2024-2025学年广东省汕头市育能实验学校高三（上）第二次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省汕头市育能实验学校高三（上）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2x−1|≤3}，B={x∈N|x2−4x≤0}，则A∩B=A.(0,2) B.[0,2] C.{0,1,2} D.{1,2}2.给出下列四个结论：

①“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；

②若命题p：∃x≥0，2x=3，则¬p：∀x<0，2x≠3；

③若x∈R，则x2≠4是x≠2的充分不必要条件；

④若命题q：对于任意x∈R，x2+2x−a>0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知向量a=(0,1)，b=(2,x)，若b⊥(b−4A.2 B.1 C.−1 D.−24.设有下面四个命题，其中假命题为(

)A.若复数z满足|z|2=z2，则z∈R

B.若i为虚数单位，则i+i2+i3+⋯+i2025=i

C.若复数z1，5.已知向量a=(3,−1)，|b|=1，若|a−2A.π6 B.π3 C.2π36.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4).在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(

)A.10000 B.10480 C.10816 D.108187.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(1)=0，f′(x)>f(x)，则不等式f(x)>0的解集为(

)A.(0,+) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)8.若函数f(x)=alnx+3x−x既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围为A.(0,23) B.(−∞,−23)∪(2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，b>0，则下列结论正确的是(

)A.若a>b，则ac2>bc2

B.若1a>1b，则a<b

C.若a+b=2，则1a10.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2，BB1=2，DA.A1B//平面ADC1

B.AD⊥C1D

C.异面直线AC与DE所成角的余弦值为1011.已知函数f(x)=ex−2ax，a∈R，则下列结论中正确的有A.f(x)必有唯一极值点

B.若a=12，则f(x)在(0,+∞)上单调递增

C.若a=12，对∀x∈[0,+∞)有f(x)≥kx恒成立，则k≤1

D.若存在x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i为虚数单位，复数z，满足|z|=5，z在复平面中的第一象限，且实部为3，则z−为______13.若曲线y=ex在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=14.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，点M是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex的图象在点(0,f(0))处的切线方程为2x+y−1=0．

(1)求a、b的值；

(2)求f(x)的单调区间与极值；

(3)求函数y=f(x)16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，CA=3，AA1=6，M为侧棱CC1上一点，AM⊥BA1．

(1)求证：17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x(ex−ax2).

(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值．

(2)若f(x)在18.(本小题17分)

如图，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．

(1)证明：AG⊥EC；

(2)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为255，若存在，求出P19.(本小题17分)

已知函数f(x)=e2x+(a−2)ex−ax．

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.D

9.BD

10.ABD

11.BD

12.3−4i

13.1

14.31015.解：(1)易知f(0)=1，

解得b=1，

可得f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+1)ex=[x2+(a+2)x+a+1]ex，

因为f′(0)=a+1=−2，

所以a=−3；

(2)由(1)知f′(x)=(x2−x−2)ex=(x+1)(x−2)ex，

因为ex>0恒成立，

当x<−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当−1<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以当x=−1时，f(x)取得极大值，极大值f(−1)=5e；

当x=2时，f(x)取得极小值，极小值f(2)=−e2；

(3)由(2)16.解：(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，

又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，

∵AC∩AA1=A，AC⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，

∴BC⊥平面AA1C1C，

∵AM⊂平面AA1C1C，∴AM⊥BC．

∵AM⊥A1B，A1B∩BC=B，A1B、BC⊂平面A1BC，

∴AM⊥平面A1BC；

(2)以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C−xyz，

则A(3,0,0)，A1(3,0,6)，B(0,1,0)，

设点M(0,0,z1)，则AM=(−3,0,z17.解：(1)f′(x)=ex−ax2+x(ex−2ax)=ex+xex−3ax2，

所以f′(−1)=−3a，因为曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，

所以f′(−1)=−3a=0，解得a=0，

所以f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，

当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)在x=−1处取得极小值为f(−1)=−1e，无极大值．

(2)若f(x)=x(ex−ax2)在(0,+∞)只有一个零点，即函数g(x)=ex−ax2在(0,+∞)只有一个零点，

即方程ex−ax2=0在(0,+∞)只有一个根，即a=exx2在(0,+∞)只有一个根，

即函数y=a与ℎ(x)=exx218.解：(1)证明：∵EG/​/AD且EG=AD，∴四边形ADGE为平行四边形，

∵AD=DG，∴四边形ADGE为菱形，∴AG⊥DE．

∵DG⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DG⊥CD，

∵AD⊥CD，DG，AD⊂平面ADGE，DG∩AD=D，∴CD⊥平面ADGE，

∵AG⊂平面ADGE，∴CD⊥AG，

∵AG⊥DE，DE，CD⊂平面CDE，DE∩CD=D，∴AG⊥平面CDE，

∵CE⊂平面CDE，∴AG⊥EC．

(2)由DG⊥平面ABCD，DA，DC⊂平面ABCD，则DG⊥DA，DG⊥DC，

以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，

E(2,0,2)，F(0,1,2)，G(0,0,2)，N(1,0,2)，

所以AB=(−1,2,0)，AE=(0,0,2)，

设平面ABE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AB=−x+2y=0n⋅AE=2z=0，取n=(2,1,0)，

假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为255．

设EP=λEB=(−λ,2λ,−2λ)(0≤λ≤1)，DP=DE+EP=(2−λ,2λ,2−2λ)，

则直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为：

|19.解：(1)当a=2时，则f(x)=e2x−2x，f′(x)=2e2x−2，

可得f(1)=e2−2，f′(1)=2e2−2，

即切点坐标为(1,e2−2)，切线斜率为k=2e2−2，

所以切线方程为y−(e2−2)=(2e2−2)(x−1)，即(2e2−2)x−y−e2=0．

(2)由题意可知：f(x)的定义域为R，且f′(x)=2e2x+(a−2)ex−a=(2ex+a)(ex−1)，

(i)若a≥0，则2ex+a>0，

令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0；

可知f(x)在(−∞,0)内单调递减，在(0,