人教B版高中数学必修第一册第三章函数3.1.2.第1课时单调性的定义与证明课件

第1课时单调性的定义与证明【课程标准】借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．教

材

要

点知识点一定义域为A的函数f(x)的单调性f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函数减函数状元随笔定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1＜x2；(3)属于同一个单调区间．知识点二单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间M叫做y＝f(x)的________．单调性单调区间

状元随笔最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.

答案：B

答案：A3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2

解析：若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．答案：D

【答案】

C

状元随笔观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．

【解析】

在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象从左到右是上升的，则该区间为增区间；若从左到右是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．

【答案】

D(3)函数y＝|x－1|的单调递增区间是________.【解析】作出函数的图象，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞)．【答案】

[1，＋∞)跟踪训练1

(1)已知函数f(x)的图象如图所示：①根据函数图象，写出f(x)的单调区间；②若f(x)在[a－1，a＋1]上单调递增，求a的取值范围．状元随笔由图象上升或下降趋势判断．

(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．

【答案】

C

方法归纳利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在比较函数值的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．

答案：D

(2)求该函数的最大值和最小值．

方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．

状元随笔(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．题型5由函数的单调性求参数的取值范围

[经典例题]例5.(1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a＝________．(－∞，－4]－4【解析】

(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.②由题意得－a－1＝3，a＝－4.(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．【解析】因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，解得x<1，即实数x的取值范围为(－∞，1)．(－∞，1)方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练5

(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；函数的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？状元随笔首先求出f(x)的单调减区间，(1)求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．(2)求出函数的减区间，用端点值相等求出a.解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].∵函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．解析：函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.答案：(5，＋∞)能

力

提

升

练1.(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，则下列结论正确的是(

)A．∀x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(－∞，－3)B．∃x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(－∞，－3)C．∃x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是[－1，3]D．∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t)答案：AC解析：对于A选项，∀x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，即f(x)min>a，f(x)为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝－3>a，A选项正确；对于B选项，∃x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，即f(x)max>a，所以f(－2)＝5>a，B选项不正确；对于C选项，∃x∈[0，3]，g(x)＝a，即g(x)max≥a≥g(x)min，g(x)的图象为开口向上的抛物线，所以在对称轴x＝1处取最小值，在离对称轴最远处x＝3取最大值，所以g(3)＝3≥a≥g(1)＝－1，C选项正确；对于D选项，∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t)，即要求f(x)的值域是g(x)值域的子集，而f(x)的值域为[－3，5]，g(x)的值域为[－1，3]，不满足要求，D选项不正确．故选AC.2．设f(x)＝x2－2ax＋a2，x∈[0，2]，当a＝－1时，f(x)的最小值是________，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________．解析：当a＝－1时，f(x)＝x2＋2x＋1在x∈[0，2]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(0)＝1.若f(0)是f(x)的最小值，则f(x)在x∈[0，2]上单调递增，而f(x)＝x2－2ax＋a2的图象开口向上，对称轴为x＝a，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].1(－∞，0]一、选择题(每小题5分，共20分)1．(5分)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(a，b)上(

)A．单调递增B．单调递减C．先单调递减再单调递增D．先单调递增再单调递减答案：B

答案：B

解析：根据函数图象，可得单调递增区间为[－2，1].故选B.答案：B

答案：C

5．(5分)已知函数y＝f(x)的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有________________；函数的单调递减区间有_________________．解析：由图可知函数的单调递增区间有(－3，－1]，[3，5]，函数的单调递减区间有[－1，1]，(1，3].(－3，－1]，[3，5][－1，1]，(1，3]

7．(5分)[2024·辽宁大连八中月考]函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是________________．

(2)求函数f(x)在区间[1，2)上的值域．解析：由(1)知f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)∈[f(1)，f(2))，其中f(1)＝6，f(2)＝9，所以f(x)的值域为[6，9)．

10．(17分)已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f