【详解】∵，∴，当且仅当,即，时，取等号.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于选项A，若，时，推不出，所以选项A错误，对于选项B，由，得到，又，所以，即，所以可以推出，由选项A知推不出，所以是充分不必要条件，故选项B正确，对于选项C，易知可以推出，取，显然满足，但不满足，即推不出，所以是的充分不必要条件，故选项C正确，对于选项D，由选项C知，推不出，所以选项D错误，故选：BC.10.下列与函数有关的命题中，正确的是（）A.若，则B.若幂函数的图象经过点，则C.若奇函数在有最小值，则在有最大值D.若偶函数在是减函数，则在是增函数【答案】CD【解析】【分析】利用换元法和待定系数法分别求得AB选项函数解析式，进而可得函数值，再根据函数奇偶性可判断CD选项.【详解】A选项：，设，则，，即，，A选项错误；B选项：设幂函数，过点，则，解得，所以，则，B选项错误；C选项：由已知为奇函数，则f−x=−f在0,+∞有最小值，即，，则时，，即，即在有最大值，C选项正确；D选项：由已知为偶函数，又在0,+∞是减函数，设，，，则，，，故，故即在是增函数，D选项正确；故选：CD.11.下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A.当时，，当且仅当取等，解得或，又由，所以，故时，的最大值是.B.当时，，当且仅当取取等，解得或，又由，所以，故时，的最小值为.C.由于，当且仅当取等，故的最小值是.D.当，且时，由于，，又，当且仅当，取等，故当，且时，的最小值为.【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式的应用条件“一正，二定，三取等”分别判断各选项.【详解】A选项：满足基本不等式的应用条件，正确；B选项：不满足基本不等式的应用条件中的定值，错误；正确的为当时，，当且仅当时取等，解得或，又，所以，故当时，的最小值为；C选项：不满足基本不等式的应用条件中的取等，错误；正确的为，设，则，又函数在上单调递增，所以当即时，取最小值为，即的最小值为；D选项：选项中运用两次基本不等式，且两次的取等条件不一致，所以错误；正确的为：当，且时，，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为，故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数，则______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的定义直接计算函数值.【详解】由已知，则，所以，且，所以，故答案为：.13.函数的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解.【详解】由题意可得，即，解得：，所以函数的定义域是，是由和复合而成，因为对称轴为，开口向下，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，而单调递增，所以的单调递增区间是，故答案：.14.表示与中的较大者，设，则函数的最小值是______.【答案】0【解析】【分析】画出的图象，数形结合得到hx的最小值.【详解】令，解得或-1，令，解得或-1，画出的图象，如下：显然hx的最小值为故答案为：0四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.集合，.（1）是实数集，若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合，进而求得，利用集合的运算，即可求解；（2）根据条件得，再利用一元二次不等式的解法，对进行分类讨论，求出集合，再利用集合间的关系，即可求解.【小问1详解】当时，，由，得到，所以，得到或，由，得到，所以，得到或,所以或.【小问2详解】由，得到，又，当时，，所以，得到，当时，，满足，所以满足题意，当时，，所以，得到，综上，实数的取值范围为.16.已知函数（1）用定义法证明函数在区间上是增函数；（2）函数的定义域为，若，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解.【小问1详解】任取，且，则，又，，则，所以，得到，即，所以函数在区间上是增函数.【小问2详解】因为函数的定义域为，且在区间上是增函数，由，得到，解得或，所以实数的取值范围为或.17.幂函数的定义域是全体实数.（1）求的解析式；（2）若不等式在区间0,4上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为1，故；（2）在区间0,4上恒成立，当时，恒成立，当时，参变分离，得到在恒成立，由基本不等式求出，从而得到，得到答案.【小问1详解】由题意得，解得a=2或，当时，，此时定义域不是全体实数，故舍去；当a=2时，，满足题意；【小问2详解】在区间0,4上恒成立，即在区间0,4上恒成立，当时，恒成立，满足要求，当时，变形为在恒成立，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，解得，实数k的取值范围是.18.如图，是以为斜边的等腰直角三角形，且.动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为.（1）求的解析式；（2）设，证明：是奇函数.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数的解析式；（2）由（1）中结果，结合条件得，再利用奇偶函数的判断方法，即可证明结果.【小问1详解】因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，得到，所以，当时，，当时，，当时，，所以.【小问2详解】因为，由（1）知，所以，当时，，则，当时，，则，当时，，，所以，故，又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数.19.已知函数是上的奇函数，（1）求实数的值；（2）求函数的值域.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，可得，再利用条件，可求得，即可求解；（2）利用函数单调性定义得到在区间上单调递减，从而得到，令，将问题转化成求的值域，再利用二次函数的性质，