广东省佛山市2024-2025学年高二上学期阶段测试一（10月） 数学试题含答案

2024—2025学年度第一学期高二年级数学科阶段测试一（概率+空间向量与立体几何）考试题（全卷共4页，供全级使用）成绩：______一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（）A.①④ B.①②③ C.②③④ D.②④【答案】A【解析】【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件；三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件；实数a，b都不为0，则，③是不可能事件；某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.故选：A2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A.事件1与事件3互斥 B.事件1与事件2互为对立事件C.事件2与事件3互斥 D.事件3与事件4互为对立事件【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,事件3可表示为：,事件4可表示为：,因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；因为为不可能事件，为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为为不可能事件，不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；故选：B.3.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题运用投影向量定义即可解题.因，则故向量在向量上的投影向量是故选：C.4.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算得到，然后利用平方法即可求出答案.由于，所以，所以，故甲，乙两人相距70m．故选：A．5.已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（）．A. B.0 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案.因为不能构成空间的一个基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得故选：C6.已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（）A.事件A与事件B互斥 B.C. D.事件A与事件B相互独立【答案】D【解析】【分析】利用古典概型计算公式可得，利用概率的加法公式可得，再由互斥事件和对立事件定义可判断AB错误，由可知C错误，利用事件独立性定义可判断D正确.易知，同理可得，；由可得，即，对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，可得A错误；对于B，显然，即B错误；对于C，由可得，即所以，即C错误；对于D，易知，满足独立性定义，即D正确.故选：D7.是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，，设，，，，，，，当时，取得最小值，当或1，或1时，取得最大值0，所以的取值范围是.故选：B.8.甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（）A.0.5 B.0.6 C.0.57 D.0.575【答案】D【解析】【分析】最终甲胜分三种情况，一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜，而每种情况又分甲先着子和乙先着子，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.由题意知，一二局甲胜的概率为：，一三局甲胜的概率为：，二三局甲胜的概率为：，因此最终甲胜的概率为，故选：D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下命题正确的是（）A.两个不同平面，的法向量分别为，，则B.若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则C.已知，，若与垂直，则实数D.已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量判定线面、面面关系可判定AB，根据空间向量数量积的坐标表示可判定C，根据四点共面的充要条件可判定D.对于A，由题意知，所以，故A正确；对于B，由题意知，所以或，故B错误；对于C，由题意知，解之得，故C正确；对于D，由，即，所以四点共面，故D正确.故选：ACD10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字表示第一次抛掷骰子的点数，数字表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件“”，事件=“”，事件=“”，则（）A. B.与相互独立C.与为对立事件 D.与相互独立【答案】AB【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个；其中事件“

”包含的样本点有：

，，，，，共个；事件

“

”，包含的样本点有：

，

，

，

，，，，，共个，事件“”，包含的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，对于A，，故A正确；对于B，事件包含的样本点有，，共3个，所以，所以，所以与相互独立，故B正确；对于C，包含的样本点个数满足，所以与不为对立事件，故C错误；对于D，事件包含的样本点有：，，，，，，共6个，而，，，从而，所以与不相互独立，故D错误.故选：AB.11.（多选）在直三棱柱中，，是的中点，则（）A.B.若，则C.在上存在一点，使得平面D.若，则平面与平面不平行【答案】CD【解析】【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量坐标表示公式、空间向量模公式，结合平面向量的法向量逐一判断即可.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，所以，A错误；若，则，所以，B错误；当为中点时，平面平面，所以平面，C正确；若，，则，所以．设平面的法向量，平面的法向量，则，即，令，则，又，则，即，令，则，所以与不平行，D正确．故选：CD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组.代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：137996191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率_______________【答案】【解析】【分析】根据在这20组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有组，即可得出结论.这20组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：137、191、271、932、812、393共组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：，故答案为：.13.小刚参加一种答题游戏，需要解答A,B,C三道题，已知他答对这三道题的概率分别为，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为___________.【答案】##【解析】【分析】记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，合理计算，即可求解.解：记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，且，因为他恰好能答对两道题的概率为，可得，整理得，所以他三道题都答错的概率为.故答案为：.14.已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为________．图1图2【答案】##【解析】【分析】应用空间向量法计算已知面面垂直即法向量垂直即可求参.如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∴则，若是平面的一个法向量，则可得，若是平面的一个法向量，则可得由平面平面，得，即，解得．故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量，且．（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．【答案】（1）9；（2）.【解析】【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可；（2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可.【小问1详解】解：因为，所以，解得，所以，则，所以；【小问2详解】解：，，，设向量与夹角为，所以，所以向量与夹角的余弦值为．16.由数字1，2，3，4构成的两位数中抽取一个，求：（1）所抽到数为偶数的概率；（2）所抽到数为3的倍数的概率；（3）所抽到数个位和十位不相同的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析】运用列举法，结合古典概型计算公式进行求解（1）（2）（3）即可.【小问1详解】数字1，2，3，4构成的两位数有共16个，其中偶数有共8个，所以所抽到数为偶数的概率；【小问2详解】数字1，2，3，4构成的两位数有共16个，其中3的倍数有共5个，所以抽到数为3的倍数的概率；【小问3详解】数字1，2，3，4构成的两位数有共16个，其中个位和十位相同的数有共4个，所以个位和十位不相同的数有12个，所以抽到数为3的倍数的概率；17.如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点.（1）若是中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）设，得到，求得平面的法向量为，根据平面，利用，列出方程，求得的值，即可求解.【小问1详解】解：如图所示，设，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在正方形中，由，可得，又因为，所以，所以，可得，则，因为分别为中点，可得，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值.【小问2详解】解：因为，可得，设，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，若平面，可得，即可得，解得，所以，即存在点，使得平面，此时的值为.18.在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为.（1）求的坐标（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据AC和BD的中点相同，利用中点坐标公式求解；（2）由（1）得到，再利用向量的夹角公式求解.【小问1详解】解：设，因为AC和BD的中点相同，且，所以，所以，所以；【小问2详解】由（