24.4 相似三角形判定（第1课时）同步练习

24.4相似三角形判定（第1课时）【夯实基础】一、单选题1．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对2．如图，在直角三角形中，是斜边上的一点，过点作直线，截得的三角形与原三角形相似，这样的直线最多有（

）．A．2条 B．3条 C．4条 D．5条二、填空题3．在和中，，，，，则与是否相似？______，理由是______．4．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：_________________．5．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=________．6．如图，在中，，分别交、于点、，、交于点，则相似三角形有______．三、解答题7．如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．8．如图，在中，，，，．（1）求证：∽；（2）求的长度．9．如图，在四边形中，，，．求证：∽．10．如图，在正方形中，是的中点，，垂足为，，求的长．11．如图，在梯形中，，，是上的一点，交于点，交于点．设、的长分别为、，．那么当点在边上移动时，的值是否变化？若变化，求出的取值范围；若不变，求出的值，并说明理由．12．如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：．【能力提升】1.如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．图中 有哪几对相似三角形？2．如图，、分别是的边、上的点，且．求证：．3.如图，在中，，于点，且，求的值．4．如图，，于点，，，求的长．5.如图，，，点在线段上运动，，，， 若与相似，求的值．6.如图，是等边三角形，，求证．7.正方形中，是中点，于点，厘米，求的长．8.如图，在中，，于点，点是边上一点，联 结交于点，交边于点．求证：．9.如图，在中，，，是内一点，且．求证：．10.如图，在梯形中，//，且，点、分别是、的 中点，与相交于点．（1）求证：；（2）若，求．11.如图，在中，，//，点在边上，与相交于点 ，且．（1）求证：；（2）．12.如图，已知、均为等边三角形，、分别在边、上，请找 出一个与相似的三角形，并加以证明．

24.4相似三角形判定（第1课时）【夯实基础】一、单选题1．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选D．2．如图，在直角三角形中，是斜边上的一点，过点作直线，截得的三角形与原三角形相似，这样的直线最多有（

）．A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】B【分析】过点P作直线与另一边相交，则所得的三角形与原三角形有一个公共角，故只要再作一个直角就可以．【详解】解：如图，由于△ABC是直角三角形，过点P作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与原三角形相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线，故选B．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．二、填空题3．在和中，，，，，则与是否相似？______，理由是______．【答案】

相似

一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似【分析】首先由三角形内角和定理求出∠B，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.【详解】解：∵，，∴∠B＝180°－70°－65°＝45°，∴，，∴，理由是：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似；故答案为相似，一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.4．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：_________________．【答案】△PAB∽△DAE(答案不唯一)【详解】在□ABCD中，由DC∥AB，得△DCF∽△EBF，由AD∥BC，得△EBF∽△EAD，∴△DCF∽△EAD．∵BP∥DF，∴△EAD∽△BAP，∴△BAP∽△EBF∽△DCF．综上，图中相似的三角形有△DCF∽△EBF，△EBF∽△EAD，△DCF∽△EAD，△EAD∽△BAP，△BAP∽△EBF，△BAP∽△DCF，共6对，写出其中任意一对即可．5．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=________．【答案】DB=3【详解】∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴，∵AC=2，AD=1，∴，解得DB=3．6．如图，在中，，分别交、于点、，、交于点，则相似三角形有______．【答案】∽，∽【分析】根据，找出相等的角，进而得到相似三角形.【详解】解：∵，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∽，∵，∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，∴∽，故答案为∽，∽.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.三、解答题7．如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．【分析】根据平行线的性质得到∠ADE=∠B，∠EFC=∠B，∠AED=∠C，等量代换得到∠ADE=∠EFC，于是得到结论．【详解】∵ED∥BC，EF∥AB，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠EFC=∠B，∴∠ADE=∠EFC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△EFC．【点睛】本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．8．如图，在中，，，，．（1）求证：∽；（2）求的长度．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠B，，从而可得到∽；（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，从而可得到EC的长度．【详解】（1）∵，∴，，∴∽；（2）∵∽，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定理.9．如图，在四边形中，，，．求证：∽．【分析】由平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，结合∠A＝∠BDC＝90°，从而可得到△ABD∽△DCB．【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∽．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.10．如图，在正方形中，是的中点，，垂足为，，求的长．【答案】．【分析】根据同角的余角相等可得，证明∽，列出比例式，利用勾股定理求出BE，然后再将各数据代入计算即可.【详解】∵，四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∴∽，∴，∵为中点，，∴，．在中，，∴，∴．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定理.11．如图，在梯形中，，，是上的一点，交于点，交于点．设、的长分别为、，．那么当点在边上移动时，的值是否变化？若变化，求出的取值范围；若不变，求出的值，并说明理由．【答案】的值不变化，，理由见解析.【分析】根据，得到∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，整理得到即可求出x的值．【详解】解：的值不变化，；理由如下：∵，∴∽，∴，∵，∴∽，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的值不变化，.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定理.12．如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：．【详解】解法一：矩形中，，，．，，．．解法二：矩形中，．，，．（下同）【能力提升】1.如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．图中 有哪几对相似三角形？【答案】，， ．【解析】由，可得： ，根据相似三角形预备定理， 可得：，， 进而可得：，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．2．如图，、分别是的边、上的点，且．求证：．【解析】证明：， ， ， 即．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．3.如图，在中，，于点，且，求的值．【答案】．【解析】，即，又，可得．．又，，．，设，则，代入可得：．．【总结】考查基本模型的建立，直角三角形斜边上的高线分出的两个三角形与原三角形两两相似，称作“子母三角形”，是一种常用的数学模型．4．如图，，于点，，，求的长．【答案】．【解析】，，，．根据面积法，可知，解得．又，，可得．，代入可得：．，，．代入得：．【总结】考查对于“子母三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中可将对应边之比转化为 同一三角形中边长比的思想，实际上这个这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两两相似．5.如图，，，点在线段上运动，，，， 若与相似，求的值．【答案】或2．【解析】（1）时，则应有．由，可得：；（2）时，则应有．由，代入得：，解得：．【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论．6.如图，是等边三角形，，求证．【解析】证明：是等边三角形，．，．又，．，，，即．【总结】考查相似三角形的性质和相关相似三角形判定定理1，先判定再应用．7.正方形中，是中点，于点，厘米，求的长．【答案】．【解析】四边形是正方形，．，又，，，∵是中点，∴．由勾股定理可得：，代入可得：．【总结】考查正方形背景下的直角三角形相似，实际上由直角和平行很容易得到相等的角，根据相似三角形判定定理1可证相似．8.如图，在中，，于点，点是边上一点，联 结交于点，交边于点．求证：．【解析】证明：， ，， 又，， ． ． ．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可证明．9.如图，在中，，，是内一点，且．求证：．【解析】证明：，，．即．，．．，．【总结】考查相似三角形的判定定理1，需要根据三角形内角和进行等角转化．10.如图，在梯形中，//，且，点、分别是、的 中点，与相交于点．（1）求证：；（2）若，求．【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）证明：，是的中点， ，又//， 四边形是平行四边形． ， ．（2）解：，为中点， ，． 代入可得：．【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合