正余弦定理解三角形（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第08讲正余弦定理解三角形

（10类核心考点精讲精练）

1%.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

正弦定理解三角形

2024年新I卷，第15题,13分余弦定理解三角形正弦的和差公式

三角形面积公式及其应用

正弦定理解三角形

2024年新H卷，第15题,13分辅助角公式

正弦定理边角互化的应用

正弦定理解三角形

2023年新I卷，第17题,10分用和、差角的正弦公式化简、求值

三角形面积公式及其应用

三角形面积公式及其应用

2023年新II卷,第17题,10分数量积的运算律

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第18题,12分正弦定理边角互化的应用基本不等式求和的最小值

正弦定理解三角形

2022年新II卷，第18题,12分三角形面积公式及其应用无

余弦定理解三角形

2021年新I卷，第19题,12分正弦定理边角互化的应用几何图形中的计算

正弦定理边角互化的应用

2021年新H卷，第18题,12分三角形面积公式及其应用无

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新I卷，第17题,10分无

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新II卷,第17题,10分无

余弦定理解三角形

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为13-15分

【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用

2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.

3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式

在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。

知识点1正弦定理及其变用

知识点2三角形中三个内角的关系

知识点3余弦定理

知识点4三角形的面积公式

考点1正弦定理边角互化解三角形

考点2利用正弦定理判断三角形解的个数

考点3余弦定理求值

考点4利用正余弦定理判断三角形的形状

考点5三角形面积的应用

考点6外接圆、内切圆半径问题

考点7双正弦

考点8双余弦

考点9解三角形中的证明问题

考点1。解三角形中的实际应用

知识讲解

1.正弦定理

(1)基本公式：

nhc

----=2R(其中R为A45C外接圆的半径)

sinAsinBsinC

（2）变形

abcQ+6+C"bQ+Cb+c

----=-----=-----=2R=-----------------=-----------=-----------=-----------

sin/sin5sinCsin24+sinS+sinCsinA+^mBsin/+sinCsin5+sinC

Q:b:c=sin4:sin5:sinC

2.三角形中三个内角的关系

A+B兀c

..•/+3+。=兀--------=—

'222

/.sin(5+C)=sin4,cos(B+C)=-cosA,tan(S+C)=-tanA

sin(W1鸟=sin|7l_C=cos|,cos(^)=cos|K_C=sin|tan(^)=tan|7l_C=cot^

5一万5一万万一万2

3.余弦定理

(1)边的余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b1=a2+c2-2accosB,c2=a1+b2-labcosC

(2)角的余弦定理

b2+c2-a2Q2+02a2+Z>2-c2

cosA=cosB=cosC=

2bc2aclab

4.三角形的面积公式

SMBC=5皿

SMBC=—absinC=—acsinB=—besinA

考点一、正弦定理边角互化解三角形

典例引领

jr

1.（2023,全国考真题）在AZSC中，内角4民。的对边分别是〃也c,若acosB-bcos/=c,且。=5，

则N5=()

兀713兀2K

A.——B.C.—D.——

105105

2.（2024•湖南永州•三模）已知在。5C中,角A,B,。所对的边分别为。，b,。，且

巳7

acosB+bcosA=-2ccosC,sinf24+贝!]cos(/-8)=

8

...acGsB-bcGsAb.„,

3.（2024・四川凉山•二模）设。8C的内角Z,B,C的对边分别为Q,b,c

右ac°s…皿+U'则

A=

4.（2024,全国•图考真题）记”BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c已知sin/+百cosA=2.

⑴求4

（2）若。=2,同sinC=csin25，求。5C的周长.

即

1.（2024•江西九江•三模）在“8C中，角4民c所对的边分别为a,6,c,已知2c-a=26cos/,则2=

()

2.（2024•河北沧州•模拟预测）记AABC的内角4民。的对边分别为。也c,若36cos3=QCOSC+ccos”,且

3b=4c,则C=.

3.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）在中，记角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

百a=VJccosB+csinB•

⑴求角C;

⑵已知点。在/C边上，且BC=6,BD=2#i,求。的面积.

考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数

典例引领

冗

L（2023•浙江•模拟预测）在AA8C中，角4及C所对的边分别为a,6,c.若B=3，a=4,且该三角形有两解,

则6的范围是（）

A.Q6,+qB.（273,4）

C.（0,4）D.（3月,4）

2.（2024•陕西渭南•模拟预测）已知的内角/,B,C的对边分别为。,仇。，则能使同时满足条件

TT

6=6的三角形不唯一的。的取值范围是（）

6

A.（3,6）B.（3,+oo）C.（0,6）D.（0,3）

3.（2023・广东茂名•三模）（多选）A/8C中，角4民C所对的边分别为仇然以下结论中正确的有（）

A.若a=40,6=20,8=25°,则必有两解

B.若sin2/=sin28,则以8C一定为等腰三角形

C.若acosB-6cos/=c,则“3C一定为直角三角形

D.若8=枭=2,且该三角形有两解，贝g的范围是即,+对

即时窜L

JT

1.（23-24高二下•浙江•期中）在“8C中，ZA=-,AB=4,BC=a,且满足该条件的有两个，则。的

取值范围是（）

A.（0,2）B.（2,2石）C.（2,4）D.（2后4）

2.（2023•安徽•模拟预测）（多选）在“BC中，AB=y/3,B=60°,若满足条件的三角形有两个，则/C边的

取值可能是（）

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

3.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）（多选）在中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,且已知a=2,

则（）

A.若N=45°,且“8C有两解，则6的取值范围是（2,2亚）

B.若4=45。,且6=4,则“3C恰有一解.

C.若c=3,且AA8C为钝角三角形，则b的取值范围是（加,5）

D.若c=3,且“8C为锐角三角形，则6的取值范围是（石，屈）

考点三、余弦定理求值

典例引领

1.（2023・北京•高考真题）在“5C中,(a+c)(sinA-sinC)=Z?(sinA-sinB),贝()

兀712兀5兀

A.-B.一C.—D.—

6336

2.（2021•全国•高考真题）在。8C中，己知8=120°,AC=晒,AB=2,则8C=()

A.1B.V2C.V5D.3

3.（2023•全国•高考真题）在。8C中，NBAC=60。,AB=2,BC=&,/A4C的角平分线交2c于D,则

AD=.

4.（2023•全国•高考真题）记。8C的内角4瓦。的对边分别为a/,c,已知。=2.

cos/

⑴求6c;

,、升acosB-bcos力b,十%

⑵若——一;一-二1，求"BC面积•

acGsB+bcosZc

即时检测

■一

1.（2021・安徽安庆•二模）在。5C中，a,b,。分别是NB,C的对边.若加=收，且

a2+43bc=c2+ac9则//的大小是（）

71712兀5兀

A.—B.一C.——D.——

6336

2.（2024•安徽合肥•一模）在A/8C中，内角4及。的对边分别为a,6,c,若26cosc=a（2-c）,且&=5，

则。=（）

A.1B.^/2C.5/3D.2

3.Q023•广东广州•三模）在“8C中，点。在边BC上，AB=46>CD=3,8=45。，ZADB=60°,^\\AC

的长为.

4.（2023•全国,高考真题）在中，已知NR4c=120。，AB=2,AC=1.

（1）求sinN/BC；

（2）若。为BC上一点，且N84D=90。，求△4DC的面积.

考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状

典例引领

■——

1.（22-23高三・吉林白城•阶段练习）已知“8C中，角A,B,C所对的边分别是。，b,c,若

（a+b+c）（b+c-a）=3bc,且sinN=2sin8cosC,那么小8。是（）

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

A

2.（22-23高三上•河北•阶段练习）在“8C中，角4瓦C对边为a,b,c,且2c-cos?5=6+c,则“8。的形

状为（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

Aa

3.（2024高三•全国•专题练习）设△ZBC的三边长为BC=Q,CA=b,AB=c,若tan—=^—,

2b+c

Bb

tan—=-------,则△ABC是（）.

2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

即时啊

1.（2024高三・全国•专题练习）在A48c中，若acosN=6cosB,则的形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

2.（22-23高三•河南商丘•阶段练习）在A48C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2g=F，

22c

则A42C是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.4=30。的三角形

3.（22-23高三•阶段练习）设“3C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,b2=c2+a2-ca,且

sin/=2sinC,则“BC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

4.（2023•四川凉山•二模）在。8C中，角/,B,C对边分别为a,b,c.命题

]_㈤2且

P----------""（廿,）=0,命题为等腰三角形.则p是4的（）

1+tan2—a

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点五、三角形面积的应用

典例引领

1.（2023•全国•高考真题）在“8C中，己知NA4c=120。，AB=2,/C=l.

⑴求sin/NBC；

（2）若。为2C上一点，且4840=90。，求△NDC的面积.

2.（2022・浙江・高考真题）在AABC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=底,cosC=g.

⑴求sin/的值；

（2）若6=11,求的面积.

3.（2024•全国可考真题）记。8c的内角/、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=V^cosB，

a*"+Z>2_c?=y[^ub

①求8;

（2）若AA8C的面积为3+6，求c.

4.（2022・北京•高考真题）在中，sin2C=V3sinC.

⑴求/C;

（2）若6=6,且。3C的面积为6月，求A/BC的周长.

即反购

1.（2024・北京大兴•三模）"BC中，角/,B,C对边分别为a,b,c,acosB=73,bsinA=l.

（1）求的大小；

（2）若b=亚，求/8C的面积.

2.（2024・福建莆田•三模）在"BC中，内角4瓦。的对边分别为a/,c,且6（cosC+l）=c（2-cosB）.

(1)证明：a+b=2c.

9一

(2)右a=6,cosC=一,求AZSC的面积.

16

3.（2024・浙江.模拟预测）已知18C中，角48,C所对的边分别为。也c.已知c=3,S“Bc=b2sinC.

⑴求。的取值范围;

⑵求最大时，08c的面积.

4.（2024•安徽滁州•三模）在“8C中,角48,C的对边分别为a,6,c,26cosc-c=2a.

⑴求3的大小;

（2）若°=3,且4C边上的中线长为叵，求“8C的面积.

2

考点六、外接圆、内切圆半径问题

典例引领

7T

1.(2024•贵州六盘水•三模)在UBC申，AB=2,AC=3,乙4=§,则。8C外接圆的半径为（）

V212V72V2T

Rrnu.------

333

2.（2024•浙江•模拟预测）如图，在平面内的四个动点A,B,C,。构成的四边形/BCD中，AB=\,

⑴求“CD面积的取值范围；

（2）若四边形/BCD存在外接圆，求外接圆面积.

3.（2023・湖北•二模）已知在中，其角A、B、C所对边分别为。、b、c,且满足

bcosC+43bsinC=a+c-

⑴若6=6,求的外接圆半径;

（2）若a+c=4G，且说•元=6，求A/BC的内切圆半径

即时

1.（2024・河南信阳•模拟预测）设AA8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知。=9,6=8,c=5,

则的外接圆的面积为（）

113

D.——7t

6

7T

2.（2024・辽宁大连,一■模）在中,//==3,/C=2

⑴求点A到边3c的距离：

（2）设尸为边48上一点，当「B'+PC?取得最小值时，求APBC外接圆的面积.

3.（2024•山西晋城•一模）在A/8C中，AB=3。,AC=5也,BC=：也.

⑴求N的大小；

（2）求^ABC外接圆的半径与内切圆的半径.

4.（2024・全国•模拟预测）在“8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且

.2/•2八sin2A-sin2B

sinA-sinB=-----------

4

⑴求C;

（2）若。=2,求。内切圆半径取值范围.

考点七、双正弦

典例引领

I_____________________

1.（2024•福建泉州•一模）在AASC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且ccosB-bcosC=,

点D是BC上靠近C的三等分点

⑴若。8C的面积为36，求/。的最小值；

7T

⑵若=—,求sin2g.

6

2.（2024・山东日照•二模）"BC的内角4瓦。的对边分别为见仇c.分别以。也。为边长的正三角形的面积

依次为国,$2,$3,且E-S2-邑=，儿.

⑴求角A；

（2）若丽=4丽，NC4D=J,求sin/NCB.

0

3.（2024•山东荷泽•模拟预测）在A/8C中，。为BC边的中点.

⑴若ZC=2A/LNACD=NDAC=j求的长；

6

jr

(2)若/B4D+/4CD),AS-AC^O,试判断。BC的形状.

4.(2024•河北衡水•模拟预测)如图，在平面四边形/BCD中，\AB\=\AC\=243,ZADC=ZCAB=120°,设

ZDAC^G.

⑴若⑷=2,求忸力的长;

(2)若乙4。8=15。，求tan。.

即时检测

1.(2024•河北沧州•模拟预测)在A/3C中，角HB,C的对边分别为a,b,c,已知/=c(c+b).

⑴求证：B+3C=7t；

(2)若//8C的角平分线交/C于点。，且。=12,6=7,求1ao的长.

TT3冗

2.(2024•河南,三模)已知P是。3C内一点，PB=PC,/BAC=—,/BPC=——，/ABP=0.

44

(1)若6a,求NC；

兀

(2)若e=§,求tan/3/尸.

3.(23-24高三下•安徽•阶段练习)已知a,b,c分别是△N8C的三个内角的对边，且

J5csinA+acosC=b+c.

⑴求/;

(2)若8c=2,将射线8/和。分别绕点8,C顺时针方向旋转15°,30°,旋转后相交于点。(如图所示),

且ND8C=30°,求40.

考点八、双余弦

典例目阚

1.（2024•全国,模拟预测）记。8C的内角48,C的对边分别为a,九c,taiU=VL6sinC=2sing+C）.

⑴求c；

（2）若点。在边8C上，且AD=—,求A/8C的面积.

33

即时检测

1.（2024・山东济南•二模）如图，已知平面四边形/BCD中，AB=BC=20CD=2,AD=4.

⑴若48,C,。四点共圆，求/C;

（2）求四边形23cZ）面积的最大值.

2.（2024・河北・二模）已知AA8C中，角42,C的对边分别为a/,c,A4BC的面积为S,a=26.

⑴若S=4而,A/BC为等腰三角形，求它的周长；

3

⑵若sinC=-,求siih4,sin5.

考点九、解三角形中的证明问题

典例引领

L（23-24高二下•浙江杭州•期中）在AABC中,内角4瓦C所对的边分别为.也c,满足b=a-26cosC.

⑴求证：C=2B；

（2）求2sinC+cos5—sinB的最大值.

2.（2024•全国•模拟预测）在。5c中，点。，E都是边5C上且与5,。不重合的点，且点。在5,£之间,

AEACBD=ADABCE.

⑴求证：sinXBAD=sinZCAE.

22

（2）若求证：*AD+牛AF=——-?——.

BD-CE21-sinZDAE

3.（23-24高三上•河南信阳•阶段练习）设。的内角4B、C的对边分别为b、c,已知

1-sin^4_1-cos2B

cosAsin25

TT

⑴证明：A+2B=~.

2

（2）求冬的取值范围.

c

即时购

1.（23-24高三上•广东•阶段练习）已知。8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,。是边3C上一点,

NBAD=a,ACAD=p,AD=d,且2acsina+sin6=3bc.

5兀

（1）若/=L，证明：a=3d；

6

⑵在（1）的条件下，且CO=23。，求cos4DC的值.

2.（22-23高一下•山东枣庄•期中）中，内角4,B,。所对的边分别为a,b,c已知

4asinA=bsinCcosA+csinAcosB.

,siib4_

⑴求蓊的值;

（2）若BD是/ABC的角平分线.

(i)证明：BD2=BABC-DADC;

（ii）若a=l,求502C的最大值.

3.（23-24高三上•江苏•开学考试）如图，在内任取一点尸，直线4P、BP、CP分别与边2C、CA,

AB相交于点。、E、F.

BD_ABsinZBAD

⑴试证明:

~ACsinZDAC

⑵若。为重心，4D=5,BE=4,CF=3,求AA8C的面积.

考点十、解三角形中的实际应用

典例后阚

1.2（021•全国•高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的

高.如图，点E,H,G在水平线4c上，和尸G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为表

高"，EG称为"表距”，GC和E"都称为"表目距"，GC与的差称为“表目距的差”则海岛的高/8=

()

表图x表距表iW]x表距

C.+表距D.-表距

表目距的差表目距的差

2.（2024•陕西西安•模拟预测）在100m高的楼顶A处，测得正西方向地面上5、C两点（从C与楼底在同一

水平面上）的俯角分别是75。和15。，则8、C两点之间的距离为（）.

A.200也B.240A万C.180GD.20073

3.（2024•江苏扬州•模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山

上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高

度.把塔底与塔顶分别看作点c,D,CD与地面垂直，小李先在地面上选取点aB,测得/8=20百m,

在点/处测得点C,。的仰角分别为30°,60°,在点8处测得点。的仰角为30°,则塔高C。为m.

即

1.（2024•广东•二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小

镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为

«1=1.00m,之后将小镜子前移。=6.00m,重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为出=0-60m,已

知人的眼睛距离地面的高度为〃=1.75m,则钟楼的高度大约是（）

C.26.75mD.26.25m

2.（2024•湖南•模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常

在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的

限制，分别选择C点和一建筑物的楼顶£为测量观测点，已知点/为塔底，4G。在水平地面上，来

雁塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得CD=18m,/D=15m,在C点处测得E点的仰角为

30。，在E点处测得2点的仰角为60。，则来雁塔的高度约为（）（百。1.732,精确到0.1m）

A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m

3.（2024•山东临沂•一模）在同一平面上有相距14公里的48两座炮台，A在3的正东方.某次演习时，A

向西偏北。方向发射炮弹，8则向东偏北。方向发射炮弹，其中。为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外

n

的同一目标，接着A改向向西偏北］方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点则8炮台与弹着点M的

距离为（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

IA.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（2024•浙江,模拟预测）在。8c中，a/,c分别为角4瓦。的对边，若taiU=3,B=（,bc=2回,则

”（）

A.2B.3C.2A/2D.372

2

2.（2024・重庆•模拟预测）记AASC的内角4瓦。的对边分别为a,6,c,若5=§兀=6,/+/=3ac,则

的面积为（）

9-x/399-739

A.—B.-C.—D.-

4422

二、多选题

3.（2024•重庆•三模）在。8C中，角48,C的对边为a也c,若6=2指,0=2,。=£,则“3C的面积可以是

6

（）

A.V3B.3C.2A/3D.373

三、填空题

4.（2024•山东威海•二模）在“8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=",b+c=4,

COSC=--•贝!Isin/=.

6

5.（2024•北京西城•三模）在“8C中，若c=2,a=0,^=7）贝UsinC=,b=.

o

四、解答题

6.（2024•陕西西安•模拟预测）记》5C的内角4瓦。的对边分别为。也c,已知26=°.

⑴若cosB=sinC,求tanfi；

a

⑵若cos/=—,a=C,求A48C的面积.

4

7.（2024・河北•一模）在A43c中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足/+/?+"z6=（?.

⑴求角。的大小；

（2）若6=1,c=2bcosB,求“BC的面积.

A-L-C

8.（2024•贵州黔东南•二模）在“8C中，角42,C的对边分别为a,6,c,且6sin（/+2?）-csin三上=0.

⑴求3；

（2）若b=5,a+c=8,求的面积.

9.（2024•江西新余•二模）在“8C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且“8C的面积

S=g（/+<?-62卜in瓦

（1）求角8;

⑵若//8C的平分线交4C于点。，«=3,c=4,求3。的长.

10.（2024•陕西西安・一模）在。3c中，角4B,C所对的边分别为a/,c,csin^+V3asinfc+-|j=0,

c=6.

⑴求角c；

（2）若c=A，求。BC的周长.

能力提列,

一、单选题

1.（2024・安徽芜湖•模拟预测）记。5C的内角4B,C的对边分别为eb,c,

sin（3-C）+sin/=T，6=gc,则角C=（）

2.（2024•陕西・模拟预测）在“8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,

c（sin/-sinC）=（a-6）（sin/+sinB）,若“BC的面积为",周长为36,则/C边上的高为（）

4

A.立B."C.V3D.2月

32

二、多选题

3.（2024,江苏宿迁•三模）在。8C中，角/，B,C所对的边分别为a,b,若2y/3ccos2=6sinC,且

边/C上的中线2D长为百，贝。（）

B.b的取值范围为［2,26）

c.”BC面积的最大值为2百D.“8C周长的最大值为3太

三、填空题

Z7h

4.（2024•湖北武汉•二模）在。5C中，角4,B,。所对的边分别为。，b,C,-+-=4cosC.且

ba

tanBtan4+tan5tanC=tanAtanCf贝UcosA=.

5.2024•陕西安康•模拟预测）在08C中，内角42,C所对的边分别为a,6,c,若b=2,与二三+f

cosCcosncosC

则2a+c的最大值为.

四、解答题

6.Q024•福建泉州•模拟预测）在中，角N,8,C所对的边分别为a,6,c,已知。<6<c且taM/an民tanC

均为整数.

(1)证明：tan25-1=tan^tanC；

（2）设/C的中点为D,求/COB的余弦值.

7.(2024高三下•全国•专题练习)在①6(sin/+sinB)=(c+a)(sinC-sin4),②tan8+tanC=-

ccosB

③y/3bsin~~~~=csinB

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上,并解答.

在。3c中，内角A,B,C的对边分别为b,c,且,

⑴求角C的大小;

⑵已知c=7,。是边43的中点，S.CD1CB,求的长.

bb2+c2-a2

8.（2024・全国•模拟预测）记。8C的内角4反。的对边分别为a,6,c.已知

2c-ba2+c2-b2

⑴求A；

⑵若。为48的中点，且6。。=而48,求cosN/CB.

9.（2023•黑龙江佳木斯•三模）"8C中，角4,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知

csinCcosB+bsinCcosC=出ccosA•

⑴求

⑵若/4BC=NACB,满足2。=3,0）=2,四边形48OC是凸四边形，求四边形ARDC面积的最大值.

10.（2024•河北•二模）若"8C内一点产满足NP/8=NPBC=NPC/=e,则称点尸为。BC的布洛卡点,

0为的布洛卡角.如图,已知。3c中，BC=a,AC=b,45=c,点尸为的布洛卡点，B为〃BC

的布洛卡角.

求/48C的大小.

（2）若O8C为锐角三角形.

11-+」

(i)证明:+1

tan。tanZBACtanZABCtanZACB

(ii)若PB平分/ABC,证明：b2=ac.

真题感知

1.（2024・上海・高考真题）已知点8在点C正北方向，点。在点C的正东方向，8C=CZ）,存在点N满足

NB4c=ZDAC=37。，则NBCA=（精确到0.1度）

2.（2024・北京•高考真题）在中，内角4及。的对边分别为a,6,c,为钝角，a=l,

・CD6hn

sinIB=——bcosB■

7

⑴求4；

⑵从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得“8C存在，求“3C的面积.

条件①：6=7；条件②：cos5=j|;条件③：csin/=g百.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

9a2

3.（2024•天津遍考真题）在AAS。中，角4丛。所对的边分别为。也c,已知COSB=7，=5,—=—.

16c3

⑴求。；

⑵求sirU；

⑶求cos（B—2/）的值.

4.（2022・浙江•高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法

称为〃三斜求积〃，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

S=c2y,其中历儿c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边

a—>/2,b-V3,c=2f则该二角形的面积S=.

5.（2022•天津•高考真题）在AZ8C中，角/、B、C的对边分别为a,b,c.已知a=新力=2c,cos/=—.

4

⑴求c的值；

（2）求sin8的值；

⑶求sin（2/-8）的值.

6.2022•全国・高考真题）记AA8C的内角/,3,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin（4-8）=sin8sin（C-/）.

⑴若/=28,求C；

(2)证明：2/=^+°2

7.(2022•全国•高考真题)记。8C的内角48,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(N-B)=si