指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第03讲指数与指数函数

（5类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

判断对数函数的单调性

2024年新I卷，第6题,5分判断指数函数的单调性

根据分段函数的单调性求参数

2023年新I卷，第4题,5分指数型复合函数单调性二次函数单调性

用导数判断或证明已知函数的单调性

2022年新I卷，第7题,5分比较指数幕的大小

比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及

指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分

【备考策略】1.了解有理数指数幕、实数指数幕含义，掌握指数幕的运算性质.

2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念

3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点

4.能结合指数函数比较指数式大小

【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考

知识点1根式的基本知识

知识点2指数的基本性质

知识点3指数的基本计算

核心知识点

知识点4指数函数

知识点5对称性

考点1指数与指数幕的运算

考点2指数函数的图象及其应用

考点3指数（型）函数的单调性

核心考点

考点4指数（型）函数的值域与最值

考点5指数值的大小比较（含构造函数比较大小）

知识讲解

1.指数的基本知识

（1）根式的基本性质

①五的定义域为x20,我的定义域为xeR

②==,X'定义域为（xeT?）

[-X,x<0

③U=x，定义域为（X20）

@V7=x>定义域为（XCR）

⑤依Y=x，定义域为（xeR）

（2）指数的基本性质

①零指数幕：。°=1（。40）;

②负整数指数累:=—（a^Q,p^N*y,

ap

tn___

③正分数指数幕:an-（a>0,加、neN*,且〃>1）;

—巴11

④负分数指数塞：a〃=——=—==（a>0,m>nG>1）

HLnm

an

（3）指数的基本计算

m

①同底数幕的乘法运算-an=am+n②同底数累的除法运算幺一=储"一"

a

③累的乘方运算(#")"=a""④积的乘方运算(ab)"'=。"力

2.指数函数

(1)指数函数的定义及一般形式

一般地，函数y=/(a〉O且awl),xeR,叫做指数函数

(2)指数函数的图象和性质

y=axa>\Q<a<\

J\yx

/y^axy^a\―

-飞-y=l

图(0,1)/------y=l

象/

01Xo]ix

定义域R

值域(0,+co)

过定点(0,1)

当x〉0时，y>l；当x〉0时，0<y<l；

性质x<0Ht,0<y<lx<0时j〉1

在(-co,+co)上是增函数在(-co,+co)上是减函数

考点一、指数与指数塞的运算

典例引领

1.(2023全国•模拟预测)

1

A.-B.D.3

3

【答案】A

【分析】利用指数幕的运算性质化简计算即可.

1

-

3-

故选：A.

2.（2024・广东•模拟预测）若肛=3,则x

【答案】±2^/3

【分析】

分x>0/>0和x<0/<0两种情况分类计算.

【详解】当x>0/>0时,

当x<0,y<。时,=-A/孙—J孙=—2^3.

故答案为：±2百

3.(2022•北京・高考真题)已知函数/&)=£,则对任意实数x,有()

A./(—x)+/(x)=0B./(f)-/(x)=。

C./(-x)+/(x)=lD./(-x)-/(%)=1

【答案】C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

【详解】i22X1

f(-x)+f(x}=——+—-----1----=-1,故A错误，C正确;

、7v7l+2-x1+2、1+2、1+2、

2）-小）=合-6=总1—2"-1=1--2-,不是常数，故BD错误;

1+2、2%+12、+1

故选：C.

即时检尊L

1.（2024・上海宝山•二模）将向Z（其中。>0）化为有理数指数幕的形式为.

【答案】/

【分析】直接利用根式与分数指数哥的运算法则化简求解即可

故答案为：fl4

2.（2023•山东•模拟预测）若---=4,则/+/的值为（）

A.8B.16C.2D.18

【答案】D

【分析】利用完全平方公式结合指数塞的运算性质计算即可.

【详解】解：因为人-4=4,

所以a2+a2—(tz-1—<71)2+2=42+2=18.

故选：D.

3.(2023・四川宜宾一模)计算:“6-2『-(O.25)X9+百xlg\=.

【答案】-273

【分析】根据根式、指数塞运算以及对数的定义运算求解.

=2-V3--x4-V3=-2V3,

即_(0.25尸X［七+V3xlg^=-2^/3.

故答案为：-2省.

考点二、指数函数的图象及其应用

典例引领

1.(2024・四川成都・模拟预测)函数、=3£与》=-'的图象()

A.关于x轴对称B.关于V轴对称

C.关于原点对称D.关于>对称

【答案】C

【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数/(X)与g(x),如果它们的图象关于原点对称，即

g(-x)=-y(x)在定义域内恒成立，则称“X)与g(x)为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论.

【详解】令函数了=/(尤)=3工/=8(%)=-3，

所以g(-x)=_g=_3*=_/(x)

即g(-x)=-〃x)，所以函数f(x)与g(x)的的图象关于原点对称，

即函数y=3、与y=的图象的的图象关于原点对称，

故选：C.

2.(23-24高三上•河北衡水•开学考试)己知。＞0,则函数/(乃=优一2。的图象可能是()

【答案】AD

【分析】通过特值法，排除错误选项，通过。的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.

【详解】由于当x=l时，/(l)=«-2a=-a＜0,排除B,C,

当。=2时，/(x)=2,-4,此时函数图象对应的图形可能为A,

当时，/«=(1r-i,此时函数图象对应的的图形可能为D.

故选：AD.

3.(2024・甘肃张掖•模拟预测)函数〃苫)=/口-1)7-1的所有零点之和为()

A.0B.-1C.V3D.2

【答案】A

Y+1

【分析】令〃x)=0,即-x-l=0,构造函数〉=片与函数y=-画出函数图象，可知两个函

x-1

数图象相交于两点，设为W广2，得/(X1)=/(-xJ=0,进而得到9=-&，即无］+无2=。

【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程/(x)=0的实数根，令/(x)=0,

Y-I-1

则e"(x-l)-x-l=0,显然xwl,所以

x-1

构造函数〉=二与函数＞=Y=-I-1，则方程e'V=4-=1的根，

x-1x-l

可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，

所以此方程有两个实数根，即函数/(》)=^(》-1)-》-1有两个零点，

M+1X,+1

设为玉,三，所以eX"=—,ex-==

Xj-1x2-1

即y（xj=e』（七一1）一再一1=0,/（迎）=小（工2-1）一/一1=0，

另外发现，将f代入，可得〃一xj=e/（-%一1）一（-%）-1=二^»+西一1=生»+王孝=0,

e12e1e1

所以-X]也是函数/（x）的零点，说明尤2=-玉，即X]+X2=O.

1.（22-23高二下•四川绵阳•期末）要得到函数了=22，T的图象，只需将指数函数》=4'的图象（）

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移十个单位D.向右平移g个单位

【答案】D

【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论.

【详解】因为了=平=2"，221=22层），

所以，为了得到函数y=22M的图象，只需将指数函数＞=4、的图象向右平移g个单位，

故选：D.

2.（23-24高三上•山西晋中•阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数了=/+办+“一1与了=/的图象

y

【答案】AC

【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论.

【详解】当。＞1时，对应的图象可能为选项A；当0＜。＜1时，对应的图象可能为选项C.

故选：AC.

3.（2024•黑龙江・一.模）己知函数尸0„+6的图象经过原点，且无限接近直线＞=2,但又不与该直线相

交，则。。=（）

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【分析】由题意可得a+b=0且6=2,求出0,即可求解.

【详解】因为函数尸〃x）=a（g）忖+6图象过原点，所以*）。+6=0,

得。+%=0,又该函数图象无限接近直线歹=2,且不与该直线相交，

所以b=2,贝!Ja=-2,

所以ab——4.

故选：C

考点三、指数（型）函数的单调性

典例引典

1.（2023•全国•高考真题）设函数/（》）=2也引在区间（0,1）上单调递减，贝IJ。的取值范围是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+动

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数了=2,在R上单调递增，而函数/（x）=2'（…）在区间（0,1）上单调递减，

2

则有函数了=必尤-。）=（》-92一?在区间（0,1）上单调递减，因此|21,解得心2,

所以。的取值范围是［2,+co).

故选：D

2.(2024•宁夏银川•三模)己知函数/@)=声不，则下列说法不正确的是()

A.函数单调递增B.函数值域为(0,2)

C.函数的图象关于(0』)对称D.函数的图象关于(1,1)对称

【答案】C

【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数

的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，〃2-x)与/(x)的关系，即可判断CD.

X

【详解】〃切=2号2x+2-2°2

-------=2--------

2X-1+12%-1+1

2

函数>=2—7,t=2x~i+1,则”1,

2

又内层函数r=2、T+l在R上单调递增，外层函数>=2-7在(1,+动上单调递增,

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数/(X)单调递增，故A正确；

22

因为所以。<R<2,则。<2-E<2.

所以函数/(x)的值域为(0,2),故B正确;

/(2-x)=^-=^—=^—,/(2-x)+/(x)=2,

I)2'-x+l2+2*2'-'+1

所以函数/(x)关于点(1,1)对称，故C错误，D正确.

故选：C.

3.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=3>2-3”,则满足/(力+〃8-3力>0的x的取值范围是()

A.(-℃,4)B.(-oo,2)C.(2,+oo)D.(-2,2)

【答案】B

【分析】设g(x)=3=3\即可判断g(x)为奇函数，又f(x)=g(x-2),可得析(x)图象的对称中心为

(2,0),则〃x)+〃4-x)=0,再判断/(x)的单调性,不等式〃x)+〃8-3x)>0,即

/(8-3x)>/(4-x),结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】设g(x)=3-3T,xeR,贝|g(f)=3T-3--g(x),所以g(x)为奇函数.

又〃x)=3X-2-32T=3A2-3《刃=g(x-2),

则〃无)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,

所以图象的对称中心为(2,0),所以〃x)+〃4-x)=0.

因为y=3,在R上单调递增，了=3一工在R上单调递减，

所以g(x)在R上单调递增，则/(x)在R上单调递增，

因为J(x)+/(8-3x)>0=/(x)+f(4-x),

所以〃8-3x)>/(4-x),所以8-3x>4-x,解得x<2,

故满足/(x)+〃8-3x)>0的x的取值范围为(-8,2).

故选：B

4.(2024•全国•模拟预测)已知函数=«1是R上的减函数，则°的取值

[l-a\x>l

范围是()

A.(1,3]B.[2,3]C.[2,+8)D.艮+⑹

【答案】B

【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.

【详解】因为函数y=l-a*(a>0,awl)是减函数，所以。>1.

又因为函数>=/+(。-5)x+1图像的对称轴是直线x=1,

所以函数V=x2+(a-5)x+l在，co,与B上单调递减，在+ooj上单调递增.

a>\

5—a

又函数“X)是R上的减函数，所以三一21,解得24“43,

a—321—a

所以。的取值范围是[2,3].

故选:B.

即时检测

1.(2024•江西•模拟预测)函数/(x)=3-明的一个单调递减区间为()

A.(-叫0)B.(-1,0)C,(0,1)D.(1,+⑹

【答案】C

【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.

【详解】令/=——2国，则》=31

由复合函数的单调性可知：

/(X)的单调递减区间为函数t=x2-2|x|的单调递减区间，

又函数《-X）=（-x）2-2|-x|=t（x）,

即函数/（x）为偶函数，

结合图象，如图所示，

可知函数，=/-2忖的单调递减区间为（-8,-1）和（0,1）,

即/（x）的单调递减区间为（-吗-1）和（0,1）.

2.（2024・福建福州•模拟预测）设函数/（可=3,办在区间（1,2）上单调递减，贝心的取值范围是（）

A.（-℃,2]B.（-℃,4]C.[2,+oo）D.[4,+co）

【答案】D

【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】函数y=3,在R上单调递增，而函数在区间0,2）上单调递减，

所以了=|2x-4在区间（1,2）单调递减，所以^22,解得a".

故选：D.

3.（2024・吉林长春•模拟预测）（多选）已知函数/（耳=或1，则下列说法正确的是（）

A.函数〃x）单调递增

B.函数/（x）值域为（0,2）

C.函数〃x）的图象关于（01）对称

D.函数〃x）的图象关于（1,1）对称

【答案】ABD

【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A,根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解

函数的值域，即可判断B,根据对称性的定义，〃2-力与“X）的关系，即可判断CD.

【详解】=J+2-2=2――^―,

['2*7+12*7+12-1+1

2

函数y=2--,t=2x~l+1,则/>1,

又内层函数/=2，一+1在R上单调递增，外层函数>=2-7在(1,+s)上单调递增，

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数/(x)单调递增，故A正确；

因为2i+l>l，所以0<矢口<2,则。<2-5不<2,所以函数/(x)的值域为(0,2),故B正确；

〃2_x)=n：=」一=一一，/(2-x)+/(x)=2,所以函数〃尤)关于点(U)对称，故C错误，D正

'21-x+l2+2*2X-1+1

确.

故选：ABD

4.(2024•陕西西安・模拟预测)己知函数〃x)=J,则不等式的解集为()

——,x>0

、x+2

A.(-2,2)B.(0,+s)

C.(-oo,0)D.(-oo,-2)u(2,+oo)

【答案】A

【分析】判断函数/'(x)的单调性，再利用单调性解不等式即可.

1

【详解】/(x)=2，易知>=小在(-8,0)单调递减，

——,x>02

、1+2

v=—二在(0,+8)单调递减，且/(X)在x=0处连续，故“X)在R上单调递减,

x+2

由/(/一1)>/(3),贝卜2T<3,解得-2<a<2,

故不等式/(1-1)>/(3)的解集为(-2,2).

故选:A

考点四、指数(型)函数的值域与最值

典例引领

L(23-24高三•阶段练习)已知函数=则/(x)的单调递增区间为,值域

为.

【答案】(-叫。](0,2]

【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.

【详解】令无2-2x20,解得xN2或x〈0,

••J(x)的定义域为(2,0]U2+8),

令t=则其在(-叱0]上递减，在2+s)上递增,

又)=(J为减函数，故/(%)的增区间为(一巩0].

=4五-12-1，・•(；；€(0,2],故〃X)的值域为(0,2].

故答案为：(-8,。],(0,2].

2.(2024・上海松江•二模)已知0<〃<2,函数〉=「/1若该函数存在最小值，则实数

I2a\x>2

。的取值范围是.

【答案】{a|O<a«g或。=1}

【分析】令g(x)=("2)x+4a+l,x£(-<»,2],h(x)=2ax~',xe(2,+oo),分类讨论。的取值范围，判断

g(x),〃(x)的单调性，结合/(x)存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案.

【详解】由题意，令g(x)=(a-2)x+4a+l,xe(-<z>,2],h(x)=2ax~x,xe(2,+oo),

当0<a<l时，g(x)在(-叫2]上单调递减，/z(x)在(2,+◎上单调递减，则〃(x)在(2,+8)上的值域为(0,2a),

因为/(x)存在最小值，故需g(2)=(a-2)x2+4a+lW0,解得awg,

结合。<°<1,止匕时

2

当1<a<2时，g(x)在(-叫2]上单调递减，h(x)在(2,+8)上单调递增,则h(x)在(2,+s)上的值域为(2a,+s),

因为/(%)存在最小值，故需g⑵(2〃，gp(a-2)x2+4a+l<2a,解得

这与l<a<2矛盾；

当a=l时，8(%)=-'+5在(-%2]上单调递减，且在(f,2]上的值域为[3,+8),h(x)=2,此时存在最小值

2；

则实数。的取值范围为{a[O<a〈g或。=1}.

故答案为：{a[0<a<；或。=1}.

3.(2024•四川成都•二模)已知函数〃x)=2"ji的值域为〃.若(1,+8)=M,则实数。的取值范围是

()

A.1公D.J+OO

B.

【答案】B

【分析】

对实数。分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.

【详解】当a=0时，/（力=2母％（0,+4,符合题意；

当"0时，因为函数〃x）=22的值域为M满足（1,+动cM,

由指数函数的单调性可知，即二次函数了="2-尤+1的最小值小于或等于零；

4〃一11

若Q〉0时，依题意有y=ax2-x+1的最小值-----<0,即0<。W—,

4a4

若〃<0时，不符合题意；

综上：0<«<—,

4

故选：B.

即时啰!）

1.（2024・贵州•模拟预测）已知函数〃幻=2-*+2工+3,则/⑴的最大值是.

【答案】16

【分析】求出f=-d+2x+3的范围，根据复合函数的单调性求解.

【详解】由/（司=2-*+2，+3,而，=-/+2工+3=-（》-1）2+444,

因为了=2,单调递增，所以>=2'424,则/*）的最大值是16.

故答案为：16

2.（2024・山东荷泽•模拟预测）若函数〃x）=l+lgx（xe[，,100]）,则函数/（x）=纳切-"，2）的值域为（）

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出，⑴的值域，再借助二次函数求出"（幻了-/（/）的值域,

最后利用指数函数单调性求解即得.

【详解】函数/■（无）=1+*在[5,100]上单调递增，/（x）e[0,3],

令t=[/（x）]2-/（X2）=[/（x）]2-l-21gx=-2f（x）+1=[/（x）-l]2e[0,4],

而函数>=2,在[0,4]上单调递增，则

所以函数宝（x）=的值域为[1,16].

故选：D

(a-l)r-1,x<l

3.（2024•河北保定•三模）已知〃幻=6>1）的值域为。，则。的取值范围

a1[

XH---1,X>1

X

是（）

337

A.[-,2]c..D.[?2]

【答案】D

【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数。的取值范围.

【详解】①若

当xWl时，〃无）=（。-1）匚：在（-8,1］上单调递减，此时卞+⑹，

当x>l时，f（JC）=x-i---1,当且仅当x=V^>1时，等号成立,

X

5、1

a——,

42

又函数/⑴的值域。满足Dig,+s）,贝卜26一1日,解得*<2；

l<a<2,

②若a>2,

当xWl时，/3=（。-1）'-；在（-叱1］上单调递增，此时/（x）e（-；,a-京,

当X>1时，f（X）=XH---1^2y［a—1,当且仅当X=V^>1时，等号成立，

X

又函数/（X）的值域。满足。ug,+功，不合题意；

③当a=2时，/（x）=2，

XH---1,X〉1,

若X>1,有x+2一122拒-（当且仅当X=后时取等号）符合题意，

x2

7

综上所述：-<6Z<2.

4

故选：D.

考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小）

典例引领

1.(2024•云南•二模)若a=2兀-2b=6~lc=2^9则()

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根据中间数2比较〃与。，根据中间数1比较6与。.

【详解】因为。=27〉2=2,0=2；2，

所以。>。，因为6=6一1=^<1，c=2^>2°=T

所以c〉b,所以Q>C>6.

故选：D.

2.(2024・天津•一模)已知实数a,6,c满足.=(g)=1,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

i11

【分析】根据条件，得到b=g)e,利用函数>=(])'的单调性，即可得到。<6<1,而C>1,即可求出结果.

【详解】因为得到6=(g)；又函数y=(；)"是减函数，

所以a=gj<6=(产<],又=；,得到C=log!；=log23>l,

所以Q<b<c,

故选：A.

3.(2024•宁夏银川•三模)设，=严,6=3°，°=3吟则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】构造函数/'(x)=x-l-Inx,应用导数得其单调性，可判断0.3>In1.3,再结合指数函数>=3,的单

调性即可判断.

【详解】根据题意，构造函数〃x)=x-l-ln无，则((x)=?,

当x21时，r(x)>0,所以/(X)在区间[1,+⑹上单调递增，

因此可得/(1.3)>/(1)=0,即/(1.3)=1.3_l_lnL3=0.3_lnl.3>0,

所以0.3>lnl.3,

又指数函数>=3*为单调递增，可得3.>3°3>3m3,即6>c,

因为a=9°，2=3°">3°以=b,所以c<b<a.

故选：A.

1.(2024・四川•模拟预测)设。=0.5%6=0.4,c=l,l°\则()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【分析】根据指数函数、幕函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.

【详解】因为指数函数>=0.5、是单调减函数，所以05」<0.5°4<0.5°=1,

又由幕函数了=”在(0,+向上单调增函数，所以1=1口>05/>04」,

又因为指数函数y=1.1，是单调增函数，所以1」心>1.1。=1,

综上可得：b<a<c,

故选：D.

2.(2023•天津•高考真题)^«=1.O1O5,Z)=1.O1O-6,C=O.605,则。，4c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根据对应易、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由歹=1.01、在R上递增，则Q=1.01"<6=1.01°。

由尸”在［0,+oo)上递增，则〃=1.01。$>c=O.605.

所以b>a>c.

故选：D

3.(2024•辽宁•一模)设。=—,b=2-e3,c=l—e3贝lj()

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用导数证明不等式e'Nx+l,可得6<见。<。；根据不等式的性质可证得i+e4>［，则。<人即

可求解.

【详解】对于函数/a)=e=x-1,f\x)=e-\,

令/'(%)<0=>x<0,/r(x)>0=>x>0,

所以函数，(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,内))上单调递增，

所以“X)111fa=〃0)=0,则/(x)N0,即e』+l.

11n_279

所以b=2-e3<2-(-+1)=-,c=l-e3<1-(--+1)=-.

12--1l~T~2-

由e2<8,得£<8、2,所以丁，贝川+/=]+丁>2==下>屋，

'-e3e3Ve3e3

所以1_屋久2-媪，即c<6.

所以c<b<°.

故选：B

【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：

(1)利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，

(2)利用中间值"1"或"0"进行比较，

(3)构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.

IA.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.(2024•陕西渭南•二模)设集合”=卜卜14》41},N==e*,x<0},则=

A.(0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[0,1]

【答案】C

【分析】求出函数值域化简集合N,再利用并集的定义求解即得.

【详解】当xVO时，0<eTl,则N=(0,l],而川=[一1,1],

所以MUN=「1,1].

故选：c

2.(2024・河南•模拟预测)若a/eR,则"a>6"是"3"-3“>2〃-2。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】构造函数〃苫)=3工+2工，根据函数单调性得到3。+2">3%+2〃，故。>人

【详解】构造函数/(切=3"+2"，则/(x)在R上单调递增，

所以3"-3,>2〃-2"。3"+2">3"+2"伍)oa>6.

故选：c.

3.（2024・湖南邵阳•三模）"0<a<l"是"函数〃x）=a=a（。>0且在R上单调递减”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】分。>1和0<“<1两种情况讨论了（X）的单调性，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若。>1,则/（x）的图象为:

可知/（x）在R上单调递增;

可知/（x）在R上单调递减；

综上所述：是"函数/（耳=优-"（。>0且awl）在R上单调递减”的充要条件.

故选：C.

4.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）=2W*aeR）为偶函数，则函数丁=/（x）的增区间为（）

A.（-l,+oo）B.（0,+8）

C.（-oo,-l）D.（一8,0）

【答案】B

【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.

【详解】因为函数〃x）=2k+H（aeR）为偶函数，所以2卜"4=2-4,解得。=0，

所以函数/（工）=州=]j，%-°,其增区间为（0,+e）.

故选：B.

5.(2024•辽宁•一模)若函数/(x)=3-24©在区间(1,4)内单调递减,则。的取值范围是()

A.B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+8)

【答案】A

【分析】利用"同增异减"判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.

【详解】设〃")=3",u=-2x1+ax,则〃“)=3"在(-叫+«))上单调递增.

因为/3=3口能在区间(1,4)内单调递减，所以函数"=-2x2+ax在区间(1,4)内单调递减，

结合二次函数的图象和性质，可得：解得。44.

故选：A

6.(2024•江西景德镇•三模)己知函数〃x)=[万]"<0是奇函数，则x>0时，g(x)的解析式为()

g(x),x>0

A.一出B.出C.一2、D.2工

【答案】C

【分析】设x>0,利用x<0时，=g:和/(-x)=-/(x)可求得g(x)的解析式.

【详解】设x>。，则-x<0,

所以〃r)=]J=2'，

又函数是奇函数，所以〃f)=-〃x),BP-/W=2^/(X)=-2\X>0.

gpg(x)=-2\

故选：C

7.(2024•浙江绍兴,三模)已知函数〃2x+l)为偶函数，若函数g(x)=/(x)+2「，+2i-5的零点个数为奇

数个，则/⑴=()

A.1B.2C.3D.0

【答案】D

【分析】由函数g(x)的图象关于x=l对称得零点关于x=l对称，但g(x)的零点个数为奇数个可得答案.

【详解】因为函数〃2x+l)为偶函数，所以

所以>=〃x)的图象关于x=1对称，

令力(x)=21+2^-5,则力(2—x)=+2修一5=〃(x),

可得函数〃(无)=2』+21-5的图象关于x=l对称，

所以函数g(x)=/(x)+2i+2”-5的图象关于x=l对称，

则函数g(x)的零点关于x=1对称，但g(x)的零点个数为奇数个,

则〃1)=0.

故选：D.

二、填空题

8.(2024•山东济宁•三模)已知函数/(x)=/5'X"0,则.

log4x,x>0

【答案】亚

【分析】利用已知的分段函数，可先求〃g)=-g,再求</]]|=/，£|=后即可.

【详解】因为/'(x)=/5)，X~0,所以/(£|=唾4：=-嗟42==.

log4x,x>0,

故答案为：V2.

9.(2024・全国•模拟预测)写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式/\x)=

①/(占+々f(%)/(彳2)；②/(X)的值域为(0,+8).

【答案】2,(答案不唯一)

【分析】根据指数函数的值域和指数运算即可得到答案.

【详解】对于任意指数函数函数/(司=优(。>0且。片1),

条件①，对于任意Xi^eR,都有/(占)/(%)=/1-优2=优,+*2=/(再+%),

条件②，/(x)是指数函数，所以/(x)的值域为(0,+8),

例如：函数/(x)=2*为指数函数，满足条件①②.

故答案为：2,(答案不唯一).

10.(23-24高一上•四川攀枝花,阶段练习)若命题"*eR,2工-a=0"为假命题，则实数。的取值范围

为.

【答案】{a|a〈0}

【分析】根据已知条件，推得VxeR,2,-awO为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解.

【详解】命题FxeR,2"-a=0"为假命题,

则VxeR,2,-aw0为真命题，又2*>0

则aW0,

故实数。的取值范围为{a|aV0}.

故答案为：{«1«<0}.

能力提升,

一、单选题

1.（2024・全国•模拟预测）已知函数〃x）=/匕的图象关于点对称，贝壮=（）

A.1B.2C.eD./

【答案】C

【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得。=e.

【详解】由对称中心性质可知函数/（x）满足〃x）+/（2-x）=2/⑴，

即一'一+——=—,

eA+aex+ae+a

整理可得e3r+ex+1+2ae=2e2+aex+ae2T,即e（e"'+e'-2e）=a（e'+e"-2e）,

解得a=e.

故选：C

2.（2024・贵州毕节•三模）已知函数〃尤）=13是奇函数，若/X2023）>/（2024）,则实数。的值为（）

e+a

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.

【详解】因为函数〃尤）=吐巴是奇函数，

e+a

e'—Q1—ae”e-aa-Q

所以〃f)==一/(%)=-

e~x+a1+aexex+aex+a

解得。=±1,

又y(x)=2ex+a-2a12a

-----------=1---：—

e'+Qe+Qe+a

所以当。〉0时，函数为增函数，当”0时，函数为减函数,

因为“2023)>“2024),

所以"0,故。=一1.

故选：B

3.（2024•北京西城•三模）已知函数/（、）=2）若VX],%£R，且占<%2，则下面结论错误的是（

A.〃不)<〃/)B./^!^<"匹)尸)

c./(中2)=/(%)+/3)D./