人教版中考数学复习：直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】

专题24.6直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】

【人教版】

【题型1已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】..............................................2

【题型2已知直线与圆的位置关系确定取值范围】................................................3

【题型3根据直线与圆的位置关系确定交点个数】................................................6

【题型4利用直线与圆的位置关系求最值】......................................................9

【题型5定义法判断切线】....................................................................13

【题型6切线的判定（连半径证垂直）】........................................................15

【题型7切线的判定（作垂直证半径）】........................................................19

【题型8利用切线的性质求线段长度】..........................................................22

【题型9利用切线的性质求角度】.............................................................26

【题型10利用切线的判定与性质的综合运用】...................................................30

【知识点1直线与圆的位置关系】

设。。的半径为厂，圆心。到直线/的距离为d

则有：

相交：直线和圆有两

个公共点直线/和O。相交=2v〃

直

线

与

圆

的

相切：直线和圆只有

位

置一个公共点!直线/和。0相切od=r

关

系

相离：直线和圆没有

公共点直线/和0。相离d＞厂

•_

【题型1已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】

【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有和点A与点8,如果。。的半径为6c7九，线段

OA=lQcm,线段OB=6C7W,那么直线45与。。的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【解答】解：：0。的半径为6c〃z,线段。4=10。加，线段02=6。九，

即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，

.,.点A在。。外.点2在OO上，

二直线A8与。。的位置关系为相交或相切，

故选：D.

【变式1-1］（2022秋•韶关期末）已知O。的半径等于3,圆心。到直线/的距离为5,那么直线/与

的位置关系是（）

A.直线/与。0相交B.直线/与。。相切

C.直线/与。。相离D.无法确定

【分析】根据“若则直线与圆相交；若d=r,则直线于圆相切；若d>r,则直线与圆相离”即可

得到结论.

【解答】解：:。。的半径等于3,圆心。到直线/的距离为5,3<5,

.,.直线/与O。相离.

故选：C.

【变式1-2］（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为。，点P在函数丫=,一一1的图象上，

以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y=-2的位置关系是（）

A.相离B.相切

C.相交D.三种情况均有可能

【分析】设PG,宁-1），利用两点间的距离公式计算出。尸=1+1，再计算出P点到直线y=-2的

1

距离为7尸+1,然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y=-2相切.

4

【解答】解：设尸（I,%-1）,

4

OP=］二+@件一1）2=］（扪+1）2=》+1,

•••抛物线的顶点坐标为（0,-1）,

；.尸点在直线>=-2的上方，

:.P点到直线尸-2的距离为12-1-（-2）=1+1,

：.P点到直线y=-2的距离等于圆的半径，

...以点尸为圆心，以。尸为半径的圆与直线y=-2的位置关系是相切.

故选：B.

【变式1-3］（2022秋•自贡期末）如图，。。的半径为5,圆心。到一条直线的距离为2,则这条直线

A.hB.hC.hD.U

【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断.

【解答】解：：直线与O。相切，

...圆心0到一条直线h的距离为5,

•.•直线/2与。。相离，

圆心。到一条直线12的距离大于5,

•.•直线/3与/4与0O相交，

圆心O到一条直线13和直线U的距离都小于5,

而圆心。到直线h的距离较小，

圆心。到一条直线的距离为2,这条直线可能是直线/3.

故选：C.

【题型2已知直线与圆的位置关系确定取值范围】

【例2】（2022秋•北仑区期末）的半径为5,若直线/与该圆相交，则圆心。到直线/的距离可能是

（）

A.3B.5C.6D.10

【分析】根据直线/和。。相交="</，即可判断.

【解答】解：：0。的半径为5,直线/与。。相交，

，圆心D到直线I的距离d的取值范围是0Wd<5,

故选：A.

【变式2-1］（2022•松江区校级模拟）如图，已知中，ZC=90°,AC=3,BC=4,如果以点C

为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么的半径厂的取值范围是（）

1212

B.y<?<3C.y<r^4D.3WW4

【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即

可得出答案.

【解答】解：过点C作于点D,

：AC=3,BC=4.如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边42只有一个公共点,

当直线与圆相切时，d=r,圆与斜边A3只有一个公共点，圆与斜边只有一个公共点,

：.CDXAB^ACXBC,

当直线与圆如图所示也可以有交点,

故选：C.

【变式2-2］（2022秋•丛台区校级期中）己知矩形ABC。中，AB=4,BC=3,以点3为圆心r为半径作

圆，且OB与边。有唯一公共点，则7"的取值范围为（）

A.3WW4B.3«5C.3«4D.3WrW5

【分析】由于B£>>AR>2C,根据点与圆的位置关系得到3WrW5.

【解答】解：：矩形4BCD中，48=4,BC=3,

：.BD=AC=>JAB2+BC2=5,AD=BC=3,CD=AB=4,

:以点8为圆心作圆，OB与边CO有唯一公共点，

•••08的半径厂的取值范围是：3WrW5；

故选：D.

【变式2-3］（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点。为圆心，作半径为4的圆，若直线y=-x+b与。。

相交，则b的取值范围是（）

A.0/6<2鱼B.-4V2<fe^4V2C.-2y/2<b<2y/2D.-4V2<b<442

【分析】求出直线y=-x+6与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=-x+b与圆相切，且

函数经过二、三、四象限时6的值，则相交时6的值在相切时的两个6的值之间.

【解答】解：当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图.

在y=-x+6中，令x=0时，y=b,则与y轴的交点是8（0,6）,

当y=0时，x=b,则与y轴的交点是A（b,0）,

则。4=08=6,即△048是等腰直角三角形，

在RtAABC中,

AB=VOi42+OB2=y/b2+b2-\[2b,

连接圆心0和切点C,贝|JOC=4,OCLAB,

"：S^AOB=^OA*OB=^AB'OC,

.，OAOBb-b

•・4=ff

贝U6=4A②

同理，当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=-4V2；

则若直线y=~x+b与OO相交，则b的取值范围是-4V2<fe<4V2.

故选：D.

【题型3根据直线与圆的位置关系确定交点个数】

【例3】（2022秋•武汉期末）己知。。的半径等于5,圆心。到直线/的距离为6,那么直线/与O。的公

共点的个数是（）

A.0B.1C.2D.无法确定

【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线/和OO相离，然后根据相离的定义对各选项进

行判断.

【解答】解：：。。的半径等于5,圆心。到直线/的距离为6,

即圆心。到直线/的距离大于圆的半径，

.•.直线/和OO相离，

.•.直线/与OO没有公共点.

故选：A.

【变式3-1］（2022秋•武汉期末）直角△ABC,ZBAC=90°,AB=S,AC=6,以A为圆心，4.8长度为

半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）

A.0B.1C.2D.不能确定

【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断.若d〈r,则直线与圆相交；若d=r,则

直线于圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

【解答】解：-：ZBAC=90°,A8=8,AC=6,

ABC=10,

AB-AC

・•・斜边上的高为：------=4.8,

BC

•・d=4.8。根=rcvn=4.8C/72,

圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1,

故选:B.

【变式3-2]（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5%如果圆心到直线距离是4c7%，那么这条直线和这个圆

的公共点的个数是（）个.

A.0B.1C.2D.0或1或2

【分析】根据当圆的半径圆心到直线的距离d时，直线与圆相交，即可得出直线/和这个圆的公共点

的个数.

【解答】解：：圆的半径是如果圆心到直线距离是4cm,

.•.直线与圆相交，

.••这条直线和这个圆的公共点的个数为2.

故选：C.

【变式3-3]（2022秋•沐阳县期中）如图，在△A8C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心，r

为半径画圆.

（1）当r=2.4时,OC与边A8相切；

（2）当r满足3OW4或r=2.4时,OC与边A8只有一个交点；

（3）随着r的变化，OC与边的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围.

【分析】（1）当OC与边AB相切时，则〃=/，由此求出r的值即可；

（2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得

出答案；

（3）随着r的变化，OC与边A2的交点个数由0个、1个、2个三种情况.

【解答】解：(1)过点C作COJ_AB于点£>,

VAC=3,BC=4.如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，

：.AB=5,

当直线与圆相切时，d=r,圆与斜边A8只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1,

：.CDXAB=ACXBC,

，CO=r=2.4,

故答案为：r=2.4.

(2)①当直线与圆相切时，即d=r=2.4,圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边只有一个公共点,

②当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2,

；.3<rW4,

故答案为：3<±4或r=2.4；

(3)①如图3,当0Wr<2.4时，圆C与边AB有0个交点；

②如图1,当r=2.4时，圆C与边有1个交点；

③如图4,当2.4VrW3时，圆C与边A8有2个交点；

④如图2,当3OW4时，圆C与边有1个交点；

⑤如图5,当r>4时，圆C与边A3有0个交点；

综上所述，当0Wr<2.4或厂>4时，圆C与边AB有0个交点；

当3<rW4或r=2.4时，圆C与边有1个交点；

当2.4<rW3时，圆C与边A3有2个交点.

B

图4

【题型4利用直线与圆的位置关系求最值】

【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线尸条+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，点尸是以C（1,0）

为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接B4,PB,则△BLB面积的最小值是（）

A.5B.10C.15D.20

【分析】作CHLA8于”交。。于E、F.当点尸与E重合时，△出8的面积最小，求出EH、A8的长

即可解决问题

【解答】解：作CHLA2于修交O。于£、F.

VC(1,0),直线AB的解析式为尸3+3,

/.直线CH的解析式为尸-会+等

(4,4(L

y=--^x+□Ix=—7

3

33解得

)=严+3(y=-g-

.•.CH=J(l+$2+(^)2=3,

VA(4,0),B(0,3)，

：.OA=4,08=3,AB=5,

：.EH=3-1=2,

当点P与E重合时，的面积最小，最小值=>5X2=5,

故选：A.

【变式4-1](2022秋•凉山州期末)点A是半径为2的。。上一动点，点。到直线的距离为3.点P

是上一个动点.在运动过程中若/POA=90°,则线段外的最小值是—履

【分析】根据勾股定理用OP表示出抬，根据垂线段最短解答即可.

【解答】解：：/POA=90°,

：.PA=7OA2+OP2=V4+OP2,

当OP最小时，勿取最小值，

由题意得：当时，。尸最小，最小值为3,

的最小值为：V4T32=V13,

故答案为：V13.

【变式4-2](2022•乐亭县一模)如图，。。的半径是5,点A在。。上.P是。。所在平面内一点，且

AP=2,过点尸作直线/,使

(1)点。到直线I距离的最大值为7；

(2)若M,N是直线/与OO的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为—何

【分析】(1)如图1,当点P在圆外且O,A,P三点共线时，点。到直线/距离的最大，于是得到结

论；

(2)如图2,根据已知条件得到线段是。。的直径，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：⑴如图1,VZXB4,

...当点尸在圆外且O,A,尸三点共线时，点。到直线/的距离最大，

最大值为AO+AP=5+2=7；

(2)如图2,N是直线/与。。的公共点，当线段的长度最大时，

线段是。。的直径，

VZ1B4,

ZAP6>=90°,

'：AP=2,OA=5,

：.OP=vox2-PA2=vn,

图i

M

图2

【变式4-3］（2022•广汉市模拟）在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=10,8c=12,点。为线段BC上一动

点.以CD为。。直径，作A。交。。于点E,连BE,则BE的最小值为（）

【分析】连接CE,可得NCED=NCEA=90°,从而知点E在以AC为直径的。。上，继而知点Q、E、

8共线时BE最小，根据勾股定理求得。8的长，即可得答案.

【解答】解：如图，连接CE,

...点E在以AC为直径的。。上,

VAC=10,

QC=QE=5,

当点。、E、2共线时最小，

"：BC=12,

：.QB=y/BC2+QC2=13,

:.BE=QB-。£=8,

故选：B.

【知识点2切线的判定】

（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）

③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线

（2）切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.

【题型5定义法判断切线】

【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（）

A.过半径外端的直线

B.与圆心的距离等于该圆半径的直线

C.垂直于圆的半径的直线

D.与圆有公共点的直线

【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断艮

【解答】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心的

距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，

A、如图跖不是。。的切线，故本选项错误；

以与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确;

C、如图，斯，半径OA,但所不是O。的切线，故本选项错误；

。、如上图，EFOO有公共点，但EF不是。。的切线，故本选项错误;

故选：B.

【变式5-1]（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（)

A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线

【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案.

【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，

故A,B,。选项不正确，C选项正确，

故选：C.

【变式5-2]（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线.（2）与圆只有

一个公共点的直线是圆的切线.（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线.（4）和三角形三边所在

直线都相切的圆有且只有一个.其中不正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.1个

【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案.

【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误.

（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，原命题正确.

（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确.

（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误.

故选：A.

【变式5-3]（2022秋•慈溪市期末）己知O。的半径为5,直线经过上一点尸（点E,尸在点P的

两旁），下列条件能判定直线EF与。。相切的是（）

A.0尸=5B.OE=OF

C.。到直线所的距离是4D.OPLEF

【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案.

【解答】解:

•.•点P在上，

，只需要。尸_LEF即可,

故选：D.

【题型6切线的判定(连半径证垂直)】

【例6】(2022•顺德区一模)如图，A,B,C,。是O。上的四个点，ZADB^ZBDC=6Q°,过点A作

AE//BC交CD延长线于点E.

(1)求/A8C的大小；

(2)证明：AE是。。的切线.

【分析】(1)根据圆周角定理得到NC4B=/&5C=60°,NACB=/AQB=60°,根据等边三角形的

性质解答即可；

(2)连接AO并延长交BC于R根据垂径定理的推论得到AFLBC,根据平行线的性质得到AHLAE,

根据切线的判定定理证明结论.

【解答】(1)解：由圆周角定理得：ZCAB=ZBDC=-60°,ZACB=ZADB=60°,

：.£\ABC为等边三角形，

/.ZABC=60°；

(2)证明：连接AO并延长交BC于产，

'JAB^AC,

：.AB=AC,

：.AF±BC,

：.AF±AE,

是O。的半径，

是O。的切线.

【变式6-1](2022•昭平县一模)如图，是。。的弦，OP_LA8交。。于C,0c=2,ZABC=30°.

(1)求AB的长；

(2)若C是OP的中点，求证：P8是。。的切线.

【分析】（1）连接。4、0B,根据圆周角定理得到NAOC=2/ABC=60°,则/。4。=30°,所以。。=

jOA=l,AD=<3OD=V3,再根据垂径定理得A〃=BD,所以AB=2g；

（2）由（1）ZBOC=60°,则△0C2为等边三角形，所以BC=08=0C,ZOBC=ZOCB=6Q°,而

CP=CO=CB,则NCBP=NP,可计算出NC2P=30°,所以/02尸=NOBC+NCBP=90°,于是根

据切线的判定定理得尸8是。。的切线.

【解答】（1）解：连接。4、0B,如图，

VZABC=30°,OP±AB,

：.ZAOC^60°,

：.ZOAD=30°,

11

・•・OD=^OA=jx2=L

：.AD=V3OD=V3,

又「OPLAB,

C.AD^BD,

：.AB=2V3；

（2）证明：由（1）N8OC=60°,

OC=OB,

•••△OCB为等边三角形，

:・BC=OB=OC,NOBC=NOCB=60°,

・・・C是。尸的中点，

:・CP=CO=CB,

:・NCBP=NP,

而/OCB=/CBP+/P,

：.ZCBP=30°

：.ZOBP=ZOBC+ZCBP=90°,

：.OB±BPf

【变式6-2］（2022春•朝阳区校级月考）如图，在中，NC=90°,AO平分N84C交5C于点D

。为A3上一点，经过点A,。的圆O分别交AB,AC于点E,F,连接跖.

【分析】连接OD,根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出NCAO=NOZM,根据平行线的判定

得出OD〃AC,求出0D_L5C,再根据切线的判定推出即可.

：.ZOAD=ZODAf

〈A。平分NA4c

：.ZCAD=ZOAD,

：.ZCAD=ZODA,

：.OD//AC,

VZC=90°，

：.AC±BC,

：.OD±BC,

过圆心o,

.♦.BC是圆。的切线.

【变式6-3](2022秋•武夷山市期末)如图，点尸是。。的直径A8延长线上的一点(PB<OB),点、E是

线段。尸的中点.在直径上方的圆上作一点C,使得EC=EP.

求证：PC是O。的切线.

【分析】连接。C,根据线段中点的定义得到。“=£尸，求得OE=EC=EP,得至！JNCO£=/EC。，NECP

=NP,根据切线的判定定理即可得到结论.

【解答】证明：连接OC,

"：EC=EP,

：.OE=EC=EP,

：.ZCOE=ZECO,ZECP=ZP,

VZCOE+ZECO+ZECP+ZP=1SO°,

AZECO+ZECP^90°,

OC±PC,

：oc是。。的半径,

...PC是O。的切线.

【题型7切线的判定(作垂直证半径)】

【例7】(2022•武汉模拟)如图，在中，NB=90°,NBAC的平分线交BC于点。，E为上

的一点，DE=DC,以。为圆心，长为半径作。。，AB=5,EB=3.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)求线段AC的长.

【分析】(1)过点。作。尸，AC于R求出8。=。尸等于半径，得出AC是。。的切线.

(2)先证明△BDEZZYDCP(乩)，根据全等三角形对应边相等及切线的性质的得出AB+E2

=AC.

【解答】证明：(1)过点。作。fUAC于尸；

「AB为OD的切线，

ZB=90°

：.AB±BC

平分NBAC,DF±AC

：.BD=DF

；.AC与O。相切；

(2)在△BDE和△£>(7/中；

"：BD=DF,DE=DC,

:.RSDE咨RtADCF(HL),

：.EB=FC.

"：AB=AF,

：.AB+EB=AF+FC,

即AB+EB=AC,

；.AC=5+3=8.

【变式7-1］（2022秋•滨海县期末）如图，以点。为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）

A.以OA为半径的圆B.以08为半径的圆

C.以OC为半径的圆D.以。。为半径的圆

［分析］根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【解答】解：。于。，

以点。为圆心，。。为半径的圆与直线a相切.

故选：D.

【变式7-2］（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，。是底边8C的中点，腰A3与OO相切于

点。.求证：AC是。。的切线.

【分析】过点。作OELAC于点£,连接OD,04,根据切线的性质得出根据等腰三角形三

线合一的性质得出AO是4c的平分线，根据角平分线的性质得出OE=。。，从而证得结论.

【解答】证明：过点。作OELAC于点E,连接。OA,

与。。相切于点。，

：.AB±OD,

「△ABC为等腰三角形，。是底边BC的中点,

...AO是/BAC的平分线，

OE=OD,即OE是O。的半径,

•..圆心到直线的距离等于半径，

，AC是。。的切线.

【变式7-3](2022秋•丹江口市期中)如图，。为正方形ABC。对角线上一点，以点。为圆心，长为

半径的。。与BC相切于点E.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若正方形的边长为10,求O。的半径.

【分析】(1)首先连接并过点。作。fUC£>,由OA长为半径的。。与2C相切于点E,可得

=04,OELBC,然后由AC为正方形ABC。的对角线，根据角平分线的性质，可证得0尸=0£=04,

即可判定CO是。。的切线；

(2)由正方形ABC。的边长为10,可求得其对角线的长，然后由设OA=r,可得OE=EC=r,由勾股

定理求得OC=/r,则可得方程厂+加厂=10应，继而求得答案.

【解答】(1)证明：连接。£,并过点。作。尸J_CD

,.•BC切O。于点E，

：.OE±BC,OE=OA,

又为正方形ABCD的对角线，

ZACB=ZACD,

：.OF=OE=OA,

即：C。是O。的切线.

(2)解：：正方形ABC。的边长为10,

：.AB=BC=10,ZB=90°,ZACB=45°,

：.AC^7AB2+BC2=10V2,

"：OE.LBC,

：.OE=EC,

设OA=r,则OE=EC=r,

OC=y/OE2+EC2=V2r,

,/OA+OC=AC,

.*.r+V2r=10V2,

解得：r=20-10V2.

二。。的半径为:20-10V2.

REC

【知识点3切线的性质】

(1)切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

(2)切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

【题型8利用切线的性质求线段长度】

【例8】(2022•新平县模拟)如图，已知A8是。。的直径，C。是。。的切线，点C是切点，弦BLAB

于点E,连接AC.

(1)求证：AC平分/DCF；

(2)若AO_LC。，BE=2,CF=8,求AD的长.

【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得到NOCZ)=90°,根据等腰三角形的性质得到NACO=NC4E,

根据等角的余角相等可得出结论；

（2）根据垂径定理得到CE=尸=4,根据勾股定理求出。。的半径，根据角平分线的性质定理解答即

可.

【解答】（1）证明：连接0C,

・・・co切。0于点C,

.".ZOC£>=90°,

AZACD^ZACO=90°.

CFLAB,

：.ZAEC=90°,

AZACF+ZCAE=90°.

・・・QA=OC,

/./ACO=NCAE,

：.ZACD=ZACF；

(2)解：由(1)可知，ZACD=ZACF.

9：CF±AB.CF=8,

1

：.CE=为尸=4,

设OO的半径为r,则OE=r-3,

在Rtz\OEC中，OC2=OE1+CE2,

即(r-2)2+42,

解得：r=5,

：.AE=AB-BE=10-2=8,

VZACD=ZACF,ADLCD,CF±ABf

.•・A£)=AE=8.

【变式8-1］（2022•泸县一模）如图，4B是。。的切线，A为切点，AC是O。的弦，过。作。于

点、H.若0H=3,AB=U,BO=13,求：O。的半径和AC的长.

【分析】利用切线的性质得NO4B=90°,则根据勾股定理可计算出04=5,再根据垂径定理得到AH

=CH,接着利用勾股定理计算出AH从而得到AC的长.

【解答】解：•••A3为切线，

：.OA±AB,

：.ZOAB^90°,

在RtAOAB中，0A=yIOB2-AB2=V132-122=5,

*.•OHLAC,

:.AH=CH,

在RtZXOAH中，AH=y/OA2-OH2=V52-32=4,

：.AC=2AH=S,

答：o。的半径为5,AC的长为8.

【变式8-2］（2022•建邺区一模）如图，AB,CD是。。的切线，B、。为切点，AB=2,CD=4,AC=10.若

ZA+ZC=90°,则G）。的半径是4.

【分析】连接02,0D,根据切线的性质得到NO3E=NODE=90°,延长AB,CD交于E,求得NAEC

=90°,根据正方形的性质得到8E=r>E=08,设。。的半径是，，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：连接08,OD,

C。是O。的切线，B、D为切点，

：.ZOBE=ZODE=90a,

延长AB,CD交于E,

VZA+ZC=90°,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZOBE=ZODE=90°,

J四边形OO硬是矩形，

•：OB=OD,

・•・四边形ODEB是正方形，

：.BE=DE=OB,

设。0的半径是r,

/.AE=r+2,CE=r+4,

•-,AE2+CE2=AC2,

(r+2)2+(r+4)2=102,

解得：r=4(负值舍去)，

二。。的半径是4,

故答案为：4.

【变式8-3］（2022•新抚区校级三模）如图，△ACZ）内接于00,48是。。的切线，NC=45°,/B=30°.4。

=4,则AB长为（）

A.4B.2V2C.2V3D.2V6

【分析】如图，连接0D,构造等腰直角△40。和直角AA。艮首先利用勾股定理求得0A的长度,

然后通过解直角△AOB求得边AB的长度.

【解答】解：如图，连接OA、OD,

VZC=45°.

ZAOD=2ZC=90°.

又AD=4,

.•.心=2042=16,则。4=2叵

又是。。的切线，

/.ZOAB=90°.

,/ZB=30°,OA=2近,

：.AB=V3OA=2V6.

【例9】（2022•红桥区三模）己知B4、PB是O。的切线，A、B为切点，连接A。并延长，交PB的延长

图①图②

（1）如图①，若/AOP=65°,求/C的大小；

（〃）如图②，连接BD,若BD〃AC,求/C的大小.

【分析】（I）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；

（II）连接。8,设NAOP为无，利用三角形内角和解答即可.

解：（I）连接BO,

・・・必、尸5是。。的切线,

ZAPO=ZBPO,PALAO,PB工OB,

VZAOP=65°,

AZAPO=90°-65°=25°,

/.ZBPO=ZAPO=25°,

<ZAOP=NBPO+NC,

：.ZC=ZAOP-ABPO=65°-25°=40°,

(II)连接OB,设NAOP=x,

・「B4、尸B是。。的切线，

AZAPO=ZBPO=xfPALAO,PB_LOB,

ZAPO=90°-ZAOP=90°-x,

ZBOP=90°-ZBPO=90°-x,

AZBOC=180°-ZAOP-ZBOP=180°-2x,

.\ZOCB=90°-ZBOC=90°-2x,

OC//BD,

:・/DBP=/C=9U°-2x,

：.ZOBD=2x,

9：0B=0D,

：.ZODB=ZOBD=2x,

VZOBD+ZODB+ZDOB=1SO°,

/.x=30°,

：.ZC=90°-2x=30°.

【变式9-1](2022秋•香洲区期末)如图，PA,总是。0的两条切线，A、5是切点，AC是。。的直径,

ZBAC=35°,求NP的度数.

【分析】根据题意可以求得NOAP和N03尸的度数，然后根据NA4c=35°,即可求得N尸的度数.

【解答】解：:以、尸5是。0的两条切线，A、3是切点，AC是。。的直径，

：.ZOAP=ZOBP=90°,

VZBAC=35°,OA=OB,

：.ZBAC=ZOBA=35°,

：.ZPAB=ZPBA=55°,

/.ZP=180°-ZPAB-ZPBA=70°,

即N尸的度数是70°.

【变式9-2](2022•老河口市模拟)PA,尸5是。0的切线，A,B是切点，点。是。0上不与A,B重合

的一点，若NA尸5=70°,则NAC3的度数为5。或125°-

【分析】根据切线的性质得到NOA尸=90°,N03尸=90°,再根据四边形内角和得到NAO3=110°,

然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求NAC3的度数.

【解答】解：,・・唐，尸8是。。的两条切线，

：.OALPA,OBLPB,

：.ZOAP=90°,ZOBP=90°,

•；/APB=70°,

AZAOB=360°-90°-90°-70°=110°,

当点C在劣弧AB上，贝！J/ACB=*/AO8=55°,

当点C'在优弧AB上，则NAC'2=180°-55°=125°.

则NACB的度数为55°或125°.

故答案为：55°或125°.

【变式9-3](2022•曲阜市二模)已知BC是。。的直径，是。。的切线，切点为A,交C8的延长

线于点。，连接AB,AO.

(I)如图①，求证：ZOAC^ZDAB；

(II)如图②，AD=AC,若E是。。上一点，求/E的大小.

【分析】(I)先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；

(II)由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出NA3C=2NC,即可求出NC

【解答】解：(I):AO是。。的切线，切点为A,

：.DA±AOf

：.ZZ)AO=90°,

：.ZDAB+ZBAO=90°,

•・・5C是。。的直径，

：.ZBAC=90°,

：.ZBAO+ZOAC=90°,

：.ZOAC=ZDAB,

(II)9：OA=OC,

：.ZOAC=ZC,

9

：AD=ACf

：.ZD=ZC,

：.ZOAC=ZDf

a：ZOAC=ZDAB,

；・NDAB=ND,

,/ZABC=ND+/DAB,

ZABC=2ZDf

9：ZD=ZC,

：.ZABC=2ZC9

*：ZBAC=90°,

/.ZABC+ZC=90°,

A2ZC+ZC=90o,

.*.ZC=30°,

/.Z£=ZC=30°

【题型10利用切线的判定与性质的综合运用】

【例10】(2022•五华区三模)如图，在△ABC中，点。是AC边上一点，且以线段AB为直径

作O。，分别交3。，AC于点E,点、F,/BAC=2/CBD.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)若CD=2,BC=4,求点B到AC的距离.

【分析】(1)连接4E,由圆周角定理得到/AE8=90°,由等腰三角形的性质得到/BAE=/D4E,进

而征得NBAE=/CBZ),得到乙钻£+/。或)=44g=90°,根据切线的判定即可证得BC是O。的切

线；

(2)连接2R可得APLAC,在Rt^ABC中，根据勾股定理求出AB=3,AC=5,由三角形的面积公

式即可求出BF.

【解答】(1)证明：连接AE,

•..线段AB为。。的直径，

；./AEB=90°,

.".AE1BD,ZBAE+ZABE^9Q°,

\'AD=AB,

：.ZBAE=NDAE,

：.NBAC=2NBAE,

'：ZBAC=2ZCBD,

：.ZBAE=ZCBD,

：.ZABE+ZCBD=ZABC=9Q°,

：.AB±BC,

•••AB为O。的直径,

.,•■BC是O。的切线;

(2)解：连接B凡

.线段A2为。。的直径，

AZAFB=90°,

：.AFLAC,

在Rt/XABC中，AB2+BC2=AC2,BC=4,AC^AD+CD=AB+2,

.".AB2+42=(AB+2)2,

；・A3=3,

：.AC=5,

'：S^ABC=^AB-BC=^AC-BF,

即点2到AC的距离为g.

【变式10-1】(2022•邵阳模拟)如图，AC是。。的直径，与。。相交于点8,ZDAB=ZACB.

(1)求证：A。是O。的切线.

(2)若/AD8=30°,DB=2,求直径AC的长度.

【分析】(1)根据圆周角定理得出/ABC=90°,