2025《金版教程•高考数学复习创新方案》第4节 复数

第四节复数课标解读考向预测1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.2.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．复数是高考的必考内容，主要考查复数的加、减、乘、除运算及复数的几何意义．预计2025年高考会考查复数运算，题型以选择题、填空题为主，分值为5分或6分.必备知识——强基础1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中eq\x(\s\up1(01))a是实部，eq\x(\s\up1(02))b是虚部，i为虚数单位．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b\x(\s\up1(03))＝0），,虚数（b\x(\s\up1(04))≠0）（当a\x(\s\up1(05))＝0时为纯虚数）.))(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔eq\x(\s\up1(06))a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔eq\x(\s\up1(07))a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作eq\x(\s\up1(08))|z|或eq\x(\s\up1(09))|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝eq\x(\s\up1(10))(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝eq\x(\s\up1(11))(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝eq\x(\s\up1(12))(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．复数z的方程在复平面内表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环．(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.()(2)复数可以比较大小．()(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2023·全国甲卷)eq\f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝()A．－1 B．1C．1－i D．1＋i答案C解析eq\f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(5（1－i）,5)＝1－i.故选C.(2)(人教A必修第二册习题7.2T2改编)在复平面内，向量eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up6(→))对应的复数是－1－3i，则向量eq\o(CA,\s\up6(→))对应的复数是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i答案D解析∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1－3i－2－i＝－3－4i.故选D.(3)若a＋bi(a，b∈R)是eq\f(1－i,1＋i)的共轭复数，则a＋b＝________．答案1解析由eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(（1－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1.(4)(人教B必修第四册习题10－1AT2改编)已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第________象限．答案0二解析由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由复数相等的充要条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2＝－3，,－（1＋2a）＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))所以a＋b＝0，z＝－1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．考点探究——提素养考点一复数的有关概念例1(1)(2023·苏州期末)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a的值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案A解析∵(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i＋a＝1＋a＋(a－1)i为纯虚数，∴1＋a＝0，且a－1≠0，∴a＝－1.故选A.(2)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则eq\o(z,\s\up6(－))的实部为()A．1 B．－1C．2 D．－2答案C解析由题意，得z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(（4＋3i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝2＋i，故eq\o(z,\s\up6(－))的实部为2.故选C.【通性通法】解决复数概念问题的两个注意事项【巩固迁移】1．(2024·衡水中学模拟)已知eq\f(x,1＋i)＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为()A．2＋i B．2－iC．1＋2i D．1－2i答案B解析由eq\f(x,1＋i)＝1－yi，得eq\f(x（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1－yi，即eq\f(x,2)－eq\f(x,2)i＝1－yi，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y，))解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i.故选B.2．复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________．答案－4解析z＝(3＋i)(1－4i)＝7－11i，则z的实部为7，虚部为－11，故复数z的实部与虚部之和是7－11＝－4.考点二复数的运算例2(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，则z－eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－i B．i C．0 D．1答案A解析因为z＝eq\f(1－i,2＋2i)＝eq\f(（1－i）（1－i）,2（1＋i）（1－i）)＝eq\f(－2i,4)＝－eq\f(1,2)i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)i，所以z－eq\o(z,\s\up6(－))＝－i.故选A.(2)若复数z满足eq\f(z－i,z＋1)＝i，则z2＝________，|z|＝________．答案－2ieq\r(2)解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\f(z－i,z＋1)＝eq\f(a＋（b－1）i,（a＋1）＋bi)＝i，a＋(b－1)i＝i·[(a＋1)＋bi]＝－b＋(a＋1)i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－b，,b－1＝a＋1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))所以z＝－1＋i，故z2＝(－1＋i)2＝－2i，|z|＝eq\r(（－1）2＋12)＝eq\r(2).【通性通法】复数代数形式运算的策略【巩固迁移】3．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i答案D解析(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D.4．(2023·全国乙卷)设z＝eq\f(2＋i,1＋i2＋i5)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋i答案B解析由题意可得z＝eq\f(2＋i,1＋i2＋i5)＝eq\f(2＋i,1－1＋i)＝eq\f(i（2＋i）,i2)＝eq\f(2i－1,－1)＝1－2i，则eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋2i.故选B.考点三复数的几何意义例3(1)如图，若向量eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z，则z＋eq\f(4,z)表示的复数为()A．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋i答案D解析由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋eq\f(4,z)＝1－i＋eq\f(4,1－i)＝1－i＋eq\f(4（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1－i＋eq\f(4＋4i,2)＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D.(2)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为A，复数z2满足|z2－1＋i|＝2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则下列结论正确的是()A．复数z1的虚部为iB．(x－1)2＋(y＋1)2＝4C．|z1－z2|的最大值为eq\r(13)＋2D．|z1＋z2|的最小值为eq\r(13)－2答案BC解析由z1＝－2＋i知，虚部为1，故A错误；因为|z2－1＋i|＝2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则|(x－1)＋(y＋1)i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故B正确；由题意知，点B在以(1，－1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，|AB|＝|z1－z2|，所以|z1－z2|max＝eq\r(（－2－1）2＋（1＋1）2)＋2＝eq\r(13)＋2，故C正确；|z1＋z2|＝|(－2＋x)＋(1＋y)i|＝eq\r(（x－2）2＋（y＋1）2)表示点B与定点(2，－1)的距离，易知点(2，－1)在圆内，所以|z1＋z2|min＝2－eq\r(（2－1）2＋（－1＋1）2)＝1，故D错误．故选BC.【通性通法】复数z、复平面内的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up6(→)).由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【巩固迁移】5．在复平面内，复数eq\f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析eq\f(1,1－i)＝eq\f(1＋i,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i的共轭复数为eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，对应点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，在第四象限．故选D.6．设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点的距离的最大值是()A．1 B．eq\r(3)C．eq\r(5) D．3答案D解析由题意可知，在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点(0，2)的距离为1的点的集合，即以(0，2)为圆心，1为半径的圆，圆心(0，2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3.故选D.课时作业一、单项选择题1．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a∈R)为纯虚数，等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－4＝0，,a－3≠0，))即a＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．故选A.2．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案A解析因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A.3．(2024·长春模拟)若复数z的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))，且满足eq\o(z,\s\up6(－))·(1＋2i)＝1－i，则复数z的虚部为()A．eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)iC．eq\f(3,5)i D．－eq\f(3,5)答案A解析eq\o(z,\s\up6(－))·(1＋2i)＝1－i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1－i,1＋2i)＝eq\f(（1－i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(－1－3i,5)＝－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i，∴z＝－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，∴复数z的虚部为eq\f(3,5).故选A.4．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析因为i(1－z)＝1，两边同乘以i，则原式变为i2(1－z)＝i，即－1＋z＝i，z＝1＋i，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，则z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i＋1－i＝2.故选D.5．若复数z满足(1＋i)·z＝2－4i，则|eq\o(z,\s\up6(－))|＝()A．10 B．eq\r(10)C．20 D．2eq\r(5)答案B解析z＝eq\f(2－4i,1＋i)＝eq\f(（2－4i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(2－2i－4i＋4i2,2)＝－1－3i，所以|eq\o(z,\s\up6(－))|＝|－1＋3i|＝eq\r(（－1）2＋32)＝eq\r(10).故选B.6．设eq\o(z,\s\up6(－))是复数z的共轭复数．在复平面内，复数z＋2与eq\o(z,\s\up6(－))＋2i对应的点关于y轴对称，则eq\f(1,z)＝()A．－1＋i B．－eq\f(1,2)－eq\f(i,2)C．eq\f(1,2)－eq\f(i,2) D．－eq\f(1,2)＋eq\f(i,2)答案B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2＝(a＋2)＋bi，eq\o(z,\s\up6(－))＋2i＝a＋(2－b)i，因为复数z＋2与eq\o(z,\s\up6(－))＋2i对应的点关于y轴对称，所以a＋2＋a＝0且b＝2－b，解得a＝－1，b＝1，则z＝－1＋i，eq\f(1,z)＝eq\f(1,－1＋i)＝eq\f(－1－i,（－1＋i）（－1－i）)＝eq\f(－1－i,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(i,2).故选B.7．已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为()A．1 B．eq\r(2)－1C．eq\r(2) D．eq\r(2)＋1答案B解析令z＝x＋yi(x，y∈R)，则由题意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，∴|z|的最小值即为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z|的最小值为eq\r(2)－1.故选B.8．若1＋eq\r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3 B．b＝2，c＝－eq\r(3)C．b＝－2，c＝－eq\r(3) D．b＝－2，c＝3答案D解析方程的根为x＝eq\f(－b±\r(b2－4c),2)＝－eq\f(b,2)±eq\r(\f(b2－4c,4))，1＋eq\r(2)i为其中一个复数根，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)＝1，,\f(b2－4c,4)＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝3.))故选D.二、多项选择题9．(2023·苏州模拟)若复数z满足(1＋i)z＝5＋3i(其中i是虚数单位)，则()A．z的虚部为－iB．z的模为eq\r(17)C．z的共轭复数为4－iD．z在复平面内对应的点位于第四象限答案BD解析由(1＋i)z＝5＋3i，得z＝eq\f(5＋3i,1＋i)＝eq\f(（5＋3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(8－2i,2)＝4－i，所以z的虚部为－1，A错误；z的模为eq\r(42＋（－1）2)＝eq\r(17)，B正确；z的共轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D正确．故选BD.10．(2024·湖北襄阳一中阶段考试)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是()A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若eq\o(z,\s\up6(－))2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2答案BC解析由|i|＝|1|，知A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又eq\o(z,\s\up6(－))2＝z3，所以|z2|＝|eq\o(z,\s\up6(－))2|＝|z3|，故C正确；令z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误．故选BC.11．欧拉公式exi＝cosx＋isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法正确的是()A．复数e2i对应的点位于第二象限B．eeq\s\up7(\f(π,2)i)为纯虚数C．复数eq\f(exi,\r(3)＋i)的模等于eq\f(1,2)D．eeq\s\up7(\f(π,6)i)的共轭复数为eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i答案ABC解析对于A，e2i＝cos2＋isin2，因为eq\f(π,2)<2<π，即cos2<0，sin2>0，所以复数e2i对应的点位于第二象限，A正确；对于B，eeq\s\up7(\f(π,2)i)＝coseq\f(π,2)＋isineq\f(π,2)＝i，eeq\s\up7(\f(π,2)i)为纯虚数，B正确；对于C，eq\f(exi,\r(3)＋i)＝eq\f(cosx＋isinx,\r(3)＋i)＝eq\f(（cosx＋isinx）（\r(3)－i）,（\r(3)＋i）（\r(3)－i）)＝eq\f(\r(3)cosx＋sinx,4)＋eq\f(\r(3)sinx－cosx,4)i，于是得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(exi,\r(3)＋i)))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)cosx＋sinx,4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)sinx－cosx,4)))\s\up12(2))＝eq\f(1,2)，C正确；对于D，eeq\s\up7(\f(π,6)i)＝coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，其共轭复数为eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i，D不正确．故选ABC.三、填空题12．已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(3－i,1＋i)，则|iz|＝________．答案eq\r(5)解析解法一：iz＝eq\f(（3－i）i,1＋i)＝eq\f(1＋3i,1＋i)＝eq\f(（1＋3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4＋2i,2)＝2＋i，所以|iz|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).解法二：|iz|＝|i||z|＝1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－i,1＋i)))＝eq\f(|3－i|,|1＋i|)＝eq\f(\r(32＋（－1）2),\r(12＋12))＝eq\f(\r(10),\r(2))＝eq\r(5).13．已知i为虚数单位，若|z|2＋(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))i＝1－i且复数z对应的点在第三象限，则复数z的虚部为________．答案－eq\f(\r(3),2)解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|2＋(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))i＝1－i可得a2＋b2＋2ai＝1－i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,2a＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝－\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(\r(3),2)，))又因为复数z对应的点在第三象限，所以z＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，故复数z的虚部为－eq\f(\r(3),2).14．设复数z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(n)，i为虚数单位，n∈N，则由z的所有可能取值构成的集合为________．答案{－2，0，2}解析z＝in＋(－i)n，i为虚数单位，n∈N，当n＝4k(k∈N)时，z＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，z＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，z＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，z＝0.综上所述，由z的所有可能取值构成的集合为{－2，0，2}．15.(2024·河南郑州外国语学校期中)如图，已知复数z在复平面内所对应的向量是eq\o(AB,\s\up6(→))，图中每个小正方形网格的边长均为1，则eq\f(\o(z,\s\up6(－)),1－i)＝()A．1＋2i B．1＋3iC．3＋i D．2＋i答案D解析由题图可知eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，2)－(1，1)＝(3，1)，即z＝3＋i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝3－i，故eq\f(\o(z,\s\up6(－)),1－i)＝eq\f(3－i,1－i)＝eq\f(（3－i）（1＋i）,2)＝2＋i.故选D.16.(多选)(2024·广东东莞实验中学质检)已知复数z满足|z－1＋i|＝3，则()A．复数z虚部的最大值为2B．复数z实部的取值范围是[－2，4]C．|z＋1＋i|的最小值为1D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限答案ABC解析满足|z－1＋i|＝3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(1，－1)为圆心，3为半径的圆，如图．由图可知，虚部最大的复数为z＝1＋2i，即复数z虚部的最大值为2，A正确；实部最小的复数为z＝－2－i，实部最大的复数为z＝4－i，所以复数z实部的取值范围是[－2，4]，B正确；|z＋1＋i|表示复数z在复平面内对应的点到(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为3－2＝1，C正确；由图可知，复数z在复平面内对应的点位于第一、二、三、四象限，故D错误.故选ABC.17．(多选)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是()A．eq\f(z1,z2)∈RB．eq\o(z1·z2,\s\up6(——))＝eq\o(z,\s\up6(－))1·eq\o(z,\s\up6(－))2C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2D．若eq\o(z,\s\up6(－))1，eq\o(z,\s\up6(－))2在复平面内对应的向量分别为eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5答案BC解析对于A，eq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋3i,－1＋i)＝eq\f(（2＋3i）（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝eq\f(1－5i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(5,2)i，A错误；对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴eq\o(z1·z2,\s\up6(——))＝－5＋i，又eq\o(z,\s\up6(－))1·eq\o(z,\s\up6(－))2＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴eq\o(z1·z2,\s\up6(——))＝eq\o(z,\s\up6(－))1·eq\o(z,\s\up6(－))2，B正确；对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；对于D，由题意得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13)，D错误．故选BC.18．(多选)已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下列说法正确的是()A．z2＝eq\f(－1＋i,2) B．|z1|＝eq\f(1,|z2|)C．|z1＋z2|≥2 D．eq\o(z,\s\up6(－))1·eq\o(z,\s\up6(－))2＝－i答案ABD解析因为z1z2＝i，z1＝1－i，所以z2＝eq\f(i,1－i)＝eq\f(－1＋i,2)，故A正确；|z1|＝eq\r(12＋（－1）2)＝eq\r(2)，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以|z1|＝eq\f(1,|z2|)，故B正确；因为|z1＋z2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,2)))＝eq\f(\r(2),2)＜2，故C错误；eq\o(z,\s\up6(－))1·eq\o(z,\s\up6(－))2＝(1＋i)×eq\f(－1－i,2)＝－i，故D正确．故选ABD.19．(多选)(2024·九省联考)已知复数z，w均不为0，则()A．z2＝|z|2 B．eq\f(z,\o(z,\s\up6(－)))＝eq\f(z2,|z|2)C．z－w＝eq\o(z,\s\up6(－))－eq\o(w,\s\up6(－)) D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z,w)))＝eq\f(|z|,|w|)答案BCD解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，w＝c＋di(c，d∈R)．对于A，z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝(eq\r(a2＋b2))2＝a2＋b2，故A错误；对于B,eq\f(z,\o(z,\s\up6(－)))＝eq\f(z2,