2024-2025学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2.1复数的加法与减法学案含解析北师大版选修1-2

PAGE§2复数的四则运算2．1复数的加法与减法授课提示：对应学生用书第31页[自主梳理]一、相反数a＋bi的相反数为________．二、复数的加法和减法1．复数加法和减法的运算法则设a＋bi和c＋di是随意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝________________；(a＋bi)－(c＋di)＝________________.即两个复数相加(减)，就是实部与实部、虚部与虚部分别______，其结果仍旧是一个________．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．三、复数加减法的几何意义设复数z1，z2对应的向量为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的________所对应的复数(如图1)；z1－z2是连接向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))和eq\o(OZ2,\s\up6(→))的终点并指向________所对应的复数(如图2)．[双基自测]1．(6－2i)－(3i＋1)等于()A．3－3i B．5－5iC．7＋i D．5＋5i2．已知z1＝3－4i，z2＝5＋i在其复平面内对应向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，则eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是________．[自主梳理]一、－a－bi二、1.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i相加(减)复数三、对角线eq\o(OZ,\s\up6(→))eq\o(OZ1,\s\up6(→))的向量[双基自测]1．B原式＝(6－1)＋(－2i－3i)＝5－5i.2．8－3ieq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝3－4i＋5＋i＝8－3i.授课提示：对应学生用书第32页探究一复数的加减运算[例1]计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R[解析](1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3b＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.复数加减运算留意事项：(1)两个复数的和差仍是一个复数．(2)复数的加减法运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以根据合并同类项的方法进行．(3)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加减．1．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)；(3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(4)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解析：(1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.(2)原式＝1＋i－1＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.(3)原式＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.(4)原式＝5i－(3＋4i)＋(－1＋3i)＝(－3－1)＋(5－4＋3)i＝－4＋4i.探究二复数加减运算的几何意义[例2](12分)如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的复数，eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的复数；(2)对角线eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数；(3)B点对应的复数．[解析](1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.复数加减法的几何意义可按平面对量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i解析：由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴AB的中点C(2,4)，即点C对应的复数为2＋4i.答案：C探究三复数加减法的综合应用[例3]设m∈R，复数z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．[解析]∵z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝(eq\f(m2＋m,m＋2)－2)＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝eq\f(m2－m－4,m＋2)＋(m2－2m－15)i.∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m≠－2.∴m≠5，m≠－3，m≠－2(m∈R)．1．设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满意的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．2．在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形．3．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解析：如图所示：eq\o(AC,\s\up6(→))对应复数z3－z1，eq\o(AB,\s\up6(→))对应复数z2－z1，eq\o(AD,\s\up6(→))对应复数z4－z1.由复数加减运算的几何意义得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD的长为|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2eq\r(10).把复数运算混淆为实数运算致误[典例]已知M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________.[解析]利用复数的几何意义解决问题，在复平面内，|z＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z＋i|＝|z－i|的几何意义是到点A(0,1)和点B(0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴．M∩N的几何意义是x轴与圆的公共点对应的