21.4 二次函数的应用 同步练习

第21章二次函数与反比例函数21.4二次函数的应用基础过关全练知识点1建立二次函数模型求解实际问题1.小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就煳了.将爆开且不煳的粒数与总粒数的比例称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a、b、c是常数，a≠0)，小高记录了三次试验的数据(如图).根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟2.某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施(如图1)，为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度.为解决此问题，小明用小车沿斜面下滑的实验来模拟此过程.借助打点计时器(一种测量短暂时间的工具，每隔0.02秒打一次点)，让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离(如图2)，数据如表：时间(秒)00.020.040.060.080.10相邻各点的距离(厘米)00.30.50.70.91.0(1)当时间为0.04秒时，滑行距离是厘米；

(2)请在图3所给的网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来；(3)通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度. 知识点2抛物线形问题3.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，下图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=4，则杯子的高CE为()A.12 B.11 C.6 D.34.教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为y=-225(x-4)2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是m5.一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”.某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一条抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时水平飞行的距离为9米，手榴弹离手点离地面的高度为1.9米.(1)求此抛物线的解析式；(2)求志愿军同志的手榴弹扔了多远.知识点3最大面积问题6.用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2所示，则a的值是() A.16 B.12 C.8 D.47.(2023安徽宣城抽测)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B移动，动点Q从点B出发以2cm/s的速度向终点C移动，则移动到第s时，可使△PBQ的面积最大.

8.(2023安徽阜阳期中)如图，学校要用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，矩形的边AD为墙的一部分，已知墙长为26m.要想使花圃的面积最大，求AD边的长及花圃的最大面积.9.如图，某校准备投资1万元围一个矩形的运动场，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为50m，墙长为26m，建造平行于墙的边的材料的费用为200元/米，建造垂直于墙的边的材料的费用为150元/米，设平行于墙的边长为xm.(1)若运动场面积为300m2，求x的值；(2)当运动场的面积最大时，是否会超过预算?能力提升全练10.(2023安徽六安期中，8，)物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3s后，速度越来越快；③小球抛出3s时速度为0m/s；④当h=30时，t=1.5.其中正确的是()A.①②③ B.①② C.②③④ D.②③11.(2023安徽界首检测，7，)如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m，那么水位下降1m时，水面的宽度为()A.26m B.3m C.4m D.(26-1)m12.(2022江苏南通中考，15，)根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关系式是h=-5t2+20t，当飞行时间为s时，小球达到最高点.

13.(2022贵州黔西南州中考，17，)一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线如图所示.按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=-112x2+23x+53，则铅球推出的水平距离OA的长是14.(2022辽宁沈阳中考，21，)如图，用一根60厘米长的铁丝制作一个“日”字形框架ABCD，铁丝恰好全部用完.(1)若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，求AB的长为多少厘米；(2)矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米.

15.(2023安徽宿州期中，22，)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形，她对此展开研究：测得喷水头P距地面1m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.5m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度.(1)求抛物线的表达式；(2)小红站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4m处，身高为1.9m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离.16.(2022四川巴中中考，22，)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元.(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒，设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.17.(2022甘肃兰州中考，24，)掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.有一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分?请说明理由.素养探究全练18.(2022湖北仙桃、潜江、天门、江汉油田中考)某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)有如下表所示的关系：销售价格x(元/千克)…2022.52537.540…销售量y(千克)…3027.52512.510…(1)根据表中的数据在图中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w(元)(不计其他成本).①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售价格为多少；②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w=240时的销售价格.19.(2022湖南湘潭中考)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池，且需保证总面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总面积最大，请问BC应设计为多长?此时最大面积为多少?

第21章二次函数与反比例函数21.4二次函数的应用答案全解全析基础过关全练1.B由题图可知函数p=at2+bt+c的图象经过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，代入得9a+3∴p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.8125，∴最佳加工时间为3.75分钟.2.解析(1)当时间为0.04秒时，滑行距离是0.3+0.5=0.8(厘米)，故答案为0.8.(2)设时间为x秒，滑行距离为y厘米，则x=0时，y=0；x=0.02时，y=0.3；x=0.04时，y=0.8；x=0.06时，y=1.5；x=0.08时，y=2.4；x=0.10时，y=3.4，建立平面直角坐标系，画图象如下：(3)根据图象设y=ax2+bx(a≠0)，把(0.02，0.3)和(0.04，0.8)代入得0.0004a+0.02∴y与x的关系式为y=250x2+10x，当x=10时，y=250×100+10×10=25100.答：能够滑行10秒时直线斜坡轨道的长度是25100厘米.3.A∵y=2x2-4x+8=2(x-1)2+6，∴抛物线顶点D的坐标为(1，6)，∵AB=4，∴B点的横坐标为3，把x=3代入y=2x2-4x+8，得到y=14，∴CD=14-6=8，∴CE=CD+DE=8+4=12.4.9解析由题意得，当y=0时，-225(x-4)2+2=0，化简，得(x-4)2=25，解得x1=9，x2=-1(舍去).故小明此次投掷的成绩是9m5.解析(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(9，10)，设抛物线的解析式为y=a(x-9)2+10，∵手榴弹离手点离地面的高度为1.9米，∴点(0，1.9)在此抛物线上，∴1.9=a(0-9)2+10，解得a=-0.1，∴抛物线的解析式为y=-0.1(x-9)2+10.(2)令y=0得-0.1(x-9)2+10=0，解得x1=-1(舍去)，x2=19，∴志愿军同志的手榴弹扔了19米.6.B由图象可知，当x=2时，y有最大值，最大值为4，∴当x=2时，窗框的面积最大，是4平方米，根据矩形面积计算公式，可知其邻边长为4÷2=2(米)，∴材料总长为3×2+3×2=12(米)，即a=12.7.4解析设xs时△PBQ的面积为ycm2，则AP=xcm，QB=2xcm.∴PB=(8-x)cm.∴y=12×(8-x)2x=-x2+8x=-(x-4)2+16，∴当x=4时，y最大.故移动到第4s时，△PBQ的面积最大8.解析设AB=x米，矩形的面积为y平方米，则BC=AD=(36-2x)米，∴y=x(36-2x)=-2x2+36x=-2(x-9)2+162，∵-2<0，∴抛物线开口向下，∵0<36-2x≤26，∴5≤x<18，∴当x=9时，y有最大值，是162，此时36-2x=18.故AD边的长为18米时，花圃的面积最大，最大面积为162平方米.9.解析(1)根据题意，得50−x2解得x=20或x=30，∵墙的长度为26m，∴x=20.(2)设运动场的面积是Sm2，则S=50−x2x=-12x2+25x=-12(x-25)易知抛物线开口向下，对称轴为直线x=25，∵0<x≤26，∴当x=25时，S取得最大值，∴总费用=25×200+50−252×2×150=8750元<10000元，∴没有超过预算能力提升全练10.D①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故小球在空中经过的路程为40×2=80(m)，故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0m/s，故③正确；④设函数解析式为h=a(t-3)2+40(a≠0)，把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-409∴函数解析式为h=-409(t-3)2把h=30代入解析式得30=-409(t-3)2解得t=4.5或t=1.5，∴当h=30时，t=1.5或4.5，故④错误.11.A以拱桥的拱顶为原点建立如图所示的平面直角坐标系，∵当拱顶离水面2m时，水面AB的宽为4m，∴B(2，-2)，A(-2，-2)，设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，将点A(-2，-2)代入y=ax2，得4a=-2，解得a=-12，∴抛物线的解析式为y=-12x2.设水位下降1m后，水面与抛物线右侧交于点D，则点D的纵坐标为-3，令-12x2=-3，解得x∴D(6，-3)，∴此时水面的宽度为26m.12.2解析h=-5t2+20t=-5(t-2)2+20，∵-5<0，∴当t=2时，h有最大值，∴当飞行时间为2s时，小球达到最高点.13.10解析∵y=-112x2+23x+53，∴当y=0时，0=-112x2+23x+53，解得x1=-2(舍去)，14.解析(1)设AB=xcm，则AD=60−3x∴x·60−3x2=144，解得x=12或∵0<x<20，∴AB的长为12cm或8cm.(2)由(1)知AB=xcm，AD=60−3x∴S=x·60−3x2，即S=-32x2+30x=-32(∵-32<0，0<x∴x=10时，框架的面积最大，最大面积为150平方厘米.15.解析(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(5，3.5)，∴抛物线的表达式为y=a(x-5)2+3.5，将(0，1)代入得1=25a+3.5，解得a=-110∴y=-110(x-5)2+3.5=-110x2+x(2)当y=1.9时，-110x2+x+1=1.9，解得x=1或x∴她与哥哥的水平距离为4-1=3(m)或9-4=5(m).16.解析(1)设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，由题意得x−y∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽的进价为30元.(2)由题意得w=(a-40)[100-2(a-50)]=-2(a-70)2+1800，∵-2<0，∴当a=70时，w有最大值，最大值为1800.∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元.17.解析(1)根据题意设y关于x的函数表达式为y=a(x-3)2+3(a≠0)，把0,53代入解