高中数学二次函数知识点及题型

第六节二次函数

基础知识

1,二次函数解析式的三种形式

一般式:f(x)=ax2+bx+c(aW0)；

顶点式:f(x)=a(x—h)2+k(aW0)；

两根式:f(x)=a(x—x1)(x—x2)(a=#0).

2.二次函数的图象与性质

二次函数系数的特征

⑴二次函数y=ax2+bx+c(a#=0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小;

b

(2)一乙的值决定图象对称轴的位置；

(3)c的取值决定图象与y轴的交点；

(4)b2-4ac的正负决定图象与x轴的交点个数.

解析式fix)=加+bx+c(〃>0)fix)=ax2+bx+c(〃<0)

/

图象J

V

(一8,十8)(一8,H-OO)

定义域

(4«c—Z?2"|

值域L4a，+叼一8,.

k4a」

在[一品+8在(bl

)上单调递增；在一8，一五上单调递增；在

单调性

[-Fb+18)上单调递减

18,g上单调递减

当b=0时为偶函数，当bWO时为非奇非偶函数

奇偶性

(b_4〃。—一2

顶点12d4〃)

b

对称性图象关于直线X=一为成轴对称图形

常用结论

1.一元二次不等式恒成立的条件

(1)“ax2+bx+c>0(ar0)恒成立”的充要条件是"a>0,且A<0”.

(2)“ax2+bx+c<0(a丰0)恒成立”的充要条件是"a<0,且△<()”.

2.二次函数在闭区间上的最值

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),闭区间为［m,n］.

(1)当一Wm时，最小值为f(m),最大值为f(n)；

(2)当m<-W时，最小值为f,最大值为f(n)；

(3)当<—Wn时，最小值为f,最大值为f(m)；

(4)当一>n时，最小值为f(n),最大值为f(m).

考点一求二次函数的解析式

求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.

［典例］已知二次函数f(x)满足f(2)=-l,f(—1)=—1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析

式.

［解］法一：利用二次函数的一般式

设f(x)=ax2+bx+c(a#=0).

〃4a+2Z?+c=-1,

a=-4,

a~b+c=-1解得｛。=

由题意得q4,

4ic—/

4a=8,,c=7.

故所求二次函数为fix)=-4X2+4X+7.

法二：利用二次函数的顶点式

设/(%)=〃(%—机)2+n.

Vf(2)=f(―1),二・抛物线对称轴为x==.

.・・m=,又根据题意函数有最大值8,・・.n=8,

,\y=fix)=a(x—^\2+S.

Vf(2)=-1,Aa2+8=-l,解得a=-4,

.7/U)=-4，-分+8=-4『+4x+7.

法三：利用零点式

由已知f(x)+l=O的两根为xl=2,x2=—1,

故可设f(x)+l=a(x-2)(x+1),

即/(%)=〃/_Q%_2Q_1.

又函数有最大值ymax=8,即=8.

解得a=—4或a=0(舍去)，

故所求函数解析式为fix)=-4X2+4X+7.

［题组训练］

1.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(一2,-1),且图象经过点(1,0),则函数的解析式为f(x)=

解析：法一：设所求解析式为f(x)=ax2+bx+c(a手0).

由已知得《^ac—b01解得《b=54

<4/+Z7+c=0,c—

\4s

所以所求解析式为/(x)+gx—

法二：设所求解析式为f(x)=ax2+bx+c(a#=0).

r1

—互=—2

2a

4

依题意得上­=T,解得jb=§,

、Q+Z?+C=0,5

[c=一§，

14s

所以所求解析式为/(%)=贡2+§x—

法三：设所求解析式为f(x)=a(x—h)2+k.

由已知得f(x)=a(x+2)2-1,

聘1点(1,0)代入，得a=,

所以f(x)=(x+2)2-l,

答案：x2+x—

2.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x£R,都有f(2

—x)=f(2+x),则函数的解析式f(x)=.

解析：丫f(2—x)=f(2+x)对xCR恒成立，

.\/(尤)的对称轴为x—2.

又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,

.,.f(x)=O的两根为1和3.

设f(x)的解析式为f(x)=a(x-l)(x-3)(a*0).

又：人*)的图象经过点(4,3),

・・3a=3,a=l.

「・所求f(x)的解析式为f(x)=(x—1)(x—3),

即«x)=f—4%+3.

答案:x2—4x+3

考点二二次函数的图象与性质

考法(一)二次函数图象的识别

［典例］若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能

［解析］因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0,b<0,所以二次函数的图象开

口向下，对称轴方程x=一永0,只有选项C适合.

［答案］c

考法(二)二次函数的单调性与最值问题

［典例］

⑴已知函数f(x)=-x2+2ax+l—a在xG［0,l］时，有最大值2,则a的值为.

(2)设二次函数f(x)=ax2—2ax+c在区间［0,1］上单调递减，且f(m)Wf(0),则实数m的取值范围是

［解析］(1)函数f(x)=-x2+2ax+l—a=—(X—a)2+a2—a+1,对称轴方程为x=a.

当a<0时，f(x)max=f(0)=1—a,

所以1—a=2,所以a=-1.

当OWaWl时，f(x)max=a2—a+1,

所以a2—a+l=2,所以a2—a—1=0,

所以a=(舍去).

当a>l时，f(x)max=f(l)=a,所以a=2.

综上可知,a=—1或a=2.

(2)依题意a手0,二次函数f(x)=ax2—2ax+c图象的对称轴是直线x=l,因为函数f(x)在区间［0,1］上单

调递减，所以a>0,即函数图象的开口向上，所以f(0)=f(2),则当f(m)Wf(0)时，有0WmW2.

［答案］⑴T或2(2)［0,2］

［解题技法］

1.二次函数最值问题的类型及解题思路

⑴类型：

①对称轴、区间都是给定的；

②对称轴动、区间固定；

③对称轴定、区间变动.

(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指

的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题.

2.二次函数单调性问题的求解策略

(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定,

则需要分类讨论求解.

(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单

调区间上比较.

考法(三)与二次函数有关的恒成立问题

［典例］

⑴已知函数f(x)=x2+mx—1,若对于任意xG［m,m+1］,都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是

(2)已知函数f(x)=x2+2x+1,f(x)>x+k在区间［—3,—1］上恒成立，则k的取值范围为

［解析］(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x6［m,m+l］,都有f(x)<0,

阿）<0,

则有，

江加+1）<0,

7层+相2-

即「

（771+1）2+77?（77?+1）—1<0,

解得一坐

(2)由题意得x2+x+l>k在区间［-3,-1］上恒成立.

设g(x)=x2+x+l,xW［—3,—1］,

则g(x)在［-3,-1］上递减.

••g(X)min=g(-1)=L

；.k〈l.故k的取值范围为(一8,1).

［答案］(1)0(2)(—8,1)

［解题技法］

由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个

思路的依据是：a2f(x)恒成立Qa》f(x)max,aWf(x)恒成立QaWf(x)min.

［题组训练］

1.(2019•杭州模拟)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在［0,1］内的最大值为一5,则a的值为()

A.B.1或

C.-1或D.一5或

解析：选Df(x)=-42—4a,对称轴为直线x=.

①当21,即a22时，f(x)在［0,1］上单调递增，

(无)max=/l)=-4—a2.

令一4—a2=—5,得2=±1(舍去).

②当0<<1,即0<a<2时，f(x)max=f=-4a.

令-4a=-5,得a=.

③当W0,即aWO时，f(x)在。1］上单调递减，

•'•flx)raax—fiO)——4a一a2.

令一4a—a2=—5,得a=—5或a=1(舍去).

综上所述,a=或一5.

2.若函数y=x2—3x+4的定义域为［0,m］,值域为，则m的取值范围为()

A.(0,4］B.

「3门「3।)

C.1］,3jD.［］,+叼

解析：选Cy=x2—3x+4=2+的定义域为。m］,显然，在x=0时，y=4,又值域为，根据

二次函数图象的对称性知WmW3,故选C.

3.已知函数f(x)=a2x+3ax—2(a>l),若在区间［-1,1］上f(x)W8恒成立，则a的最大值为.

解析：令ax=t,因为所以WtWa,原函数化为g(t)=t2+3t—2,显然g(t)在上单调递

增，所以f(x)W8恒成立，即g(t)max=g(a)W8恒成立，所以有a2+3a—2W8,解得一5WaW2,又a>l,所

以a的最大值为2.

答案：2

［课时跟踪检测］

A级

1.(2019•重庆三校联考)已知二次函数y=ax2+bx+l的图象的对称轴方程是x=l,并且过点P(—

1,7),则a,b的值分别是()

A.2,4B.-2,4

C.2,-4D.-2,-4

解析：选C；y=ax2+bx+l的图象的对称轴是x=l,，一=1..①

又图象过点P(—1,7),；.a—b+l=7,即a—b=6.........②

由①②可得a=2,b=—4.

2.已知函数f(x)=-x2+4x+a,xd［0,l］,若f(x)有最小值一2,则a的值为()

A.-1B.0

C.1D.-2

解析：选D函数f(x)=-x2+4x+a的对称轴为直线x=2,开口向下,f(x)=-x2+4x+a在［0,1］

上单调递增，则当x=0时,f(x)的最小值为f(0)=a=-2.

3.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是()

解析：选C若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，故可排

除A；若a<0,一次函数y=ax+b为减函数，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，故可排除D；

对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而一<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选

C.

4.已知a,b,cGR,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(l),贝1()

A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0

解析：选A由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-=2,.Ma+b：。，又

f(0)>f⑴,f(4)>f(l)，,f(x)先减后增,于是a>0,故选A.

5,若关于x的不等式x2—4x—2—a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()

A.(—8,-2)B.(-2,+8)

C.(-6,+0°)D.(—°0,—6)

解析：选A不等式x2—4x—2—a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2—4x—2)max,

令f(x)=x2-4x—2,xG(1,4),

所以f(x)<f(4)=-2,所以a<—2.

6.已知函数f(x)=x2+2ax+3,若丫=我乂)在区间［—4,6］上是单调函数,则实数a的取值范围为

解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是*=—a,

所以要使f(x)在［-4,6］上是单调函数，

应有一aW—4或一a26,即aW—6或a》4.

答案：(-8,-6］U［4,+°°)

7.已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)=O的两个实根之差等于7,则此二次函数的解

析式是.

解析:设f(x)=a2+49(a手0),

方程a2+49=0的两个实根分别为xl,x2,

贝力xl—x2|=2=7,

所以a=-4,所以f(x)=-4x2—12x+40.

答案：f(x)=-4x2-12x+40

8.(2018-浙江名校协作体考试)y=的值域为［0,+°°),则a的取值范围是.

解析：当a=0时,y=，值域为［0,+8),满足条件；当a/0时，要使y=的值域为［0,+°°),只需

解得0<aW2.综上,0WaW2.

答案:［0,2］

9.求函数f(x)=—x(x—a)在xG［—11］上的最大值.

解：函数f(x)=-2+的图象的对称轴为x=,应分<—1,—1WW1,>1,即a<—2,一2Wa

W2和a>2三种情形讨论.

⑴当a<-2时，由图①可知f(x)在上的最大值为f(一l)=—l-a=—(a+l).

⑵当一2WaW2时，由图②可知f(x)在［-1,1］上的最大值为f=.

⑶当a>2时，由图③可知f(x)在L1,1］上的最大值为f(D=a-l.

综上可知，f(x)max=

10.已知二次函数f(x)满足f(x+l)—f(x)=2x,且f(0)=l.

(1)求兀x)的解析式；

(2)当时，函数y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象的上方，求实数m的取值范围.

角星:(1)设f(x)=ax2+bx+l(a=^0),

由f(x+l)—f(x)=2x,得2ax+a+b=2x.

所以，2a=2且a+b=0,解得a=l,b=—1,

因此fix)的解析式为J(x)—x+1.

(2)因为当x£［—1,1］时,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，

所以在［—1,1］上,x2—x+l>2x+m恒成立；

即x2—3x+l>m在区间上恒成立.

所以令g(x)=x2—3x+l=2—,

因为g(x)在［—1,1］上的最小值为g(l)=-1,

所以m<一1.故实数m的取值范围为(一8,—1).

B级

1.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(—3,0),对称轴为x=—1.给出下面

四个结论：

①。2>4〃C；②2。一匕=1；@a—b+c=0；®5a<b.

其中正确的是()

A.②④B,①④

C.②③D.①③

解析：选B因为图象与x轴交于两点，所以b2—4ac>0,即b2>4ac,①正确；

对称轴为x=—1,即一=—1,2a—b=0,②错误；

结合图象，当x=-l时,y>0,即a—b+c>0,③错误；

由对称轴为x=—1知，b=2a.

又函数图象开口向下，所以a<0,所以5a〈2a,即5a<b,④正确.

2.已知y=f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=(x—1)2,若当x£时，nWf(x)Wm恒成立，则m—n的

最小值为()

A.1B.^

C.D.1

解析选D当x<0时，—x>0,f(x)=f(—x)=(x+1)2,因为x£,所以f(x)min=f(—1)=0,f(