高考数学专项复习：集合、复数、逻辑语言（解析版）

专题14集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）

一、单选题

1.（2022•高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（KraieMer,1823-1891）

说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z满足2=产2°（1+2，），则Z的共辗复数是

（）

A.2+zB.2-zC.l-2zD.l+2z

【答案】C

【分析】利用虚数单位的哥的运算规律化简即得Z=l+2九然后利用共辗复数的概念判定.

【详解】解：z2020=（z4）5°5=1,:.Z=1+2i,:.Z=l-2i,

故选：C.

2.（2022秋・浙江温州.高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COWLM9核酸检测，并将数

据整理如图所示，其中集合S表示（）

A.无症状感染者B.发病者C.未感染者D.轻症感染者

【答案】A

【分析】由5=413即可判断S的含义.

【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合2的交集，

所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，

故选：A.

3.（2021秋.湖北十堰•高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若〃，则4”为真命题，贝『'由〃可以

推出即一旦P成立，4就成立，P是4成立的充分条件.也可以这样说，若4不成立，那么P一定不成立，

q对。成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于

险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（）

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.

【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，

所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，

故选：B.

4.(2022秋.云南曲靖.高一校考期中)杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如

有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有

神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的()

A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.

【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的

阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.

因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.

故选：C

5.(2020.陕西榆林.统考一模)在复平面内，复数z=a+6i(。，6eR)对应向量无(。为坐标原点)，

设|反卜r,以射线OX为始边，OZ为终边旋转的角为6,则2=.(85。+汴由。)，法国数学家棣莫弗发现了

棣莫弗定理：4=a(cosR+isina),z?=々(cos。+isin60,贝1|々z?=依［cos(q+a)+isin(q+幻］,由棣

莫弗定理可以导出复数乘方公式：1r(cose+isin。)］"=r"(cos〃e+isin“e),已知2=(石+”,则口=()

A.2^3B.4C.D.16

【答案】D

【解析】根据复数乘方公式：［r(cosd+isind)］"=r"(cos〃d+isinM，直接求解即可.

【详解】z=(J5+i)=2等+g=16^cos-^+;sin^

=16cos^4x^j+zsinf4x^j=-8+8拓i,

|Z|=^（-8）2+（873）2=16.

故选：D

【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复

数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.

6.（2021春.重庆沙坪坝.高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之

一，它说的是：任何一元〃次复系数多项式/'（X）在复数集中有〃个复数根（重根按重数计）那么，（力=丁-1

在复平面内使y（x）=o除了1和-.这两个根外，还有一个复数根为（）

A一一乌B.」_乌1V5.

D.1

222222

【答案】B

【分析】利用方程根的意义，把-工+3i代入方程，经化简变形即可得解.

22

【详解】因-是方程，（力=。的根,

（161z1百1

日口（——+——0-1^（——+——0二

即2222

=（二_乌）&.'—•）」+乌

22222222

=＞（■-四）』」+四）（」一乌）=1,

222222

所以-;-#i是方程/（x）=0的根.

故选：B

7.（2021春・安徽宣城•高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式e"=cosx+isinx（i为虚数单位）,

它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重

要的地位.根据欧拉公式可知，e率表示的复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据欧拉公式代入求解即可.

【详解】解：根据欧拉公式e"=cosx+isinx,

田争3兀一3兀及」及.

4=cos——+isin——=------+——i,

4422

即它在复平面内对应的点为---，

I22)

故位于第二象限.

故选：B.

8.(2022•全国•高三专题练习)“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔(Re附⑺escartes)创制

的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.己知复数z,回=1且z-(l+i)>0

(其中，是虚数单位)，则复数z=()

A.V2-V2iB.V2+V2i

C.在一克I

1

22TT

【答案】c

【分析】根据条件，设z=a+6i,再列式求。1,即可得到复数.

【详解】设z=a+6i,a1+b2=1,①

(a+bi)(l+i)=(a—b)+(a+b)i>0,得a+Z>=0,.l=La—b>0②，

由①②解得：a=,b=,

22

所以2=变-正「

22

故选：C

9.(2022・全国•高三专题练习)2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独

立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程三+1=0,它的

两个虚数根分别为()

A1±后R-l±V3i

22

C±1+后D±1-后

'2-2~

【答案】A

【分析】根据方程根的定义进行验证.

【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轨复数，因此排除CD,

A选项，(-3+]J+3.曲+3.(a2+(庖\]=8+3后一3后+]川

288

因此选项A正确，则选项B错误(因为3次方程只有3个根(包括重根)).

故选:A.

10.（2022・全国•高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到

分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2=—l，17世

纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用“+历（。、6eR）表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”.若

复数z满足方程Z2+2Z+5=0,贝”=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

【答案】C

【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.

【详解】设z=a+6i（a,Z?eR）,因z2+2z+5=0,贝U（。+历了+2（。+历）+5=0,

即（a2-Z?2+2a+5）+26（a+l）i=0,而则〈，解得、〜，

2b（a+1）=0[b=±2

所以z=-l±2i.

故选：C

11.（2022.高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数•三三数之,

剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二•问：物几何？现有如下表示：已知A=kk=3〃+2,"eN*},

2=卜|尤=5〃+3,"€N*},C=^x\x=Tn+2,n&N*^,若xeAcBcC,则下列选项中符合题意的整数x为

A.8B.127C.37D.23

【答案】D

【解析】将选项中的数字逐一代入集合A、B、C的表达式，检验是否为A、B、C的元素，即可选出正确

选项.

【详解】因为8=7xl+l,则8eC,选项A错误；

127=3x42+1,则127/A,选项B错误；

37=3x12+1,则37e4,选项C错误；

23=3x7+2,故23eA；23=5x4+3,故xeB；23=7x3+2,故xeC,则23eAcBcC,选项D正

确.

故选：D.

12.（2022秋・浙江温州•高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑

洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，

就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定

义：若一个w位正整数的所有数位上数字的〃次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一

位正整数的自恋数组成集合4集合3={x|-3＜尤＜4,xeZ},则AcB的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【分析】根据自恋数的定义可得集合A,再根据交集的定义求出AcB,从而可得答案.

【详解】解：依题意，A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={-2,-1,0,1,2,3）,

故AAB={1,2,3},故AcB的子集个数为8.

故选：D.

13.（2019•江西•高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表

示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为2和@（0,b,c,deN+）,则之

aca+c

2714

是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e=2.71828…，若令三＜e＜］，则第一次用“调日法”

后得4段1是e的更为精确的过剩近似值，即、27＜6＜曾41，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可

得e的近似分数为

、109「68-19-87

A•B.—C.—D.—

4025732

【答案】C

【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案.

【详解】第一次用“调日法”后得9是e的更为精确的过剩近似值，即条＜e＜2；第二次用“调日法”后得崇

是e的更为精确的过剩近似值，即第三次用“调日法”后得:是e的更为精确的不足近似值，即

1968m2济*—19

7"＜e＜w所以答案为了.

故选：C

【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.

14.（2022.上海.高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，

它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质

量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的

祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的祛码放入右盘，将另一黄金放于左盘使

之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

【答案】A

【分析】设天平左臂长为右臂长为万（不妨设。>万），先称得的黄金的实际质量为叫，后称得的黄金的

实际质量为叫.根据天平平衡，列出等式，可得班，牡表达式，利用作差法比较%+恤与10的大小，即可

得答案.

【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为右臂长为6（不妨设。>b）,

先称得的黄金的实际质量为叫，后称得的黄金的实际质量为根”

由杠杆的平衡原理：加！=ax5,am,=bx5.解得叫=色，m,=—,

ba

,5b5a

则ni叫+牡=---1------.

ab

下面比较叫+吗与10的大小：（作差比较法）

因为（班+八）_]0总+也_]0=5（"）一,

abab

因为人b,所以亚二立>0,即g+也>10.

ab

所以这样可知称出的黄金质量大于10g.

故选：A

15.（2022•高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如

图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（）

A.如果a>6,6>c,那么a>c

B.如果a>b>0,那么a?〉//2

C.如果。>6,c>。，那么ac>6c

D.对任意实数a和b,有当且仅当。=6时，等号成立

【答案】D

【分析】直角三角形的两直角边长分别为6,斜边长为C,则,2=/+62,利用大正方形的面积与四个直

角三角形面积和的不等关系得结论.

【详解】直角三角形的两直角边长分别为以斜边长为C,则02=储+62,

在正方形的面积为°2,四个直角三角形的面积和为2而，因此有即/+6222诏，当且仅当。=6

时，中间没有小正方形，等号成立.

故选：D.

16.（2022秋・北京丰台•高一统考期末）《几何原本》卷II的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的

重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，

点P在半圆。上，点C在直径A8上，MOFLAB,设AC=a,BC=b,可以直接通过比较线段OP与线段

C尸的长度完成的无字证明为（）

OCB

A.a2+b2>2ab(〃>0,Z?>0)

2ab

(a>0,b>0)D.-^—<4ab(a>0,b>0)

a+b

【答案】C

【分析】由图形可知0尸=343=；（°+3，。7=3（。-6）,在口14。。尸中，由勾股定理可求。尸,结合。后。尸

即可得出.

【详解】解：由图形可知，。/=]AB=,OC=—(a+Z?)—i>=—(a—Z?),

在RtaocF中，由勾股定理可得,

,/CF>OF,

故选：C.

17.（2022・全国•高三专题练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使

复数及其运算具有了几何意义，例如忖=|OZ|,也即复数Z的模的几何意义为Z对应的点Z到原点的距离.已

知复数z满足目=2,则|z-3-4i|的最大值为（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】由复数几何意义可得2（%》）的轨迹为圆/+、2=4,从而将问题转化为点2（工川到点（3,4）的距离,

则所求最大值为圆心到（3,4）的距离加上半径.

【详解】•巾=2,；.z对应的点Z（x,y）的轨迹为圆Y+y2=4；

•••卜-3-倒的几何意义为点2伍丫）到点（3,4）的距离,

22

一3一4以=7（0-3）+（0-4）+2=7.

故选：C.

18.（2022・全国•高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式

e^^cosx+isinx,（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数，xeR）,这个公式在复变论中有非常重要的

地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（）

,,..（也V2,Y022

A.e"1-1=0B.2cosx=eu+euC.2sinx=e"-e"D.—+—i=-l

I22J

【答案】B

【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解.

【详解】对于A,em=cos7t+isin7i=—b所以e'"=—1=-2,故A不正确；

对于B,3*=cosx+isin无，e"w=cos（-x）+isin（-x）=cosx-isinA:,

所以e*+e"=2cosx,故B正确；

对于C,3*=cosx+isin尤，e-'”=cos（-x）+isin（-x）=cosx-isinx,

所以ea-eT'=2isinx,故C不正确；

th八（五五A（无••吟（李）202271..2Q22n

对于D,-----1-----1=cos—+isin—=e4=cos----------Fisin--------

[22）^44jJ44

jrjr

=-cos——isin—=-i,故D不正确.

故选：B.

19.（2020•天津•南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国

数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是

指将有理数集Q划分为两个非空的子集/与N,且满足MuN=Q,McN=0,M中的每一个元素都

小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割下列选项中一

定不成立的是（）

A.没有最大元素，N有一个最小元素

B.又没有最大元素，N也没有最小元素

C.A/有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M有一个最大元素，N没有最小元素

【答案】C

【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则

说明C选项错误

【详解】若河={》6。,》＜0},N={x&Q,x＞0\.则/没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确;

若加=卜©°,无＜&},N=［X^Q,X＞41\.则知没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；

若M={xeQ,x4O},N={尤eQ,尤＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；

M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确.

故选：C

20.（2021春・安徽•高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰

富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图.请研究下面一道不定方程整数解的问题：己知

/02。+/=2%（尤€,yeZ）则该方程的整数解有（）组.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

［分析］原方程可化为所以|x区即T4x41,04y42,（x,yeZ）再列举每种

情况即可.

【详解】设此方程的解为有序数对a，y）,

因为x2020+y2=2y,（x,yeZ）

所以尤2。2。+曰一1）2=1

当炉°2°>1或(y-l)2>l时，等号是不能成立的，

所以|x区l,(y-l)241,即-LMxMl,0My=2,(x,yeZ)

(1)当x=-l时，(,-1)2=0即y=]

(2)当x=0时，(­)2=1即y=0或y=2

(3)当x=l时，(y-l)2=0即y=l

综上所述，共有四组解(-1,-1),(0,0),(0,2),(1』)

故选:D

21.(2022秋•四川成都•高一成都七中校考期中)对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提

出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了

勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,则这个直角三角形周长的最大值等于().

LL25

A.10A/2B.10C.5+5忘D.—

【答案】C

【分析】先由勾股定理得标+/=25,再利用基本不等式易得(a+3七50,由此得到a+6+cW5+50，

问题得解.

【详解】不妨设该直角三角形的斜边为c=5,直角边为。切，则/+/=°2=25,

因为所以+厅+2a6V2(a~+6-)，即(°+W50,

当且仅当且/+匕2=25,即a=>=逑时，等号成立，

2

因为。>0,6>0,所以(7+645立，

所以该直角三角形周长a+6+c45忘+<?=5+5后，即这个直角三角形周长的最大值为5+5近.

故选：C.

22.(2017・湖北•校联考一模)我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和

周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中簿误命题的个数是

月：对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；

心：如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；

A：圆(x-l)2+(y-l)2=4的一个太极函数为/(x)=X3-3X2+3X；

P4:圆的太极函数均是中心对称图形；

巴：奇函数都是太极函数；

此：偶函数不可能是太极函数.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】由定义可知过圆。的任一直线都是圆。的太极函数，故片正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，

那么该直线表示的函数为太极函数，故2错误；(尤)=d-3x2+3x=(x_iy+l,.•./(X)的图象关于点

(1,1)成中心对称，又•••圆(x-iy+(y-l)2=4关于点(1,1)成中心对称，故〃*)=三-3/+3%可以为圆

(x-iy+(y-l)2=4的一个太极函数，故A正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形,

故乙错误；奇函数的图象关于原点对称，其图象可以将任意以原点为圆心的圆面积及周长进行平分，故奇

函数可以为太极函数，故［正确；如图所示

偶函数可以是太极函数，故1错误；则错误的命题有3个，故选B.

二、多选题

23.(2021春.广东梅州•高二统考期末)欧拉公式*=cos尤+isinx(其中i为虚数单位，龙eR)是由瑞士

著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在

复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是()

A.复数/对应的点位于第一象限B./为纯虚数

C.复数针的模长等于JD.启的共轨复数为L-li

V3+i2e22

【答案】AC

【分析】根据欧拉公式计算出各复数,再根据复数的几何意义，纯虚数的概念，复数模的计算公式，共朝

复数的概念即可判断各选项的真假.

【详解】对A,e=cosl+isinl,因为0<l<g,所以cosl>0,sinl>0,即复数/对应的点(cos1,sin1)位于

第一象限，A正确；

对B,e汨=cos»+isin»=—l,*为实数，B错误；

,cosx+isinx(cos尤+isin%)(百-i)Qcosx+sin%A^sinx-cosx.

对c瓦r.+i_3)5i)=4+4L

则复数三；的模长为：

5/5cosx+sinx]+(Qsinx-cosx]/3cos2x+sin2x+3sin2%+cos2x1正确

[4J+14]F16—屋；

对D,e^'=cos—+isin—=—+-i,共辗复数为避^-4i,D错误.

662222

故选：AC.

24.(2022春・广东梅州•高一统考期末)欧拉公式e“=cosx+isinx(本题中e为自然对数的底数，i为虚数单

位)是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常

重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是()

A.泌+1=0

B.复数针在复平面内对应的点位于第二象限

C.复数导的共辗复数为@一

e22

D.复数e&(6eR)在复平面内对应的点的轨迹是圆

【答案】ABD

【分析】由欧拉公式和特殊角的三角函数值可判断A；由欧拉公式和三角函数在各个象限的符号可判断B；

由欧拉公式和共轨复数的概念可判断C；由欧拉公式和复数的几何意义可判断D.

【详解】对于A,eE+lucosjt+isin兀+1=-1+0+1=0,A正确;

对于B,e2i=cos2+isin2,'.1cos2<0,sin2>0,

；•复数e"在复平面内对应的点位于第二象限，B正确；

对于C,e^=cos-+isin-=-+^i,共朝复数为工―1"C错误；

332222

对于D,eie=cos6>+isin0（6>eR）,在复平面内对应的点为（cos。,sin。），

又：（8$。-0）2+s山6»-0）2=1,，在复平面内对应的点的轨迹是圆.

故选：ABD.

25.（2022・高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对

抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念

则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，即对所有

的。、bGG,有abGG,如果G的运算还满足：①V。、b、cGG,有Ca-b）-c=a-（b-c）；②^eeG,使得

VaeG,有e-a=a-e=a,③VaeG,3Z?eG,使ab=b-a=e,则称G关于“,"构成一个群.则下列说法正确

的有（）

A.G={-l,0,l}关于数的乘法构成群

B.G=[X\X=Y,左GZ,际0}U{x|x=〃z,“zGZ,加加}关于数的乘法构成群

k

C.实数集关于数的加法构成群

D.G={/〃+>/^九|相,九€2}关于数的加法构成群

【答案】CD

【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.

【详解】对于A：若6={-1,0,1},对所有的a、b&G,有。力e{l,0,—1}=G,

满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1,

但当。=0时，不存在6eG,使得。b=b~a=e=l,即③不成立，

即选项A错误；

113

对于B：因为a=—eG,且b=3eG,但。为=—x3=—任G,

222

所以选项B错误；

对于C：^G=R,对所有的a、bwR,有a+beR,

满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0,

VaeR,3b=-a&R,使a+b=Z?+a=0,即③成立；

即选项C正确;

对于D：若6={用+五相根,〃EZ},所有的a=仍+0勺、b=m2-\-y/2n2GG,

有.+/?=（州+阪）+亚（4+%）£G,Va,Z?,c£G,（a+b）+c=a+S+c）成立，

即①成立；当〃=>=。时，〃+伤=0，满足的e=0,即②成立；

X/a=m+y/2nGG，3b=-m-"teG，使a+6=b+a=0,即③成立；

即选项D正确.

故选：CD.

26.（2020秋•江苏盐城・高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股

十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题

的一般解法：如图1,用对角线将长和宽分别为6和4的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成

一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩

形，该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长/由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设。

为斜边8C的中点，作直角三角形A3C的内接正方形对角线AE,过点A作A/13c于点/，则下列推理

正确的是（）

②由AE2AF可得

③由ADNAE可得

④由AD2AF可得。2+〃22".

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABCD

【解析】根据图1,图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中AD,AE,AF

的表达式，逐一分析8、C、。选项，即可得答案.

【详解】对于①：由图1和图2面积相等得S=a6=（a+b）xd,所以〃=鸟，故①正确;

a+b

对于②：因为AF13C,所以《xax6=1J7TFxAF,所以40=1ab-

22yla2+b2

设图3中内接正方形边长为3根据三角形相似可得"=：,解得公鸟，

aba+b

所以AE=6t=叵2，

a+b

因为〃"质’所以驾二券『整理可得尸2审'故②正确;

对于③：因为O为斜边2C的中点，所以

因为AD2AE,所以2叵L整理得

故③正确;

2a+b

对于④：因为AD上”，所以",整理得：a2+b*2ab,故④正确;

2J/+62

故选：ABCD

【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得ARAE,的表达式，

根据图形及题意，得到A2AE,”的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.

27.（2022秋•黑龙江佳木斯・高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷H的几何代数法（以几何方法研

究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过

图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点。在半圆。上，点C在直径上，且CDLAB.设

AC=a,CB=b,CELOD,垂足为E,则该图形可以完成的无字证明为（）

A.而3B.£±^<

a+b2一

C.2痣D.a2+b2>2y[ab

【答案】AC

【解析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果.

【详解】解：根据图形，利用射影定理得：CD2=DE.OD,

由于：OD..CD,

所以：^-..Jab（a>0,b>0）.

由于CD?=ACCB=H,

r,p-CD2-ab

所以证=干

2

所以由于CD.DE,

整理得：4^b>—.

a+b

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：射影定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维

能力，属于基础题型.

28.（2022秋・辽宁大连•高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度

与肚脐至足底的长度之比是叵［（好二1*0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.

22

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是叵土.若某人满足上述两个黄金分割比

2

例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.168cmB.172cmC.176cmD.180cm

【答案】BC

【分析】设身高为xcm,运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高.

【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A、B、C、D,假设身高为xcm,即AD=*cm,

\4

•••人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是叵口，.•.四=好二

2CD22

vAC+CD=x,S.AC=^^-CD,:.^^-CD+CD=X,;.^^~CD=X,；.CD=-12—X=^^X,

222V5+12

•••人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比均是好匚，，丝=必二1,二=避二1BC,

2BC22

AB+BC+CD=X,SLAB=^^-BC,CZ）=^—lx,避二■BC+BC+避二■XT,

2222

.­.BC=(V5-2)x„,AB=^BC=^(V5-2)x=^|^x,

52

AB='-3也x<26x<-------/=

27-3V5x<178.21

由题意可得,.•.169.89vxvl78.21,故BC正确.

cn=^^x>io5210x>169.89

x>—f=——

2A/5-1

故选：BC

29.（2021秋.全国•高一期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和

中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定

义与今天大致相同.而今我们称三为正数的算术平均数，a为正数的几何平均数，并把这两者

结合的不等式疝4学（4>08>0）叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）

A.若"=4,则

B.若〃>0,b>0,贝lJ（a+2b）［：+t）最小值为4万

C.若£（0,+QO）,2a+Z?=l,——F—>4

D.若实数b满足。>0,b>Q,a+6=4,则金+互的最小值是。

o+lb+l3

【答案】CD

【分析】通过反例可知A错误；根据基本不等式“1”的应用可求得BC正误；令。+1=加〉1,&+!=«>1,

将所求式子化为2+巨，利用基本不等式可知D正确.

mn

【详解】对于A,若〃=一2,b=-2,则a+b=-4<4,A错误;

ab

对于B,t/tz>0,Z?>0,..—>0,—>0,

ba

.•.(a+2^)f-+-^=3+-+—>3+2./--—=3+272(当且仅当

即“=时取等号），即

\abJba\baba

++的最小值为3+2后，B错误；

对于C,6Z,Z?G(O,4W),.*.->0,—>0,又2a+Z?=l,

ba

11b2a..—-4(当且仅当2=«即b=2a=」时取等号）,

/.一+—+—+——>2+2.

lab2ab2ab2ab2

C正确;

对于D,令。+1=加>1,b+\=n>\,则加+〃=6,

2122

ab(m-1)(n-1)11411八67/*曰/口小

/.------+------=-------+--------^—=m+n+—+——4=2+—+—=2+——>2+[m+n\3(当且仅当

a+10+1mnmnmnmnI——I

加="=3时取等号)，即上—+2—的最小值是:，D正确.

o+lb+l3

故选：CD.

30.（2022秋・辽宁大连•高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=’

作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“〈”和“〉”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深

远.若a,b,CGR,则下列命题正确的是（）

A.若"#0且。<》，则!B.若a>b,0<c<l,则c"<<?

ab

C.若a>b>l,C>1,则log"C<log/D.若c>0,则

【答案】BCD

【分析】利用不等式性质结合可判断A,根据指数函数的性质可判断B,根据不等式性质结合对数函数的性

质可判断C,根据幕函数的性质可判断D.

【详解】A中，a<0<6时，贝错误；

ab

B中，因为a>b,0<c<l,所以c"<c"成立，正确；

C中，因为。>b>l,ol,所以logca>logcb>0,--------------r>0,

logra-logr/?

11

所以1-------<；------7,即log”c<log/,正确；

log,alog,b

D中，由a<6<-l,可得幺>1>。>0,又c>0,所以（幺］>W,正确.

ba）\a）

故选：BCD.

三、填空题

31.（2022・全国•高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两

个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数〃=5+3i,6=4+3i（i为虚数单位），则=

【答案】9+6i

【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.

【详解】/—62=（a+3（a—6）=（5+3i+4+3i）（5+3i—4—3i）=9+6i；

故答案为：9+6i.

32.2022•全国•高三专题练习）毛泽东同志在《清平乐•六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行

程二万”，假设诗句的前一句为真命题，贝『‘到长城”是“好汉”的条件（填“充分不必要”