工程数学 - 第七章 概 率 论

工程数学主

编

马玉

高琰

卢静概率论第七章目录随机事件01随机事件的概率02条件概率和全概率公式03事件的独立性与伯努利概型04CONTENTS行业PPT模板/hangye/随机变量及分布函数05随机变量的数字特征06MATLAB应用07第一节随机事件01一、随机现象与随机事件01

在一定条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象(必然现象).例如,在标准大气压下,纯水加热到100℃时必然沸腾.在一定条件下,事先不能断言出现哪种结果的现象称为随机现象.例如,一门炮向某一目标射击,每次弹着点的位置是随机现象.在自然界、生产实践和科学实验中,人们观察到的现象一般可分为确定性现象和随机现象两大类.

随机试验的每一个可能发生的结果称为随机事件,简称事件,通常用大写字母A、B、C表示.不能再分解的随机事件称为基本事件,例如,掷一枚骰子,“出现1点”“出现2点”各是一个随机事件,由于它们不能再分解,所以它们都是基本事件;而“出现偶数点”“出现奇数点”各是一个随机事件,由于它们还可以再分解,例如,“出现偶数点”可以分解为“出现4点”或“出现6点”,所以它们不是基本事件.

必然事件Ω:一次随机试验中,必然会发生的随机事件.

不可能事件Φ:一次随机试验中,不可能会发生的随机事件.

必然事件和不可能事件都属于确定性现象,但为了方便研究问题,我们仍然把它们当作随机事件,是随机事件的两个特殊情形.01二、事件间的关系及运算(1)包含关系:如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件A包含于事件B或称为事件B包含事件A,记作A⊂B或B⊃A.(2)相等关系:如果A⊂B,B⊂A同时成立,则称事件A与事件B相等,记作A=B.(3)互不相容事件(互斥事件):若事件A与B不能同时发生,即AB=Φ,则称事件A与B互不相容(或互斥),如图7-1所示.事件间的运算主要有以下三种.(一)事件的和(并)由事件A与B至少有一个发生构成的事件,称为事件A与B的和(并),记作A+B或A∪B,如图7-2阴影部分所示.对任意事件A,有A+A=A,A+Ω=Ω,A+Φ=A.01(二)事件的积(交)

由事件A与B同时发生构成的事件,称为事件A与B的积(交),记作AB或A∩B,如图7-3阴影部分所示.对任意事件A,有A·A=A,A·Ω=A,A·Φ=Φ.(三)互逆事件(对立事件)

若事件A与B满足A+B=Ω,AB=Φ,则称事件A与B互逆(或对立),如图7-4所示,事件A的逆事件记作A,即B=A.对任意事件A,有A+A=Ω,AA=Φ,A=A.第二节随机事件的概率02一、概率的统计定义02二、古典概型02三、概率的加法公式02第三节条件概率和全概率公式03一、条件概率03二、乘法公式03将条件概率公式以另一种形式写出,就是乘法公式的一般形式.乘法公式:P(AB)=P(A)P(BA),其中P(A)>0;或P(AB)=P(B)P(AB),其中P(B)>0.三、全概率公式03第四节事件的独立性与

伯努利概型0404一、事件的独立性二、伯努利概型04第五节随机变量及分布函数05一、随机变量的定义05二、随机变量的分类05三、分布函数及其基本性质05四、几种常见的离散型随机变量的分布05

(一)两点分布(0-1分布)

若随机变量X只取0,1两个值,且

P(X=0)=q=1-p,P(X=1)=p,p+q=1则称X服从两点分布或0-1分布.

(二)二项分布

设随机变量X的概率分布为

(三)泊松分布

设随机变量X取值为0,1,2,…,其相应的概率分布为五、几种常见的连续型随机变量的分布05

(一)均匀分布

如果随机变量X的概率密度是则称X服从[a,b]上的均匀分布,记作X~U(a,b).

(二)正态分布

若连续型随机变量X概率密度函数为

其中,μ,σ为常数,且σ>0,则称随机变量ξ服从参数为μ,σ的正态分布(或称高斯分布),记作X~N(μ,σ2),正态分布的图像如图7-5所示.05

正态分布的概率密度函数f(x)具有概率密度的全部性质,而且借助微积分的知识容易得到如下性质:

综合两个参数的性质,结合图7-6还可看出:参数μ只决定曲线的中心位置,而不影响曲线的形状.参数σ决定曲线的形状而不影响曲线的中心位置,它反映了分布所取数据的离散程度.简单地说,σ小则“峰”高而陡峭,σ大则“峰”低而平缓.05(三)标准正态分布第六节随机变量的数字特征0606一、数学期望

(一)离散型随机变量的数学期望

定义7.6.1离散型随机变量X的所有可能取值xk(k=1,2,…,n)与其相应的概率Pk的乘积之和,称为X的数学期望,简称期望或均值,记作E(X),即

(二)连续型随机变量的数学期望(三)随机变量的数学期望的性质(1)E(C)=C,C为常数;(2)E(aX+b)=a·E(X)+b(a,b为常数).06二、方差06三、常用分布的期望与方差(一)两点分布

若X的分布列是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q,则E(X)=p,D(X)=p·