2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+y−12=0的倾斜角是(

)A.π4 B.π2 C.3π42.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则OB等于A.5 B.34 C.41 3.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A.x29+y2=1 B.x281+y4.已知方程x22+m−y2A.(−2,−1) B.(−∞,−2)∪(−1,+∞)

C.5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是(

)A.612 B.68 C.6.已知椭圆C:x29+y25=1A.9+21 B.14 C.7+27.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A.210 B.6 C.268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A.y=−x2+1(x≠±1) B.y=x2+1(x≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则A.−13 B.13 C.−10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点FA.PQ=4a B.3PF1=PQ

C.双曲线C的渐近线方程为y=±11.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的A.顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形

B.C3的面积为C1的4倍

C.C3的方程为4x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1:2x+y−8=0和l2:x−3y+10=0截得的线段被点P平分，则直线l13.直线y=x−2与抛物线y2=2x相交于A,B两点，则OA⋅14.设F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若△FOH的内切圆与x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0),B(1,0)，动点P满足PA⊥PB.(1)求动点P的轨迹方程；(2)将点A和点B并入点P的轨迹得曲线C，若过点Q(1,2)的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的方程16.(本小题12分)如图，在棱长为a的正方体OABC−O'A'B'C'中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.

(1)求证：A'F⊥C'E;

(2)当三棱锥B'−BEF的体积取得最大值时，求平面B'EF与平面BEF的夹角正切值.

17.(本小题12分)已知顶点为O的抛物线y2=12x的焦点为F，直线l与抛物线交于A,B(1)若直线l过点M(5,0)，且其倾斜角θ∈π6,(2)是否存在斜率为1的直线l，使得FA⊥FB?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.18.(本小题12分)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且△ABD的边长为3，点E在母线PC上，且(1)求证：直线PO//平面(2)若点M为线段PO上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离.19.(本小题12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,(2)过点H(−2,0)的直线交椭圆于A,B两点，若AF1⊥B(3)直线l1,l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1和l2分别与椭圆交于点C,D和E，F.若M,N分别是线段答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．

求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角．【解答】

解：因为直线x+y−12=0的斜率是−1，

所以tanα=−1，它的倾斜角为3π4.2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查空间直角坐标系，考查空间向量的模，是基础题.

结合题意可得到B的坐标，根据向量的模计算公式得到结果．

【解答】

解：∵点B是A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，

∴B点的坐标是(3,4,0)，

∴|OB|=3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，分类讨论思想的应用，属于基础题．

根据题意分两种情况讨论，设椭圆方程的两种形式，然后根据题意求出结果．【解答】

解：①当焦点在x轴上时，设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

由椭圆过点P(3,0)，知9a2+0b2=1，

又a=3b，

解得b2=1，a2=9，

故椭圆的方程为x29+y2=1；

②当焦点在y轴上时，设其方程为y2a24.【答案】B

【解析】【分析】本题考查双曲线的概念及标准方程，属于基础题．

利用方程表示双曲线，列出不等式求解即可．【解答】

解：方程x22+m−y2m+1=1表示双曲线，

可得(2+m)(m+1)>0，

解得m<−2或m>−15.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.

建立，以O为原点，OB，OC，OP方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O−xyz，由异面直线夹角向量法即可求解.

【解答】

解：由题意知，PA=4，AB=2，PO=42−22=14.

设AC，BD交于点O，以O为原点，OB，OC，OP方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，

建立空间直角坐标系O−xyz，如图，

所以P(0,0,14)，A(0,−26.【答案】B

【解析】【分析】本题考查椭圆的性质及几何意义，属于中档题.

利用椭圆定义及三角形两边之差小于第三边即可求解.【解答】

解：如图所示，设椭圆的左焦点为F'，

|AF|=22+(−23∴△APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|

=|AF|+|PA|+6−|PF'|≤4+6+4=14，

当且仅当A，F'，P三点共线时取等号(点P位于图中的P'处).

∴△APF周长的最大值等于14.

故选7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了对称问题，重点考查了两点的距离公式，属中档题．

由对称问题，结合两点的距离公式求解．

【解答】

解：设P关于x轴的对称点为P1，PP1与x轴交于M，

则P1的坐标为(0,−2)，

根据对称性，

设P1关于直线AB对称的点为P2，P1P2与AB直线交点为N，

根据对称性|P1N|=|NP2|，

又直线AB的方程为x−3+y3=1，

即x−y+3=0，

设P(m,n)，

则n+2m8.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查轨迹方程的求法，考查计算能力，注意斜率存在的条件，属于基础题．

设M(x,y)，先表示直线AM、BM的斜率，再利用斜率之差可得所求方程．

【解答】

解：设M(x,y)，则kBM=yx−1

(x≠1)，kAM=yx+1(x≠−1)，

因为直线AM与直线BM的斜率之差是2，

即kAM−kBM=2，

所以yx+19.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查了点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

利用点到直线的距离公式即可得出.

【解答】∵两点A(−3,−4)，B(6,3)到直线

l:ax+y+1=0的距离相等，

∴|−3a−4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，化为

10.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，考查直线与双曲线的位置关系及其应用，双曲线的焦点三角形问题，属于中档题.

根据给定条件，结合双曲线的定义求得|PF1|=2a3，|QF1|=4a3，再逐项计算判断即可.

双曲线x【解答】解：由4PQ=3PF2，设PQ=3m，则PF1=4m−2a，QF1=5m−2a，而|PF对于A，PQ=2a，A对于B，显然F1Q=2PF对于C，令|F1F2|=2c，在△P则c2=179a2，b2=c对于D，由tan∠PF1F2=PF2P故选：BC.11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查椭圆的定义和性质，属于中档题.

求出焦点即可判断A;根据相似比求解B;根据题意所描述的变换判断C；设出P，Q点的坐标，得到kPQkOR=−59，即可判断D.

【解答】

解：椭圆C1:x29+y25=1的焦点为(−2,0)，(2,0)，

将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，

则椭圆C2的焦点为(0,−2)，(0,2)，

所以顺次连接C1，C2的四个焦点构成一个正方形，故A正确;

将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，

所以C3与C1为相似曲线，相似比为2，

所以C3的面积为C1的面积的22=4倍，故B正确;

且C3的方程为(x2)29+(y2)25=1，即x236+y22012.【答案】x+4y−4=0

【解析】【分析】本题考查两点式求直线的方程，属于中档题.

设l1与l的交点为A(a,8−2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(−a,2a−6)在l2上，求得a的值，再根据点A、P点的坐标，求得直线l【解答】

解：设l1与l的交点为A(a,8−2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(−a,2a−6)在l2上，

代入l2的方程得−a−3(2a−6)+10=0，解得a=4，

即点A(4,0)在直线l上，

又点P(0,1)在直线l上，

所以直线l的方程为x4+y=1，

13.【答案】0

【解析】【分析】本题求解OA⋅OB，把两点坐标具体求解出，考查距离公式的应用，属于基础题．

将直线y=x−2与抛物线【解答】

解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则OA•OB=x1x2+y1y2，14.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，圆的几何性质，属于较难题.

先求出内切圆半径，再利用已知条件找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．

【解答】

解：因为F到渐近线的距离FH=b,OH=c2−b2=a,

则△FOH的内切圆的半径r=a+b−c2,

设△FOH的内切圆与HF切于点M，则MH=r=a+b−c2，

因为BF=OB，

所以FM15.【答案】解：(1)设P(x,y)，∵PA⊥PB，A(−1,0),B(1,0)，

∴PA=(−1−x,−y),PB=(1−x,−y)，

∴由PA⋅PB=0，

得(−1−x)(1−x)+(−y)2=0，

即x2−1+y2=0，

则动点P轨迹方程x2+y2=1(y≠0)；

(2)由题设知曲线C的方程为x2+y2=1，

由直线l与曲线C有且只有一个交点，直线l与圆相切，故分两种情况考虑：

当直线l与圆相切时，

①若斜率存在，设l：y−2=k(x−1)，即kx−y+2−k=0，

由【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．

(1)根据向量垂直的坐标运算即可求解；

(2)根据直线与圆相切时，只有一个交点，即可求解.16.【答案】解：(1)证明：如图，

以O为原点建立空间直角坐标系(为了方便，我们把ABB'A'朝外)

设AE=BF=x，则A'(a,0,a)，F(a−x,a,0)，C'(0,a,a)，E(a,x,0)，

∴A'F=−x,a,−a,C'E=a,x−a,−a，

∵A'F⋅C'E=−xa+ax−a+a2=0，

∴A'F⊥C'E；

(2)记BF=x，BE=y，则x+y=a，

三棱锥B'−BEF的体积V=16xya≤a6x+y22=124a3，

当且仅当x=y=a2时，等号成立，

因此，三棱锥B'−BEF的体积取得最大值时，BE=BF=a2，

此时Ea,a2【解析】本题考查空间中两平面夹角的求法，利用空间向量证明线线垂直，利用基本不等式求最值，属于中档题.

(1)以O为原点建立空间直角坐标系，AE=BF=x，验证A'F⋅C'E=0，即可证明A'F⊥C'E；

(2)利用基本不等式，确定三棱锥B'−BEF的体积取得最大值时，17.【答案】解：(1)由题可知F(3,0)，且直线l的斜率不为0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线l的方程为kx−y−5k=0，

因为θ∈[π6,π3]，则k∈[33,3]，

因此点O到直线l的距离为d=|−5k|k2+1，

联立y2=12xx=1ky+5，则y2−12ky−60=0，

显然△>0，所以y1+y2=12k，y1y2=−60，

则|AB|=1+(1k)2⋅144k2+240，

所以SΔOAB=12d|AB|=109k2+15，

当k2=13时，S△OAB取得最大值1042，

当k2=3时，S【解析】本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，体现了函数及方程思想的应用，属于中档题.

(1)先设直线l的方程为kx−y−5k=0，结合直线的倾斜角与斜率关系先求出斜率的范围，然后求出点O到直线l的距离d，联立直线与抛物线方程，结合方程的根与系数关系求出|AB|，进而表示S△OAB，结合函数性质即可求解;

(2)先设直线l的方程为y=x+b，联立直线与抛物线方程，结合方程的根与系数关系及向量数量积的性质的坐标表示即可求解18.【答案】解：(1)证明：如图，设AC交BD于点F，连接EF，

易知PO⊥底面ABD，

因为AC⊂底面ABD，

所以PO⊥AC.

又△ABD是底面圆的内接正三角形，

所以AC=3sinπ3=2，F为BD中点.

因为AE=3，CE=1，所以AC2=AE2+CE2，

所以AE⊥EC.

又AF=3−34=32，

所以CF=2−32=12，AO=23AF=1.

因为AEAC=AFAE=32，且∠EAF=∠CAE，

所以△ACE∽△AEF，

所以∠AFE=∠AEC=90∘，即EF⊥AC，

所以EF//PO.

因为PO⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，

所以直线PO//平面BDE.

(2)易知PO=2EF=3.以点F为坐标原点，FA，FB，FE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(32,0,0)，B(0,32,0)，D(0,−32,0)，E(0,0,32)，

P(12,0,3)，O(12,0,