【沪科】第三次月考卷

九年级上学期第三次月考卷数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.如果，那么下列各式中成立的是（）A. B. C. D.2.二次函数的图象顶点坐标是（）A. B. C. D.3.已知在中，，，，下列阴影部分三角形与原三角形不一定相似的是（）A. B.C. D.4.若点、、、分别在反比例函数的图象上，则下列值最小的是（）A. B. C. D.5.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝（）A. B. C. D.6.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：，，）A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm7.如图，在中，，，若，则（）A. B. C. D.8.已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（）A. B.C. D.9.如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（）A. B. C. D.10.如图，菱形中，点是边的中点，垂直的延长线于点，若，，则菱形的边长是（）A.3 B. C.4 D.5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果为锐角，，则______．12.如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．13.如图，点是反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点，在轴上，且，四边形的面积为4，则______．14.规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．三、解答题（本大题共9小题，共90分）15.（1）； （2）．16.如图，在中，点在边上．（1）若，求证：；（2）若为的中点，，，，求的长．17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为点A（1，0）B（3，0）、C（0，1）．（1）①以点M（2，2）为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且点D与点A对应，位似比为2：1；②点D坐标为___________；（2）的面积为___________个平方单位．18.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角，坡长米，背水坡CD的坡度，求背水坡的坡长CD为多少米．19.如图，反比例函数（，）的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD，求点M的坐标.20.如图，某居民小区内两楼之间的距离米，两楼的高都是20米，楼在楼正南，楼窗户朝南．楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离米，窗户高米．当正午时刻太阳光线与地面成角时，楼的影子是否影响楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．（参考数据：，，）21.图1中窗户的上部分是由4个全等小正方形组成的大正方形，下部分是矩形，如图2．如果制作一个窗户（如图2）边框的材料总长度为，设小正方形的边长为，窗户的透光面积为．（1）求关于的函数表达式．（2）取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？22.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在中，，是的完美分割线，且，求的度数．（2）如图2，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，找出与的关系．23.已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

九年级上学期第三次月考卷数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.如果，那么下列各式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可设，，再逐项代入，即可求判断．【详解】解：∵，可设，，A.，故本选项错误，不符合题意；B.，故本选项错误，不符合题意；C.，故本选项正确，符合题意；D.，故本选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．2.二次函数的图象顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的顶点式可直接进行求解．【详解】解：由二次函数可知其顶点坐标为；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．3.已知在中，，，，下列阴影部分三角形与原三角形不一定相似的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．【详解】解：A、不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项A符合题意；B、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项B不符合题意；C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；D、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．4.若点、、、分别在反比例函数的图象上，则下列值最小的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由反比例函数解析式可知，则有在每个象限内，y随x的增大而增大，进而问题可求解．【详解】解：由反比例函数可知，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点、、、分别在反比例函数的图象上，∴；∴函数值最小的是；故选C．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．5.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得答案．【详解】解：如图：，由勾股定理，得，由锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，得，故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的正弦．6.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：，，）A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度．【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，∴，∵BC＝44cm，∴cm．∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，∴．∵AD为BC边上的高，，∴在中，，∵，cm，∴cm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．7.如图，在中，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行线所截线段成比例可知，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴；故选A．【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．8.已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．【详解】解：对于二次函数，令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为∵，∴，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴，∵，∴，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．9.如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先过点C做出轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．【详解】如图过点C作轴垂线，垂足为点E，∵∴∵∴在和中，，∴，∴，则,∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A坐标为(0，3)，∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，故答案选D【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．10.如图，菱形中，点是边的中点，垂直的延长线于点，若，，则菱形的边长是（）A.3 B. C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】过点作于点，则四边形为平行四边形，可得，；设，则，可得，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】解：过点作于点，如图，四边形是菱形，，．，，，四边形为平行四边形，，．点是边的中点，，．，设，则，，，∴，．．在中，，．解得：（负数不合题意，舍去），．．即菱形的边长是4，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，灵活运用菱形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果为锐角，，则______．【答案】##30度【解析】【分析】根据特殊三角函数值可进行求解．【详解】解：∵，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键．12.如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．【答案】【解析】【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，，，，根据与的周长比等于相似比可得，故答案为：．【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．13.如图，点是反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点，在轴上，且，四边形的面积为4，则______．【答案】-4【解析】【分析】根据题意可得出四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的面积为4，可求出直角三角形AOB的面积为2，再根据反比例函数k的几何意义求出答案．【详解】解：连接OA，

∵AB⊥y，BC∥AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵平行四边形ABCD的面积为4，即，AB•OB=4，

∴S△AOB=AB•OB=2=|k|，

∴k=-4或k=4（舍去）

故答案为：-4．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，连接反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．14.规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．【答案】或【解析】【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，当时，此函数是二次函数，它们的图象与x轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x轴上，，得，故k+1=0，解得k=-1，故原函数的解析式为，故它的“Y函数”解析式为，故答案为：或．【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共90分）15.（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据特殊三角函数值可进行求解；（2）根据特殊三角函数值及乘方运算可进行求解．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．16.如图，在中，点在边上．（1）若，求证：；（2）若为的中点，，，，求的长．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）由题意易证，然后根据相似三角形的性质可求证；（2）过作交的延长线于，转化成（1）中的相似关系，列比例式，代入和的值即可求解．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：过作交的延长线于，如图所示：由于为中点，故，，而，，在和中，，，，，，又，，，．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等难度的题目．17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为点A（1，0）B（3，0）、C（0，1）．（1）①以点M（2，2）为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且点D与点A对应，位似比为2：1；②点D坐标为___________；（2）的面积为___________个平方单位．【答案】（1）①图见解析，②点D的坐标是（4，6）（2）4【解析】【分析】（1）①根据位似图形的性质画图即可；②由位似图形的性质即可求得点D坐标；（2）利用（1）中①题的图形，根据三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】解：①如图所示，②点D的坐标是（4，6）；【小问2详解】的面积=个平方单位．【点睛】本题考查了坐标系中位似图形的作图和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键．18.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角，坡长米，背水坡CD的坡度，求背水坡的坡长CD为多少米．【答案】12【解析】【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α=45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度

得出∠C的度数，即可求解．【详解】解：∵、，，∴，，∴四边形AEFD是矩形，∴，在中，，，，∴，∴，在中，，∵，∴，∴即：求背水坡的坡长CD为12米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题．注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．19.如图，反比例函数（，）的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD，求点M的坐标.【答案】k=1；C（，）；M（（0，）【解析】【详解】试题分析：首先根据点A的坐标和AB=3BD求出点B的坐标，从而得出k的值；根据一次函数和反比例函数的解析式得出点C的坐标；作点D关于y轴对称点E，连接CE交y轴于点M，即为所求，设直线CE的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入求出k和b的值，从而得到直线CE的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，即点M的坐标.试题解析：（1）∵A（1，3），∴OB=1，AB=3，又AB=3BD，∴BD=1，∴B（1，1），∴k=1×1=1；（2）由（1）知反比例函数的解析式为，解方程组，得或（舍去），∴点C的坐标为（，）；（3）作点D关于y轴对称点E，则E（,1），连接CE交y轴于点M，即为所求.设直线CE的解析式为，则，解得，，∴直线CE的解析式为，当x=0时，y=，∴点M的坐标为（0，）.考点：反比例函数与一次函数20.如图，某居民小区内两楼之间的距离米，两楼的高都是20米，楼在楼正南，楼窗户朝南．楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离米，窗户高米．当正午时刻太阳光线与地面成角时，楼的影子是否影响楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．（参考数据：，，）【答案】楼影子影响到楼一楼采光，挡住该户窗户米．【解析】【分析】将所给条件转化到直角三角形中，通过解直角三角形求出FG的长度，进而得到MG、EN的长，确定ED的值，若其值大于零则影响，反之不影响．【详解】如图，设光线影响到楼的处，作于，由题知，，，所以.所以.因为，所以，所以楼影子影响到楼一楼采光，挡住该户窗户米．21.图1中窗户的上部分是由4个全等小正方形组成的大正方形，下部分是矩形，如图2．如果制作一个窗户（如图2）边框的材料总长度为，设小正方形的边长为，窗户的透光面积为．（1）求关于的函数表达式．（2）取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？【答案】（1）；（2）时，透光面积最大，最大透光面积是．【解析】【分析】（1）先表示出下部分矩形的长，然后根据矩形面积列式求解；（2）根据二次函数的性质求最值【详解】解：（1）下部分矩形的长．由，得．（2）．在范围内．∴当时取到最大值，最大值为．答：时，透光面积最大，最大透光面积是【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．22.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在中，，是的完美分割线，且，求的度数．（2）如图2，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，找出与的关系．【答案】（1）96°；（2），理由见解析．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD=∠A=48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．

（2）利用△BCD∽△BAC，得，可得结论．【详解】解：（1）当时，如图，．∵，∴，∴．（2）结论：．∵，∴，∴∴．【点睛】本题考查相似三