第2章 一元二次方程（3类知识拓展）

第2章一元二次方程（知识拓展）知识拓展拓展01根的判别式与根与系数的关系的综合应用典例1．对于一元二次方程ax①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0无实根；③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④跟踪训练1．下列给出的四个命题，真命题的有（

）个①若方程ax2+bx+c=0②若a2−5a+5=0，则③若b2−4ac<0，则方程④若方程x2+px+q=0的两个实根中有且只有一个根为0，那么p≠0，A．4个 B．3个 C．2个 D．1个拓展02根与系数的关系难点分析典例2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0①方程是“倍根方程”；②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px④若方程ax2+bx+c=0跟踪训练1．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根分别为x1,x2，则方程可写成ax−x①x1+x2+x3=−ba，②拓展03一元二次方程的综合应用典例3．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标是(0，6)，连接AB．若动点P从点B出发沿着线段BA以5个单位每秒的速度向终点A运动，设运动时间为t秒．(1)求线段AB的长．(2)连接OP，当△OBP为等腰三角形时，过点P作线段AB的垂线与直线OB交于点M，求点M的坐标；(3)已知N点为AB的中点，连接ON，点P关于直线ON的对称点记为P'(如图2)，在整个运动过程中，若P'点恰好落在△AOB内部(不含边界)，请直接写出跟踪训练1．探索发现如图（1），在正方形ABCD中，E为BC边上不与B,C重合的点，过点三点分别作DE的垂线，垂足分别为F,H,G．

（1）求证：；（2）求证：DF+BH=FH．迁移拓展如图（2），在正方形ABCD中，E为直线BC上一点，过B点作DE的垂线，垂足为，若AB=5,BH=1，直接写出的长．过关训练一、单选题1．下列是一元二次方程的是（

）A．x2−2x+3C．ax2+bx+c=02．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（

）A．1 B．1或 C． D．0.53．解方程24x−3A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法4．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2−x+1=0 B． C．x2+x−1=05．用配方法解一元二次方程2x2−7x+6=0A．x−742=116 B．x−6．方程x2+2x−3=0的解为x1=1，x2A．x1=1，x2=3 B．x17．若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0A．k≥−1且k≠0 B．k≥−1 C．k>−1 D．k>−1且k≠08．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2022年销量为125.6万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（）A． B．C． D．9．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．110．对于一元二次方程ax①若a−b+c=0，则b2②若方程ax2+c=0③若c是方程ax2+bx+c=0④若x0是一元二次方程ax其中正确的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④二、填空题11．x2+5x+7=0的二次项系数是、常数项是12．关于x的方程2−mxm2−2+5x−3=013．已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是．14．已知x2＝2x+15，则代数式(x+2)215．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x个，则可以列方程为．16．已知关于x的方程kx2+3k−1x+2k−1=017．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是；（2）关于x的方程a(x+3k)+2022=0的根为．18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0①若a，c异号，则方程ax②若b2＞5ac，则方程③若b=a+c，则方程ax④若a=1，b=2，c=−3，由根与系数的关系可得x其中正确的结论是：（填序号）．三、解答题19．用适当的方法解一元二次方程（1）；（2）(x+a)（3）2x（4）．20．已知关于x的方程m−3x（1）当m为何值时，方程只有一个实数根？（2）当m为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？21．已知关于x的一元二次方程kx(1)求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；(2)若此方程的两根均整数，求整数k的值，22．已知：关于x的方程x2(1)求实数m的取值范围，(2)若方程的两个实数根x1，x2满足23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？24．阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用例如：求x2解：∵x2又∵x+32∴x+3∴x2请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：x2−4x+6=(2)代数式−x2−8x有最(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？25．当m，n为实数，且满足m+nm=n时，就称点Pm,mn为“状元点”．已知点A（0，7）和点M都在直线y=x+b上，点B，C是“状元点”，且B(1)求b的值及判断点F（2，6）是否为“状元点”；(2)请求出点B的坐标；(3)若AC≤52，求点C26．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241

“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”；(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．

第2章一元二次方程（知识拓展）知识拓展拓展01根的判别式与根与系数的关系的综合应用典例1．对于一元二次方程ax①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0无实根；③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0②方程ax∴Δ=0−4ac>0则方程ax2+bx+c=0∴方程ax故②错误；③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，∴Δ=b令x1=−b+∴方程有两个实数根，令两根分别为x1'，∴x1x2∴方程，必有实根1x1，1故③正确；④若x0是一元二次方程a则由求根公式可得：，∴2a∴b故④正确．故正确的有①③④，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．跟踪训练1．下列给出的四个命题，真命题的有（

）个①若方程ax2+bx+c=0②若a2−5a+5=0，则③若b2−4ac<0，则方程④若方程x2+px+q=0的两个实根中有且只有一个根为0，那么p≠0，A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得c=−2a，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．【解析】①若方程ax则x1x2=c②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴(1−a)③∵b2∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，∴两根之积为0，那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．拓展02根与系数的关系难点分析典例2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0①方程是“倍根方程”；②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px④若方程ax2+bx+c=0【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当p,q满足pq=2时，有px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0④用求根公式求出两个根，当x1=2x【解析】①解方程，得x1=2，∵x∴方程不是“倍根方程”．故①不正确；②∵(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x1因此x2=1或当x2=1时，当x2=4时，∴4m2+5mn+③∵pq=2∴p∴x∴x因此px2+3x+q=0④方程ax2+bx+c=0若x1=2x即−b+b∴b+3∴b+3∴3∴9∴2若2x1=x∴−b+3∴−∴b=3∴b∴2b2故答案为：②③④．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键跟踪训练1．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根分别为x1,x2，则方程可写成ax−x①x1+x2+x3=−ba，②【答案】①③【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为ax【解析】解；∵一元三次方程ax3+b∴ax−∴ax∴ax∴ax∴x1+x2+∴①③正确，②不正确；∵1==c∴④不正确，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键．拓展03一元二次方程的综合应用典例3．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标是(0，6)，连接AB．若动点P从点B出发沿着线段BA以5个单位每秒的速度向终点A运动，设运动时间为t秒．(1)求线段AB的长．(2)连接OP，当△OBP为等腰三角形时，过点P作线段AB的垂线与直线OB交于点M，求点M的坐标；(3)已知N点为AB的中点，连接ON，点P关于直线ON的对称点记为P'(如图2)，在整个运动过程中，若P'点恰好落在△AOB内部(不含边界)，请直接写出【答案】(1)10(2)0,−73,,(3)当1439<t<1时，P'【分析】（1）勾股定理直接求解即可；（2）分PO=PB,BO=BP,OB=BP三种情形，分别讨论，即可求解；（3）当P'在OA上时，过点N作NF⊥x轴于点F，过点O作，过点P作PG⊥y轴于点G，因为N点为AB的中点，由（2）可知N4,3，OE=245，根据等面积法求得PG=4t，进而得出BG=3t,OG=6−3t,PN=5−5t，根据轴对称的性质得出OP=OP'，S△PON=【解析】（1）解：∵点A的坐标为(8，0)，点B的坐标是(0，6)，∴OA=8,OB=6，∴;（2）当PB=PO时，如图，过点P作PD⊥y轴于点D，PC⊥x轴于点C，∴BQ=OQ=1∵PB=PO，∴∠PBO=∵∠POB+∴∠POA=∴PO=PA=1设OM=x,在Rt△PDM中，P在Rt△BPM中，P∴P即4解得：x=7∴M0,−当BP=BO=6时，如图，过点P作PD⊥y轴于点D，PC⊥x轴于点C，过点O作于点E，∴DO=PC,DP=OC，∵S△∴OE=OB×OA∵S△∴PD=OE=设PC=a，PD=4.8，在中，a2+解得：，即OD=2.4，在Rt△PDM中，P在Rt△BPM中，P∴PD即4.8解得：x=4，∴M0,−4当时，如图，∵OP=OB，∴∠OBP=∵MP⊥∴∠BPO+又∠BMP+∴∠OMP=∴OM=OP=OB=6，∴M0,−6综上所述，M0,−73或M（3）如图，当P'在OA上时，过点N作NF⊥x轴于点F，过点O作，过点P作PG⊥y轴于点G，∵N点为AB的中点，由（2）可知N4,3，OE=则NF=3，∵BP=5t，BO=6,AO=8，∴S△∴PG=BP×OE∴BG=B∴OG=6−3t，∵BN=1∴PN=5−5t，∵对称，∴OP=OP'，∴S△即12∴OP=OP在Rt△OPG中，∴4t解得t=2（舍去）或t=当点P运动到点N，此时P,P',N重合，此时5t=5∴当1439<t<1时，P'【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，坐标与图形，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．跟踪训练1．探索发现如图（1），在正方形ABCD中，E为BC边上不与B,C重合的点，过点三点分别作DE的垂线，垂足分别为F,H,G．

（1）求证：；（2）求证：DF+BH=FH．迁移拓展如图（2），在正方形ABCD中，E为直线BC上一点，过B点作DE的垂线，垂足为，若AB=5,BH=1，直接写出的长．【答案】探索发现：（1）见解析；（2）见解析；迁移拓展：54或【分析】探索发现：（1）根据正方形的性质，证明三角形全等即可求解；（2）如图，连接CH，作CM⊥CH，交DH于M点，根据正方形的性质可证△CBH≌△CDM(ASA)，根据等腰直角三角形的性质，即可求解；迁移拓展：分类讨论，①如图，当E点线段BC上时，作BN⊥AF，延长交BN于M点；②如图，当E点CB的延长线上时；图形结合分析即可求解．【解析】解：探索发现（1）证明：如图所示，在正方形ABCD中，

AD=DC,∠∴∠∵CG，∴∠1=∵AF∴∠在△AFD,∠1=∴△∴DF=CG（2）证明：如图，连接CH，作CM⊥CH，交DH于M点，

∵DH∴∠∵四边形ABCD为正方形，∴∠∵∠∴∠∵CM∴∠∴∠∴∠在△CBH,∠1=∴△∴BH=DM，CH=CM∵∠∴CG=GM=GH，由（1）得，，∴DF=HG=GM∴DF+BH=MG+DM=DG∵DF=GH∴DG=FH∴DF+BH=FH迁移拓展：①如图，当E点线段BC上时，作BN⊥AF，延长交BN于M点，

依题意，由①得：△ABN≌△BCM≌△CDG≌△DAF，∠AFG=∴AF=DG,AN=DF，∴FN=FG，∴四边形MNFG为正方形，∴DG−CG=GF=NF=BH=1∵AB=5∴4∴DG∴(DG+CG∴DG+CG=7，设DG=m,CG=7−m(DG>CG)则m2+7−m2=25∴DG=4，CG=3设，则由可得x2+3解得：x=94∴CE=∴BE=5−15②如图，当E点CB的延长线上时，

同理可得：DG=3，CG=4，设，则由可得x2+42+∴CE=∴BE=20综上所得：的长是54或53【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握图形的变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造直角三角形，图形结合，分类讨论等知识是解题的关键．过关训练一、单选题1．下列是一元二次方程的是（

）A．x2−2x+3C．ax2+bx+c=0【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解析】解：A．是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元二次方程，故本选项符合题意；C．当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．有两个未知数，是二元方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（

）A．1 B．1或 C． D．0.5【答案】C【分析】根据方程是一元二次方程，可得a−1≠0，将x=0代入方程，求出a的值即可．【解析】解：∵关于x的一元二次方程a−1x∴a−1≠0，a2∴a=−1；故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．3．解方程24x−3A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法【答案】D【分析】方程的两边都有因式4x−3，分析可知分解因式法最为合适．【解析】解：2可化为：24x−3故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程时选择适当的方法是解题的关键．4．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2−x+1=0 B． C．x2+x−1=0【答案】C【分析】先计算四个选项中方程的根的判别式的值，确定判别式的符号，选出判别式大于0的方程满足条件，由此即可得出结论．【解析】解：A、Δ=−1B、Δ=−2C、Δ=1D、Δ=0故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根，掌握并会利用解决问题是解题关键．5．用配方法解一元二次方程2x2−7x+6=0A．x−742=116 B．x−【答案】A【分析】先化二次项系数为1，把常数项3右移，然后等式两边同时加上一次项系数−72【解析】解：由原方程得，x2−72配方得：x2−72x+4916=-3+49故选：A．【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号右边；（2）把二次项系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，6．方程x2+2x−3=0的解为x1=1，x2A．x1=1，x2=3 B．x1【答案】D【分析】利用换元法解一元二次方程即可得．【解析】解：令y=2x+3，则方程2x+32+22x+3∵方程x2+2x−3=0的解为x1∴方程y2+2y−3=0的解为即2x解得x1故选：D．【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．7．若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0A．k≥−1且k≠0 B．k≥−1 C．k>−1 D．k>−1且k≠0【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程有实数根的条件可得Δ=22−4k×(−1)≥0【解析】解：根据题意，可得Δ=22−4k×(−1)≥0解得k≥−1且k≠0．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式是解题关键．8．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2022年销量为125.6万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设年平均增长率为x，由题意得等量关系：2020年销量×（【解析】解：设年平均增长率为x，可列方程为：故选：A【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．9．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出a+b,ab再代入分式计算，即可求得m．【解析】解：由根与系数的关系得：a+b=−(2m+3),ab=m∴1即,解得：m=3或m=−1,而当m=−1时，原方程Δ=(2m+3)∴m=3故选C．【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键．10．对于一元二次方程ax①若a−b+c=0，则b2②若方程ax2+c=0③若c是方程ax2+bx+c=0④若x0是一元二次方程ax其中正确的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④【答案】D【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．【解析】由a−b+c=0，表明方程ax2+bx+c=0a≠0有实数根﹣1，表明一元二次方程ax∵方程ax∴方程x2即a与c异号．∴-ac>0，∴Δ=b∴方程ax故②正确；∵c是方程ax∴ac即c(ac+b+1)=0当时，一定有成立；当c=0时，则不一定成立，例如：方程3x2+2x=0，则故③错误；∵x0是一元二次方程a∴ax∴c=−ax∴b2故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．二、填空题11．x2+5x+7=0的二次项系数是、常数项是【答案】17【分析】根据一元二次方程的一般形式找出二次项系数和常数项即可．【解析】解：x2故答案为：1，7．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a12．关于x的方程2−mxm2−2+5x−3=0【答案】−2【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【解析】解：依题意可得2−m≠0，m解得m=−2故答案为：−2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．13．已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是．【答案】15【分析】先解一元二次方程，再利用等腰三角形的性质进行分类讨论．【解析】解：∵x2∴(x−2)(x−4)=0，∴x1=2，当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，如下图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=2,AD为底边上的高，∴BD=1，∴AD=A∴S△故答案为：15．【点睛】本题考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解法，并运用三角形的三边关系进行分类讨论是关键．14．已知x2＝2x+15，则代数式(x+2)2【答案】202或【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．【解析】解：(x+＝(x+＝2x×2＝42∵x2∴x2（x﹣5）（x+3）＝0，∴x＝5或x＝﹣3．当x＝5时，原式＝4；当x＝﹣3时，原式＝42【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x个，则可以列方程为．【答案】1【分析】设邀请x个队参加比赛，则每个队比赛x−1场，可得方程：12【解析】解：设邀请x个队参加比赛，则每个队比赛x−1场，所以：12故答案为：12【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决比赛场次问题是解题的关键．16．已知关于x的方程kx2+3k−1x+2k−1=0【答案】0或1或【分析】分k=0和k≠0两种情况，再分别解一元一次方程和一元二次方程，然后根据解都是整数即可得．【解析】由题意，分以下两种情况：（1）当k=0时，方程为−x−1=0，解得x=−1，满足解是整数；（2）当k≠0时，方程kx因式分解，得x+1kx+2k−1解得x1∵方程的解都是整数，k也是整数，∴1∴整数k=1或k=−1；综上，整数k的值为0或1或，故答案为：0或1或．【点睛】本题考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．17．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是；（2）关于x的方程a(x+3k)+2022=0的根为．【答案】x1=−4，x2=−1【分析】（1）可把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于x+2的一元二次方程，从而得到x+2=−2或x+2=1，然后解两个一元一次方程即可；（2）把x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，求出a和k的值，再将a和k的值代入a(x+3k)+2022=0，解一元二次方程即可．【解析】解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于x+2的一元二次方程，而关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1，∴x+2=−2或x+2=1，∴x1=−4，故答案为：x1=−4，（2）将x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，得：a−2+k解得：k=12，代入a(x+3k)+2022=0得−2696即x+3∴x+32=∴，x2=−3故答案为：，x2=−3【点睛】本题考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握换元法、直接开方法解一元二次方程的方法步骤并正确计算是解题的关键．18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0①若a，c异号，则方程ax②若b2＞5ac，则方程③若b=a+c，则方程ax④若a=1，b=2，c=−3，由根与系数的关系可得x其中正确的结论是：（填序号）．【答案】①②③【分析】当a、c异号时，Δ＞0，则根据判别式的意义可对①进行判断；当b2＞5ac时，Δ＞0，可判断方程ax2+bx+c=0一定有两异实数根，则可对②进行判断；当b=a+c时，则Δ=(a−c)2≥0，则根据判别式的意义可对③进行判断；若a=1，b=2，c=-3，计算出Δ=16>0，则可对【解析】解：∵Δ=b2∴当a、c异号时，ac＜0，所以Δ＞0，所以此时方程ax2+bx+c=0当时，若a、c异号，则Δ=b2−4ac＞0，此时方程ax2+bx+c=0一定有两异实数根，若ac同号或0，则b2若b=a+c时，Δ=(a+c)2−4ac=(a−c)2若a=1，b=2，c=-3，Δ=22−4×1×(−3)=16>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以x1故答案为：①②③．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若Δ≥0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a三、解答题19．用适当的方法解一元二次方程（1）；（2）(x+a)（3）2x（4）．【答案】（1）x1=63，x2=−63；（2）x1=【分析】（1）先变形为x2（2）先变形为x2（3）运用公式法求解；（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解析】原方程可化为0.5x∴x2用直接开平方法，得方程的根为x1=6（2）原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+a24，∴x2=用直接开平方法，得原方程的根为x1=1（3）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=−(−4)±∴x1=2+（4）将方程整理，得(1-2)x2-(1+2)x=0用因式分解法，得x[(1-2)x-(1+2)]=0，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．20．已知关于x的方程m−3x（1）当m为何值时，方程只有一个实数根？（2）当m为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？【答案】(1)m=3;(2)m=114;(3)m>【分析】（1）令二次项为0，即m−3=0时求解即可；（2）根据根的判别式令△=b2-4ac=0，然后求解即可；（3）根据△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，然后求解即可.【解析】（1）∵方程m−3x2−2m−2（2）∵方程m−3x2−2m−2x+m−5=0有两个相等的实数根，（3）∵方程m−3x∴Δ=−2m−22−4m−3m−5>0且m−3≠0【点睛】本题考查了根的判别式．解题的关键是根据根的判别式计算的结果能分3种情况讨论．21．已知关于x的一元二次方程kx2(1)求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；(2)若此方程的两根均整数，求整数k的值．【答案】(1)证明见解析(2)k的值为±2或【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ，然后根据非负数的性质得到△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求得kx2+(k−2)x−2=0(k≠0)的解为x1=【解析】（1）证明：∵Δ=(k−2∴不论k为何值，该方程总有两个实数根．（2）解：原方程的两根为x=−(k−2)±(k+2)2k，即x1∵方程的根为整数，k为整数，∴k的值为±2或．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，解一元二次方程，Δ=b2−4ac：当22．已知：关于x的方程x2−(1)求实数m的取值范围，(2)若方程的两个实数根x1，x2满足【答案】(1)m<1(2)m=−2【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式求解即可；（2）由方程根与系数的关系得出关于m的一元二次方程求解，然后结合（1）中结果求解即可．【解析】（1）解：x2其中a=1，b=-(8-4m)，c=4m∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b即−解得：m<1；（2）∵方程有两个实数根，∴x1+x∵x1∴8−4m=4解得：m1由（1）得m<1，∴m=-2．【点睛】题目主要考查一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基础知识点是解题关键．23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可．【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得：x(25-2x+1)=80，整理，得：x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26-2x=16>12（舍去），当x=8时，26-2x=10<12．答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，看懂图形，列出一元二次方程是解题关键．24．阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用例如：求x2解：∵x2又∵x+32∴x+3∴x2请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：x2−4x+6=(2)代数式−x2−8x有最(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)x−2(2)大，16(3)当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为50【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）仿照题意利用配方法求解即可；（3）设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，利用长方形面积公式得到S=−2x−5【解析】（1）解：x2故答案为：x−22（2）解：∵−x又∵x+42∴−x+4∴−x+4∴−x故答案为：大，16；（3）解：设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，∴S=x20−2x又∵x−52∴−2x−5∴−2x−5∴当x=5时，S有最大值，最大值为50，∴当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为50m【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意掌握配方法是解题的关键．25．当m，n为实数，且满足m+nm=n时，就称点Pm,mn为“状元点”．已知点A（0，7）和点M都在直线y=x+b上，点B，C是“状元点”，且B(1)求b的值及判断点