2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练七十一离散型随机变量的分布列均值与方差课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练七十一离散型随机变量的分布列、均值与方差一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2024·重庆模拟)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝mk(k＝1，2，3，4，5)，则实数m＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,20)【解析】选C.因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝mk(k＝1，2，3，4，5)，所以m＋2m＋3m＋4m＋5m＝1，解得实数m＝eq\f(1,15).2．(2024·赣州模拟)随机变量ξ的分布列如表，且满意E(ξ)＝2，则E(aξ＋b)的值为()ξ123PabcA.0B．1C．2D．无法确定，与a，b有关【解析】选B.因为E(ξ)＝2，所以由随机变量ξ的分布列得到：a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，解得a＝c，所以2a＋b＝1，所以E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1.3．有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数，这四种变量中听从超几何分布的是()A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④【解析】选B.超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为试验次数，即指某事务发生n次的试验次数，由此可知③④听从超几何分布．4．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1＜x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为()A．eq\f(5,3)B．eq\f(7,3)C．3D．eq\f(11,3)【解析】选C.x1，x2满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)．))因为x1＜x2，所以x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3.二、填空题(每小题5分，共15分)5．在掷一枚图钉的随机试验中，令x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，针尖向上,0，针尖向下)).若随机变量X的分布列如下：X01P0.3p则E(X)＝________．【解析】由随机变量X的分布列得：p＝1－0.3＝0.7，所以E(X)＝0×0.3＋1×0.7＝0.7.答案：0.76．在15个村庄中有7个村庄交通不便利，现从中随意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不便利的村庄数，则P(X＝4)＝________．(用数字表示)【解析】由题意P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))×Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15)))＝eq\f(140,429).答案：eq\f(140,429)7．某公司有5万元资金用于投资开发项目，假如胜利，一年后可获利12%；假如失败，一年后将丢失全部资金的50%，表中是过去200例类似项目开发的实施结果：投资胜利投资失败192例8例则估计该公司一年后可获收益的均值是______元．【解析】由题意知，一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元).答案：4760三、解答题8．(15分)(2024·西安模拟)甲、乙两公司在A、B两地同时生产某种大型产品(这两个公司每天都只能固定生产10件产品)，在产品发货给客户运用之前须要对产品进行质量检测，检测结果按等级分为特等品，一等品，二等品，报废品．只有特等品和一等品是合格品，且可以干脆投入运用，二等品须要加以特殊修改才可以投入运用，报废品干脆报废，检测员统计了甲、乙两家公司某月30天的生产状况及每件产品盈利亏损状况如表所示：检测结果特等品一等品二等品报废品甲公司产品件数210542016乙公司产品件数240182814每件特等品每件一等品每件二等品报废品甲公司盈2万元盈1万元亏1万元亏2万元乙公司盈1.5万元盈0.8万元亏1万元亏1.2万元(1)分别求甲、乙两个公司这30天生产的产品的合格率(用百分数表示).(2)试问甲、乙两个公司这30天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由．(3)若从乙公司这30天生产的不合格产品中随机抽取2件产品，记抽取二等品的件数为X，求X的分布列及期望．【解析】(1)甲公司这30天生产的产品的合格率为eq\f(210＋54,10×30)＝88%，乙公司这30天生产的产品的合格率为eq\f(240＋18,10×30)＝86%.(2)甲公司这30天生产的产品的总利润更大．理由如下：甲公司这30天生产的产品的总利润为210×2＋54×1＋20×(－1)＋16×(－2)＝422(万元)，乙公司这30天生产的产品的总利润为240×1.5＋18×0.8＋28×(－1)＋14×(－1.2)＝329.6(万元)，因为422万＞329.6万，所以甲公司这30天生产的产品的总利润更大，(3)X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(14)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(42)))＝eq\f(13,123)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(28))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(14)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(42)))＝eq\f(56,123)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(28)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(42)))＝eq\f(18,41)，则X的分布列为：X012Peq\f(13,123)eq\f(56,123)eq\f(18,41)故E(X)＝0×eq\f(13,123)＋1×eq\f(56,123)＋2×eq\f(18,41)＝eq\f(4,3).1．（5分）受轿车在保修期内修理费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表：品牌甲乙首次出现故障的时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，则()A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为eq\f(1,5)B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，则E(X1)＝2.86(万元)C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，则E(X2)＝2.99(万元)D．该厂预料今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产乙品牌的轿车【解析】选B.设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事务A，则P(A)＝eq\f(2＋3,50)＝eq\f(1,10).依题意得，X1的分布列为X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)E(X1)＝1×eq\f(1,25)＋2×eq\f(3,50)＋3×eq\f(9,10)＝2.86(万元)，X2的分布列为X21.82.9Peq\f(1,10)eq\f(9,10)E(X2)＝1.8×eq\f(1,10)＋2.9×eq\f(9,10)＝2.79(万元).因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．2．（5分）设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)则E(X)的最大值为________，D(X)的最大值为________．【解析】E(X)＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋1×p＋2×eq\f(1,2)＝p＋1，因为0≤eq\f(1,2)－p≤eq\f(1,2)，0≤p≤eq\f(1,2)，所以1≤p＋1≤eq\f(3,2)，D(X)＝(p＋1)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋p2·p＋(p－1)2×eq\f(1,2)＝－p2＋1－p＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)≤1.答案：eq\f(3,2)13．（5分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2，则随机变量ξ的均值是________．【解析】ξ可能的取值为0，eq\r(2)，1，2，则P(ξ＝0)＝eq\f(8Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(4,11)，P(ξ＝eq\r(2))＝eq\f(6,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(1,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(12,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(2,11)，P(ξ＝2)＝eq\f(24,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(4,11).所以ξ的分布列为ξ0eq\r(2)12Peq\f(4,11)eq\f(1,11)eq\f(2,11)eq\f(4,11)所以E(ξ)＝0×eq\f(4,11)＋eq\r(2)×eq\f(1,11)＋1×eq\f(2,11)＋2×eq\f(4,11)＝eq\f(10＋\r(2),11).答案：eq\f(10＋\r(2),11)4．（10分）近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品德业等级标准，统一运用综合指标值FL进行衡量．如表所示，某花卉生产基地打算购进一套新的生产线．现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取30个样品进行等级评定，整理成如图所示的茎叶图．综合指标FL[10，19][20，39][40，59]质量等级三级二级一级(1)依据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度(干脆给出结论即可)；(2)若从等级为三级的样品中随机选取3个进行生产流程调查，其中来自新生产线的样品个数为X，求X的分布列；(3)依据该花卉生产基地的生产记录．原有生产线加工的产品的单件平均利润为4元．产品的销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及产品售价如表：三级花二级花一级花销售率eq\f(2,5)eq\f(2,3)eq\f(8,9)单件销售12元16元20元预料该新生产线加工的鲜切花单件产品的成本为10元．日产量3000件．因为鲜切花产品的保鲜特点．未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完．假如仅从单件产品利润的角度考虑．该生产基地是否须要引进该新生产线？【解析】(1)由茎叶图得，新生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合指标值相对来说更为集中．(2)由题意得，等级为三级的样品共有8个，其中来自旧生产线的5个，新生产线的3个，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(1,56)，则X的分布列为：X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)(3)由茎叶图知该新生产线加工的产品为三级花的概率为P1＝eq\f(3,30)＝eq\f(1,10)，二级花的概率为P2＝eq\f(16,30)，一级花的概率P3＝eq\f(11,30)，所以3000件产品中，三级花、二级花、一级花的件数的估计值分别为300件，1600件，1100件，三级花日销售总利润为300×eq\f(2,5)×2－300×eq\f(3,5)×4＝－480(元)，二级花日销售总利润为1600×eq\f(2,3)×6－1600×eq\f(1,3)×2＝eq\f(16000,3)(元)，一级花日销售量总利润为1100×eq\f(8,9)×10＝eq\f(88000,9)(元)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－480＋\f(16000,3)＋\f(88000,9)))÷3000≈4.88(元)，所以产品的单件平均利润的估计值为4.88元，高于4元，综上，该生产基地须要引进新生产线．5．（10分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取肯定数量的产品做检验，以确定是否接收这批产品．(1)若厂家库房中(视为数量足够多)的每件产品合格的概率为0.7，从中随意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；(2)若厂家发给商家20件产品，其中有4件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．【解析】(1)“从中随意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事务A，其中包含两个基本领件“恰有2件合格”和“3件都合格”，所以P(A)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(0.7)2×0.3＋(0.7)3＝0.784.(2)该商家可能检验出不合格产品数ξ，ξ可能的取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)))＝eq\f(12,19)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(16)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)))＝eq\f(32,95)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)))＝eq\f(3,95)，所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(12,19)eq\f(32,95)eq\f(3,95)因为只有2件都合格时才接收这批产品，故该商家拒收这批产品的对立事务为商家任取2件产品检验都合格，记“商家拒收”为事务B，则P(B)＝1－P(ξ＝0)＝e