2023年中考备考数学中难题综合复习（一）

初三数学中难题综合复习一

1.（江苏苏州・二模）用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm,面积为yrM,则

y与x的函数图象大致是（）

2.（江苏淮安•二模）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上

映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收

入达10亿元.若把增长率记作X,则方程可以列为（）

A.3（1+%）=10B.3（1+X）2=10C.3+3（1+尤了=10D.3+3（l+x）+3（l+x）2=10

3.（徐州•模拟预测）已知占，巧是关于x的方程/一区一1=。的两个实数根,下列结论一定正确的是（）

A.x2B.无i+尤2>。C.X]•x2>0D.再<0,x2<0

4.（江苏常州•二模）已知二次函数y=ox2+6x+c的图象过点/（-1,2）,8（-2,3）两点，且不经过第一

象限，设l=a+b-c,贝h的取值范围是.

5.（江苏扬州•一模）〃是自然数，我们称〃的非0数字的乘积为〃的"指标数"，如1的指标数是1,27的指

标数是14,40的指标数为4,则1~99这九十九个自然数的指标数的和是.

6.（江苏•南师附中新城初中二模）如图，A为y轴负半轴上一点，M,N是函数y=-J*+3的图像上的两

4

个动点，S.AM±AN.若MN的最小值为10,则点A的坐标为.

7.(江苏淮安・中考真题)如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m,在建筑物的顶部A处测得铁塔

顶部C的仰角为28。、铁塔底部。的俯角为40。，求铁塔CD的高度.

(参考数据：sin28°=0.47,cos28°=0.8,tan28°=0.53,sin40°=0.64,cos40°=0.77,tan40°=0.84)

8.(江苏淮安・中考真题)如图，在RtlSABC中，0ACB=90。，点E是BC的中点，以AC为直径的回。与AB边

交于点D,连接DE.

(1)判断直线DE与回。的位置关系，并说明理由；

(2)若CD=3,DE=1,求回。的直径.

9.(江苏无锡・中考真题)如图，已知锐角AABC中，AC=BC.

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作ZACB的平分线8;作AABC的外接圆。。；(不写作法,

保留作图痕迹)

（2）在（1）的条件下，若A3=,，。。的半径为5,则sin8=.（如需画草图，请使用图2）

10.（江苏南通•中考真题）A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促

销活动，促销方式如下：

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折.

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为：300x0.9+（500-300）x0.7=410（元）；

去B超市的购物金额为：100+（500—100）x0.8=420（元）.

（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；

（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由.

11.（江苏盐城•二模）如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=x2+6x+c与x轴交于48两点，与y

轴交于点C,对称轴为直线x=2,点/的坐标为（1,0）.

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点尸为抛物线上一点（不与点/重合），连接尸C.当4c8时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点。，连接P。，将线段P0绕点。顺时针旋转90。，使点P

恰好落在抛物线上？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

12.（江苏徐州•二模）如图，矩形ABCD中，对角线4C、8。相交于点0,西。8=60。，AB=2,将一张和m3c

一样大的纸片和的3c重叠放置，点E是边上一点（不含点8、C）,将回。CE沿着。E翻折，点C落在

点P处.

⑴直接写出回O8C、回。CB的数量关系是.

（2）连接DE,设回OPE的面积为S/,回。的面积为S2,在点£取边5c上每一点（除点8、C）的过程中，

S/+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S/+S2的值；

⑶分别连接PD、PC,当点尸与点8重合时，易知PO・PC=PE+PD,当点尸不与点8重合时,PO・PC=PE・P〃

是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明.

初三数学中难题综合复习一解析

1.（江苏苏州•二模）用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm,面积为ynA则

y与x的函数图象大致是（）

【答案】B

【解析】【分析】设矩形的长为“根,宽为加7,可得。+6=10（加），由菜园的对角线长为x加，根据勾股定理

由三角形成立条件与两数差平方非负性可得5夜4元＜10,由公式配方可得y=ab=-1X2+50即

可.

【详解】解：设矩形的长为。加，宽为bm,

根据题意，得4+6=20:2=10（m）,

团菜园的对角线长为xm,

^\a2+b2=x2,

取va+/?=10,(<2-Z?)2>0,

Bx2=a2+b2>lab，仅当a=b取等号,

EX2>2X5X5,

取25VL

5^2<x<10，

团(a+b)2=a2+2ab+b2,

mo2=x2+2ab,

102-x21

^my=ab7=----------=——x2+c5n0,

22

^\Q<y<25,且x=50时，》=25,

眇与x函数图象是二次函数的图象，即开口方向向下的抛物线.故选：B.

【点睛】本题考查列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积，掌握列二次函数解析

式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积是解题关键.

2.(江苏淮安•二模)电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上

映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收

入达10亿元.若把增长率记作x,则方程可以列为()

A.3(l+x)=10B.3(1+尤y=10

C.3+3(l+x)2=10D.3+3(l+x)+3(l+x)2=10

【答案】D

【解析】【分析】根据增长率为x,得出第二天为3(1+x),第三天为3(1+x)2,根据三天累计为10,即可

得出关于x的一元二次方程.

【详解】解：设平均每天票房的增长率为x,根据题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=io.故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

3.(江苏徐州,模拟预测)已知毛，巧是关于尤的方程履一1=。的两个实数根，下列结论一定正确的是

()

A.石。％2B.x1+x2>0C.Xj-x2>0D.Xj<0,x2<0

【答案】A

【解析】【分析】根据根与系数的关系得出玉+X?=3占“2=-1,再逐个判断即可.

【详解】解：•.•士,々是关于X的方程V-履-1=0的两个实数根，

xx+x2=k,-x2=-1,A=A?+4>0,

团不论左取何值时，方程总有两个不相等的实数根，即占*%，

故A选项符合题意；

国不论左取何值时，方程总有两个不相等的实数根，且玉+々=左，

国王+%不一定大于0,

故B选项不符合题意;

团玉x2=-l<0,

团%i<0,x2<0,

故C,D选项不符合题意；故选：A.

【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟练记住根与系数的关系是解题的关键.

4.(江苏常州•二模)已知二次函数y=aN+bx+c的图象过点4(-1,2),5(-2,3)两点，且不经过第一

象限，设/=。+6-°,贝”的取值范围是.

【答案】/<-3

[b=3a-l

【解析】【分析】将45两点的坐标代入得出关于〃、6、c的方程组，将〃看作常数解此方程组得。j

[c=2a+l

将其代入得/=a+b-c=2a-2,结合二次函数的图象与性质知aVO、c=2^z+7<0,据此得出〃的范围，继而可得/

的范围，即可得出答案.

[a—b+c=2[b=3«—1

【详解】由题意，得/,。，解得。/

[4Q—2/?+C=3[C=2Q+1

则/=〃+b-c=q+(3a-1)-(2tz+l)=2a-2,

由抛物线过点/(-1,2),8(-2,3)两点，且不经过第一象限知a<0,c=2a+l<0,解得在-；，

皿=2。-2<-3,故答案为：Z<-3.

【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

5.(江苏扬州•一模)”是自然数，我们称"的非0数字的乘积为〃的"指标数"，如1的指标数是1,27的指

标数是14,40的指标数为4,则1~99这九十九个自然数的指标数的和是.

【答案】2115

【解析】【分析】先分别求出1〜9的指标数之和，10〜19的指标数之和，20〜29的指标数之和，…，90〜

99的指标数之和，再将它们相加即可.

【详解】解：1〜9的指标数之和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；

10-19的指标数之和为1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46；

20〜29的指标数之和为2x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=2x46；

30~39的指标数之和为3*(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=3*46；

40—49的指标数之和为4x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=4x46；

50〜59的指标数之和为5x(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5x46；

60~69的指标数N和为6x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=6x46；

70-79的指标数之和为7x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=7x46；

80〜89的指标数之和为8x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=8x46；

90-99的指标数之和为9x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=9x46.

所以1〜99的指标数之和为45+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)x46=45x47=2115.故答案为：2115.

【点睛】本题考查了自然数的"指标数"，注意分类思想及整体思想，有一定的难度.

6.(江苏•南师附中新城初中二模)如图，A为y轴负半轴上一点，M,N是函数y=-J*+3的图像上的两

4

个动点，S.AM±AN.若MN的最小值为10,则点A的坐标为.

【答案】

【解析】【分析】取"N的中点为2,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知最小值，由/BMW

时，4B最小，再通过sinNOCD=sinN3C4即可求出/C的长，从而得出/点的坐标.

【详解】假设中点为点5,连接A2,根据直角三角形斜边中线定理可得

2

回叫n=10

ffl^min=5

a

(即定点A到直线y=-J%+3上动点B的最短距离为5)

4

3

团产一片+3的图象与x、y轴交于C、。两点，

0C(O,3),1)(4,0),

根据垂线段最短可得，直线y=-；x+3时AB=5,如图所示

4

在R〃COD中,由勾股定理得：CD=43?+42=5,

A35

Rt^ABC中，sincc==

RtACOD中，sincc=---=—

CD5

「54

0AC=—

4

团点4在y轴的负半轴

团OC=3,

0OA=—,

4

回点力的纵坐标为［0,-春］.

故答案为:

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，以及垂线段最短和三角函数等知识，得出垂线段N2长是解

决问题的关键.

7.(江苏淮安•中考真题)如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m,在建筑物的顶部A处测得铁塔

顶部C的仰角为28。、铁塔底部。的俯角为40。，求铁塔CD的高度.

(参考数据：sin28°=0.47,cos28°=0.8,tan28°=0.53,sin40°=0.64,cos400=0.77,tan400=0.84)

【答案】68.5m

【分析】过A作垂足为E.分别在RtMEC和RtMEO中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长,

然后相加即可.

【详解】解：如图，过A作AH3CD,垂足为E.

贝AE=50m,

在RtBAEC中,CE=AE・tan28°=50x0.53=26.5(m),

在RtBAED中,DE=4E»tan40°=50x0.84=42(m),

ElCD=CE+OE=26.5+42=68.5(m).

答：铁塔CD的高度约为68.5m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键.

8.（江苏淮安・中考真题）如图，在RtEIABC中，E1ACB=9O。，点E是BC的中点，以AC为直径的与AB边

交于点D,连接DE.

（1）判断直线DE与回。的位置关系，并说明理由；

（2）若CD=3,DE=1,求国0的直径.

【答案】（1）相切，理由见解析；（2）:

4

【分析】（1）连接D。，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由阴。。=90。，E为BC的中点得到DE

=CE=BE,贝!I利用等腰三角形的性质得回EDC=EIEa）,SODC=BOCD,由于EIOCD+回DCE=MCB=90。，所以回EDC

+0ODC=90°,即EIEDO=90。，于是根据切线的判定定理即可得到DE与团。相切；（2）根据勾股定理和相似

三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：（1）证明：连接。。，如图，

盟80c=90°,E为BC的中点，SDE=CE=BE,ffl£DC=E£CD,

又EIOD=OC,00ODC=E]OCD,

而E1OCD+0DCE=EL4CB=90°,

EEEDC+E10DC=90°,即回£。。=90°,0DEE1OD,EIDE与回。相切;

(2)由(1)得，ECDB=90°,

[3CE=EB,0D£=^-BC,m8c=5,0BD=-]BC1-CD~y/52-32=4>

ACBCAC515

00BC4=0BDC=90°,08=138,SBBCABBBDC,回——=——，0——=—,EMC=——，

CDBD344

03。直径的长为一.

4

【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是

圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.也考查了直角三角形斜边

上的中线性质和相似三角形的判定与性质.

9.（江苏无锡・中考真题）如图，已知锐角中，AC=BC.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作ZACB的平分线8；作AABC的外接圆。。；（不写作法,

保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若=。。的半径为5,贝Usin3=.（如需画草图，请使用图2）

4

【答案】（1）见详解；（2）I

【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作ZACB的平分线C。，作出AC的中垂线交CD于点。，再

以点。为圆心，OC为半径，画圆，即可；

24

（2）连接根据等腰三角形的性质得AD=BD=M，CDMB,利用勾股定理求出。D,BC,进而即可求解.

【详解】解：（1）如图所示:

(2)连接04

团AC=BC,NACB的平分线CD,

114824

^\AD=BD=-AB=-x——=—,CDM8,

2255

团O。的半径为5,

732

团CD=C0+0D=5+-二一

55

^BC=^BD2+CD2

年4

fflsinB=CD54.故答案是：

----=—=—5

3c85

【点睛】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形

外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键.

10.（江苏南通・中考真题）A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促

销活动，促销方式如下：

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折.

例如，一次购物的商品原价为500元,

去A超市的购物金额为：300x0.9+（500-300）x0.7=410（元）；

去B超市的购物金额为：100+（500-100）x0.8=42。（元）.

（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式;

（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由.

0.9x（。4尤4300）

【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：^=j60+Q7^v>300j；B商场y关于x的函数解析式:

_x（04x4100）

ys-[20+0.8x（x>100）；

（2）当200Vx<400时，去B超市更省钱；当*=400时，去A、B超市一样省钱；当x>400时，去A超市

更省钱.

【解析】【分析】（1）利用促销方式，分别写出48两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数；

（2）小刚一次购物的商品原价超过200元，则可以确定B的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较

两函数值即可，注意分段讨论.

【详解】

0.9JC（0<X<300）0.9JC（0<X<300）

解：（1）4商场y关于x的函数解析式:0.9x300+0.7（x-300）（x>300））即：-[60+0.7%（x>300）：

1x（04x4100）Jx（0<x<100）

8商场y关于x的函数解析式:力—1100+0.8"-100）（工>100）'即：-[20+0.8x（x>100）：

（2）团小刚一次购物的商品原价超过200元

团当200VxW300时，=0.9x-（20-0.8x）=0.1x-20,

令打一％=°，x=200,

所以，当200<x4300时，即力-%>。，去8超市更省钱;

当x>300时，yA-yB-（60+0.7x）-（20+0.8.r）=40-0.lx,

令打一％=°，x=400,

所以，当x=400时，即力-%=°，此时去A、B超市一样省钱；

当300Vx<400时，即%-%>0，去B超市更省钱；

当x>400时，即力-力<0,去A超市更省钱；

综上所述，当200<%<400时，去B超市更省钱；当x=400时，去A、8超市一样省钱；当心>400时，去A

超市更省钱.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B

商场根据商品原价的取值范围分情况讨论.

11.（江苏盐城・二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线>=/+队+。与x轴交于/、8两点，与〉

轴交于点C,对称轴为直线x=2,点/的坐标为（1,0）.

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点尸为抛物线上一点（不与点/重合），连接尸C.当=时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点。，连接尸Q,将线段尸。绕点。顺时针旋转90。，使点尸

恰好落在抛物线上？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】【分析】（1）由对称轴为直线x=2,点A的坐标为（1,0）,得出2（3,0）,通过交点式得出函数关系式；

（2）作于。，可知D在对称轴上，求出E的坐标，得出直线CE的关系式与抛物线求交点即可；

（3）分尸在。上方和下方两种情况，当尸在。上方时，构造出APDQMAQEP,得P（w+2]-㈤代入抛物线

即可，当。在尸上方时，得出。（2,三31）.

【详解】解：(1)・•・对称轴为直线x=2,点A的坐标为(1,0),

.-5(3,0),

/.y={x-l)(x-3)=x2-4x+3,

当％=2时，y=-l,

••・顶点(2T),

OB-OC,

..ZOBC=45°f

BD=\/2，

「•0(2,1),

\ZPCB=ZACB,

/.AD=DE,

・•・石(3,2),

直线CE的关系式为：y=-%+3,

—%+3=/―4x+3,

3

「•玉=。(舍)，/=/，

(3)点尸旋转后的对应点为P，作尸对称轴于。,HE_L对称轴于E,

当尸在。上方时，

则尸£>=?_2=1,设QQ=m,

将线段尸。绕点。顺时针旋转90°得线段QP',

EBPQP'=90°,则0PQD+即'0£=90°,

又0PQD+aDPQ=90。，

^EP'QE=^DPQ,XPQ=P'Q,^PDQ=^\QEP'=90a,

;.^PDQ^\QEP'(AAS),

:.P'E=DQ=m,QE=PD=^,

・.・P恰好落在抛物线上，

1

/.(m+2>9—4(m+2)+3=——m,

25

解得叫=可，"4=一鼻(舍)，

J。

团点Q的纵坐标为£-1=与

・•・0(2,争,

当。在尸上方时，作20，对称轴于£）,

可知：即。P为等腰直角三角形,

SPD=P'D=QD=^,

团点Q的纵坐标为《+：=

31

••Q(Z-),

综上：2（2,、）或0（2,.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，

用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间

的关系.

12.（江苏徐州二模）如图，矩形N8CD中，对角线NC、8D相交于点O,^AOB=60a,AB=2,将一张和0Age

一样大的纸片和鼠18。重叠放置，点£是边上一点（不含点3、O,将团OCE沿着。£翻折，点C落在

点尸处.

⑴直接写出回O8C、回。C8的数量关系是.

(2)连接。E,设回OPE的面积为S/,回。DE的面积为在点E取边8c上每一点(除点8、C)的过程中，

S/+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S+S2的值；

⑶分别连接PD、PC,当点P与点B重合时，易知PO»PC=PE»PD,当点P不与点B重合时,PO・PC=PE・PD

是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明.

【答案】(1)NO3C=NOC8

⑵不变，St+S2=yf3

⑶成立，证明见解析

【解析】【分析】(1)由矩形的性质可以证明O3=OC，则NOBC=NOCB；

(2)由折叠的性质可得S,OPE=S&0cK，由等底等高的三角形的面积相等可得SK°DE=SAOBE，可证明E+邑=SSOBC,

则S,+