人教版2024-2025学年九年级数学上册期中培优训练卷（含答案）

期中培优训练

一、单选题

1.一元二次方程无2一尸0的根为（）

A.0B.1C.0或1D.此方程无实数解

2.已知机、"是一元二次方程/+彳一2023=0的两个实数根，则代数式/+2加+〃的值等

于（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

3.下列几何图形是中心对称图形的是（）

4.已知a<-l,点（。,%）、都在函数>=/的图象上，贝I］（）

A.2<%B.必<%<%C.D.%<必<%

5.下列多项式的乘法中，能用平方差公式进行计算的是（

A.(a+b)(a-b)B.(x+j>)(x-z)C.(x+y)(-x_j)D.

6.如图，在中，ZC=90°,力。平分N8/C,DEJ.AB于点、E,若CD=6,则DE

的长为（）

C.7D.6

7.如图，ZC=90°,M是8c上一点，过点M作〃0,48于点。，且=如果

AC=8,48=10,那么BD的长度为（）

试卷第1页，共6页

2C.10D.6

8.如图，在正方形45CD中，E为CO上的一点，连接8E,若N£BC=20。，将△砂。绕点C

按顺时针方向旋转90。得到△口（?,连接跖，则/EFD的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

9.如图是二次函数^=。/+乐+。的图象，下列结论:

①。。〉0,②2。+6〉0,③4QC</,④。+6+。<0,⑤当％>0时，>随工的增大而减小;

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，正方形/BCD的边长为2c加，点尸，。同时从点/出发，速度均为2c加/s,若点

尸沿/-。-C向点C运动，点0沿/-2-C向点C运动，则△4尸。的面积s（cm?）与运动

时间*s）之间函数关系的大致图象是（）

试卷第2页，共6页

O2t(s)

二、填空题

11.西双版纳大桥是云南省境内一座桥梁，位于西双版纳州府景洪市，跨越澜沧江，是西双

版纳十大标志性建筑之一，如图，西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形,

这样使其更稳固，其中运用的数学原理是.

12.如图，BCYAE,垂足为C,过C作〃/8.若/ECD=48。，则48=,

13.已知A42C的两条中线3D、CE相交于点P,PE=2,那么CP的长为

14.如图，边长为6的等边三角形中，若点M是高4D所在直线上一点，连接CM,以CM

为边在直线CW的下方画等边三角形CW,连结接DN,则ZW长度的最小值为

A

试卷第3页，共6页

15.如图在A/BC中，ZC=60°,将ZUBC绕点A顺时针旋转得到点。的对应点E

恰好落在边5c上，若/C=5,则CE=.

BEC

三、解答题

16.用适当的方法解下列方程：

⑴0-2)2-36=0；

(2)，_2x-l=0.

17.已知关于x的方程/-2化-1h+公=0有两个实数根M,%.

⑴求力的取值范围：

(2)若M+X?=l-x,Xz,求左的值.

18.如图，A48C三个顶点坐标分别为N(3,4),B(1,2),C(4,1).

(1)请画出入42。关于原点。中心对称的图形&4由/。，并直接写出点4的坐标；

⑵请画出A48C绕原点。逆时针旋转90人。的图形A4282c2，并直接写出点儿的坐标；

(3)求在(2)的旋转过程中，点/旋转到4所经过的路径长(结果保留兀).

19.如图，在矩形48cZ)中，AB=1Ocm,SC=16cm，点尸从点A开始沿边48向点B以

2cm/s的速度移动，点。从点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动，如果尸、。分别

从A、5同时出发，当一点到达终点时，另一个点随即停止移动.

试卷第4页，共6页

（1）经过几秒，APBQ的面积等于18cm2?

（2）在运动过程中，经过几秒时，的面积最大？最大面积是多少？

20.某汽车的行驶路程y（m）与行驶时间x（s）之间的函数表达式为+了是x的二

次函数吗？求汽车行驶60s的路程.

21.已知二次函数）=/-2加x+机-1（机是常数）.

（1）求证：不论心为何值，该函数的图象与x轴有2个公共点；

（2）如图，若该函数与x轴的一交点是原点，求另一交点A的坐标及顶点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点P,使得尸/+PC最小？若存在，求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

22.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）,用长为24m的篱笆围成中间隔有一道

篱笆的矩形花圃.设花圃的宽的长为x（m）,面积为近!!？）.

1八E

AD

（1）写出>与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围.

试卷第5页，共6页

(2)围成花圃的最大面积是多少？这时花圃的宽龙等于多少？

113

23.直线了=-y+2与抛物线＞=-寸2+寸+2相交于43两点，在坐标轴上是否存在点

M,使得△K43是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标.

24.在△4BC中，48=/C,/A4C=e（0°<a<60。），点E是△45C内动点，连接NE,CE,

将绕点/顺时针旋转a,使NC边与4B重合，得到延长CE与射线2。交于

点〃(点M与点。不重合).

(1)依题意补全图1;

⑵探究ZADM与ZAEM的数量关系为；

(3)如图2,若DE平分NADB,用等式表示线段MC,AE,50之间的数量关系，并证明.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】利用因式分解法解方程即可.

【详解】解：x2-x=o,

x(x-1)=0,

x=0或x-l=0,

解得肛=0,x/=l.

故选：C.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程

的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

2.D

【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得+〃=根据一元二次方程根的定义得

m2+m=2023,由川？+2a+〃=»?+加+(〃?+〃)，整体代入求解即可.

【详解】解：.・”，”是一元二次方程Y+x-2023=0的两个实数根，

/.m+n--1,m2+m=2023,

nr+2m+n

=nr+m+(in+ri)

=2023+(-1)

=2022,

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识.解题的关键

在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.

3.B

【分析】根据中心对称图形的定义判断即可.

【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、图形是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后

答案第1页，共18页

的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

4.C

【分析】本题考查了二次函数的性质，由。<-1可得又由了=/可得当

x<0时，歹的值随x的增大而减小，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键.

【详解】解：

•••。一1<。<。+1<0,

y=x2,

.,.当x<o时，》的值随x的增大而减小，

•,•%<%<必，

故选：c.

5.A

【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式即可判断求解，掌握平方差公式的结果特

点是解题的关键.

【详解】解：A、两个多项式中〃的符号相同，6的符号相反，能用平方差

公式进行计算，该选项符合题意；

B、(x+y)(x-z),前后字母不同，不能用平方差公式进行计算，该选项不合题意；

C、(x+力(r-y),两个多项式中无、丁的符号都相反，不能用平方差公式进行计算，该选

项不合题意；

D,(m-n)(77-m),两个多项式中如"的符号都相反，不能用平方差公式进行计算，该选

项不合题意；

故选：A.

6.D

【分析】本题考查了角平分线的性质，由/C=90。可得。进而由力。平分/A4C,

DE上AB可得DE=DC=6,掌握角平分线的性质定理是解题的关键.

【详解】解:•.*"=90。,

.-.DC1AC,

•••2D平分/2/C,DE1AB,DC1.AC,

答案第2页，共18页

DE=DC=6,

故选：D.

7.B

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明RtANOE0RtA/CM(HL)可得

AD=4C=8,再根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关

键.

【详解】解："MDIAB,

ZADE=90°,

在RM4DE和RM/CM中,

iMD=MC

[AM=AM，

...RIAADE^RIAACM(HL),

：.AD^AC=S,

.­.BD=AB-AD=1Q-S=2,

故选：B.

8.C

【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等,

先由正方形的性质和三角形内角和定理得到/BCD=90。，NBEC=70。，再由旋转的性质得

到/。PC=/8EC=70。，CE=CF,ZDCF=ZBCE=90°,则/CFE=/CE/=45。，据此

根据角的和差关系求解即可.

【详解】解：••・四边形是正方形，

ZBCD=90°,

•••ZEBC=20°,

ZBEC=70°,

由旋转的性质得到ZDFC=ZBEC=70°,CE=CF,ZDCF=ZBCE=90°,

ZCFE=ZCEF=45°,

ZEFD=ZDFC-ZCFE=25°,

故选：C.

9.A

答案第3页，共18页

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【详解】解：①由图象可知：c>0,a<0,

••.ac<0,故①错误；

②由于对称轴可知：-3<1,

.,.2a+b<0,故②错误；

③由于抛物线与x轴有两个交点，

.・・△=b2-4ac>0,故③正确；

④由图象可知：x=l时，y=a+b+c>0,

故④错误；

⑤当0<x<-3时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；

2a

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础

题型.

10.C

【分析】分两种情况讨论：当0、P两点分别在43、上时，可得S=2»,04/41；当

。、P两点分别在BC、DC上时，连接NC,可得。C=4-2f,PC=4-2/,根据△/尸。的

面积为正方形的面积减去面积、△4。尸面积和△CQP面积,进而有S=-It-+4t,

l<f<2,综上可以求出S与f的关系式，即可求解.

【详解】解：当。、P两点分别在48、4D上时，AQ=2t,4P=2t,

2

△NQ尸的面积为：S=2t,0<Z<l;

当。、尸两点分别在8C、OC上时，连接/C,如图所示：

根据题意有：AB+BQ=2t,则0c=/8+3C_（NB+80）,

,:正方形的边长为2cm,

/.AB=BC=CD=AD=2cm,

・•.QC=4-2t,

答案第4页，共18页

同理可得尸C=4-2f,

•.・根据△/尸。的面积为正方形的面积减去A/B。面积、△/。尸面积和△CQP面积,

~SXADP-S^PQC，

S丛AQP=S正方形45C。-S^AB。

.-.5^=2x2-1x（2/-2）x2-1x（2?-2）x2-1x（4-2?）x（4-2?）,

■-S=-2r+4t,l<t<2,

2t20<t<l

则有S=故C正确.

-2t2+4t1<Z<2

故选：c.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的知识，掌握函数图象的性质以及分类讨论

是解答本题的关键.

11.三角形具有稳定性

【分析】根据三角形具有稳定性解答即可.

【详解】解：西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固,

其中运用的数学原理是三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性.

【点睛】本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键.

12.42°

【详解】解：•••CDIIAB,

,•.ZA=ZECD=48°,

.•.zB=z.BCD=90°-48o=42°.

故答案为42°.

13.4

【分析】根据三角形中线的交点可知点P为A48C的重心，根据重心的性质重心到顶点的

距离与重心到对边中点的距离之比为2:1即可解答.

【详解】解：如下图所示，

答案第5页，共18页

A

・•,BD、CE是/5C的两条中线，且相交于点P,

・•・点尸为A45C的重心，

PC2

,••______，

PE1

又•:PE=2,

.*.CP=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，明确重心到顶点的距离与重心到对边中点的距

离之比为2:1是解题的关键.

14.3

2

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30。角的直角三角形

的性质连接8N,利用SAS证明,由全等三角形的性质得=，

再利用含30。角的直角三角形的性质可得答案.

【详解】解：如图，连接BN,

A

•・•△/8C是等边三角形，

CA=BC,ZACB=60°,

ZACB+4BCM=NBCM+ZMCN,

答案第6页，共18页

/BCN=/ACM,

.•.△5CN丝△4C"(SAS),

/.NCBN=/CAM,

•/AM1CB,ZUBC是等边三角形，

ZCAM=30°,BD=-AB=3,

2

:./CBN=30。,

iq

.•.rW_L3N时，ON最短为=

3

故答案为：5.

15.5

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质可得NE=/C,

进而可得是等边三角形，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键.

【详解】解：•••将UBC绕点A顺时针旋转得到△/£)£,

：.AE=AC,

•■-ZC=60°,

.•.△/CE为等边三角形，

.-.CE=AC=5,

故答案为：5.

-

16.(1)X]=4,x2=8；

(2)&=1--y/2,x2=1+y/2

【分析】(1)利用直接开平方法解答即可求解；

(2)利用公式法解答即可求解；

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

【详解】(1)解：•••0-2)2-36=0,

.•.(X-2)2=36,

x—2=±6,

xx=—4,%2=8；

答案第7页，共18页

（2）解：a=\,b=-2,c=—lf

•・•△=（-2『-4x1x（-1）=8>0,

2x12

•，•X]—1—jX?=1+.

17.⑴左弓

（2）左=-3

【分析】（1）根据关于x的方程x2-2住-l）x+%2=0有两个实数根M,%得到

△=[一2（左一1）了一4左2=一8左+420,即可求出左的取值范围：

（2）利用根与系数关系得到M+x2=2（»1）,%%=公，代入%+%=1-得到

2（左-1）=1-F,解方程并根据k的取值范围即可得到答案.

【详解】（1）■•・关于》的方程/一2任一1八+/=0有两个实数根%,%,

••,A=[-2（^-l）]2-4^2=-8^+4>0,

解得"45，

即发的取值范围为《vg：

1

（2）•.•%+%=2（左一1）,xxx2=k,%i+x2=1-X1x2,

.,・2（左一1）=1—左2,

解得左=1，攵2=-3,

-k<~,

2

k=—3

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，读懂题意，准确计算是解题

的关键.

18.⑴见解析，（-3,-4）

（2）见解析，（-4,3）

答案第8页，共18页

呜万

【分析】（1）分别作出A,B,C的对应点4，B”J即可.

（2）分别作出A,B,C的对应点4，B”G即可.

（3）利用弧长公式计算即可.

【详解】（1）解：如图所示，△/4G即为所求，点4的坐标为（-3,-4）.

（2）解：如图所示，△4&G即为所求，点4的坐标为（-4,3）.

（3）解：根据题意可知，ZAOA2=90°,=寿=5，

,・•点A旋转到4所经过的路径长为：生至13.

1X02

【点睛】本题考查作图-旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属

于中考常考题型.

75

19.（1）2s或3s；（2）2.5秒，—cm2

4

【分析】（1）设经过t秒时间，则可分别得到/尸、30及尸3的长度，由面积条件即可得到

关于/的方程，解方程即可；

（2）设运动时间为t秒，则由（1）所得有关线段的长度，即可得到△依。的面积关于f的

二次函数关系式，从而可求得面积最大时的时间及最大面积值.

【详解】（1）设经过f秒时间，此时必=10-21,BQ=3t,

当面积为18cm2时，由题意得

答案第9页，共18页

^e=1x^x^=1'（10-2z）-3z=18

解得％=2,G=3

经检验，均符合题意.

经过2s或3s后，APBQ的面积等于18cm2.

（2）设运动时间为t秒，则

S^BQ=^PBxBQ=^0-2t）^3t

=­3/+15%=—3"—g]+-^-

75

;经过2.5秒时，AP8。的面积最大，最大面积为:cm?

4

【点睛】本题是与图形有关的动点问题，考查了解一元二次方程、求二次函数的最值，对于

动点问题，要化动为静，结合条件找到等量关系或函数关系式，是本题的关键.

20.是，1980m

【分析】根据二次函数的定义进行判断，把x=60代入函数关系式了=3x+；无2计算即可.本

题考查的是二次函数的定义和函数值，掌握二次函数的一般形式是解题的关键，注意计算函

数值是计算结果要正确.

【详解】解：/=满足二次函数的一般形式，

.•）是x的二次函数，

当x=60时，^=3x60+1x602=1980.

.•.汽车行驶60s的路程是1980m.

2

21.（1）见解析；（2）/（2,0）,C（l,-1）；（3）存在，P（0,--）

【分析】（1）要证明抛物线与x轴有两个交点，令y=0,即X?-2加x+加-1=0只要证明

62一44恒大于零即可；

（2）根据抛物线经过原点，将原点代入解析式求出机的值，求出抛物线的解析式，令解析

式等于零，求出抛物线与x轴的另一个交点，写出顶点式，求出顶点坐标；

（3）根据两点之间线段最短的知识，将求取+PC的最小值可以转化为求线段的值，过点A

作关于＞轴的对称点/,连接HC,根据待定系数法求出直线4c的解析式即可求得点P的

坐标.

答案第10页，共18页

【详解】

(1)证明：令歹=°,BPx2—2mx+m—1=0,

，4=1,b=-2m,c=m-1,

.•・A=b2-4ac=(-2m)2-4(m-1),

A=4m2—4m+4=(2m—I)2+3>0,

・•・不论加为何值，该函数的图象1轴有2个公共点；

(2)解：已知函数、二%2一2加工+加一1过。(0,0),

：.0=m-l,

解得：m=1,

・•・y=x2-2x,

当歹=0时，x2-2x=0,

解得：％=0,々=2,

・・・/(2,0),

由y=—―2x可得y=(x-l)2,

(3)存在.

解：如图所示作42,0)关于y轴的对称点AX-2,0),

设直线H+且H(-2,0),C(l,-1),

j0=-2k+b

"[-l=k+b，

k=--

解得：;，

b=——

13

12

y=—x—,

33

2

当x=0时，y,

尸(°厂?.

答案第11页，共18页

【点睛】

本题主要考查二次函数与X轴的交点、抛物线的顶点、线段之和的最短问题的综合题.在第

(3)小题中，根据两点之间线段最短的知识，将求取+尸。的最小值可以转化为求线段的

值，作出线段何时最短是解决此题的关键.

22.(1)J=-3A：2+24X^<X<8)

214

(2)围成花圃的最大面积是463m2,这时花圃的宽x等于

【分析】本题考查二次函数的应用；

(1)根据题意可以得到了与％的函数关系式以及x的取值范围;

(2)根据二次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：由题意可得，

y=x(24-3x)=-3x2+24x,

j24-3x<10

V[3x<24'

14

:.—«x<8,

3

14

即y与龙之间的函数表达式是y=-3无？+24x(y<x<8)；

(2)解：•••=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,

-3<0,当尤>4时y随X的增大而减小，

14

又§<x<s,

14<14Y?

・,•当x=-时，jv=-31——4I+48=46§,

答案第12页，共18页

214

•••围成花圃的最大面积是463m2,这时花圃的宽龙等于了m.

23•点M的坐标为（-|,0，或或［，号］或［上普0或产普,0

【分析】本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判

定和性质，先联立函数解析式求出点43坐标，再分N8/M=90。；/48〃=90。和

44八四=90。三种情况，分别画出图形，利用相似三角形的的判定和性质解答即可求解，运

用分类讨论思想解答是解题的关键.

1c_11

)=_』x+2(X二。“-T

【详解】解：由；解得।

13Cy=27'

y=——x2+—x+2y=

[22I?2-9

“(0,2)，8m

当NB/M=90。时，如图①，过点8作5CLOZ于点C,贝|J/ZC3=/MQ4=9O。,

：.ZABC+ZBAC=90°,

vZBAM=90°,

：.ZMAO+ZBAC=90°,

,"ABC=/MAO,

・•・AABCS^MAO,

AC_BC

''MO~Hd'

・・•/(O,2),

・・.ZO=2,BC=—,AC=2--=—

399f

1111

・•・5；，

MO~2

3

答案第13页，共18页

y/

①

当N/8M=90。时，如图②，则NDBM=90。，

设直线AB与x轴的交点为点。，把代入”一不+2得,

0=—x+2,

3

•••%=6,

・•・。（6,0）,

•••AD=yloD^OA2=762+22=2M，

■：NDBM=ZDOA=90°，NBDM=ZODA，

ADBMSADOA,

DM_BD

''^A~~OD'

DM9,

2M—6

70

解得DM

70Q2

：,OM=OD-DM=6——=—,

2727

设所在直线的解析式为歹=履+6,把3

答案第14页，共18页

k=3

解得L92,

b=------

I9

92

.4M所在直线的解析式为y=3x--,

92

当％=0时，y=一~—,

当/4〃8=90。时，如图③，过点8作瓦轴于点"，则N5HW=90。,

/BMH+/MBH=90。,

-ZAMB=90°,

："MAO+/MBH=90。,

・•.