河南省2025届高三年级上册联考（二）数学试题（含解析）

2024-2025年度河南省高三年级联考(二)

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不

等式.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合/=｛刈2-司<1｝,B=^x\a<x<a+3^.,若/U3=<x<5｝,贝>Ja=()

A.OB.lC.2D.3

2.已知符号)(表示不平行，向量G=(—1,—2),B=(%〃，+7).设命题)：V加e(0,+oo),5)(3,则()

A.—^p:3me(0,+oo),a//b,且r?为真命题

B.”：V掰e(0,+co),allb,且r?为真命题

C.^p:3me(0,+co),allb,且r?为假命题

D.—tp-.\/me(0,+co),allb,且r?为假命题

3.若。>他|>0,则下列结论一定成立的是()

A.ab〉ubB.—5>—；—C.<b，D.a—c>c—b

ab~a~b

4.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且星=加4，则“加=7”是“｛4｝的公比为2”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知函数/(x)=|log3x|,若6>。>0,且a,6是/(x)的图像与直线y=加(加〉0)的两个交点对应的

横坐标，则4a+6的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

6.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块

直角三角板拼出的一个几何图形，其中|方|=|正|,|丽|=|元丽•瑟=0.连接4D,若

AD=xAB+yAC,则()

A.a>0B.Z)+c>0C.c>0D.b-c=-16a

8.已知/是函数/(x)=xe*+3图象上的一点，点5在直线/:x—y—3=0上，则|45|的最小值是()

A."—ZB.3C,2V2D.3V2

2e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设数列｛4｝,｛，｝的前〃项和分别为S“，Tn,且a=3%,则下列结论不正确的是()

A.若｛4｝是递增数列，则｛S,,｝是递增数列

B.若｛%｝是递减数列，则｛Sn｝是递减数列

C.若｛%｝是递增数列，贝匹北｝是递增数列

D.若｛%｝是递减数列，贝1]｛1｝是递减数列

10.已知/(3x+l)为奇函数，/(3)=1,且对任意xeR,都有/(x+2)=/(4—x),贝U必有()

A./(H)=-1B"23)=0

C./(7)=-lD./(5)=0

11.已知函数/(x)=sinx+sin3x,则()

A./(x)的图象关于点(兀,0)中心对称

B./(x)的图象关于直线x=£71对称

873873

C./(x)的值域为

D./（x）在上单调递增

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在△48C中，角4B,C的对边分别是a,b,C,且a=l,b=3,cosC=-,则△48C外接圆的

3

面积是.

13.已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间，（单位：天）的关系满足指数模型。=孰「（1）,

其中孰是初始浓度（即方=1时该污染物的浓度），上是常数.第2天（即方=2）测得该污染物的浓度为5摩

尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第〃天测得该污染物的浓度变为27孰，则

n=.

14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等

分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为a,则

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

人4

在△4SC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,cosA=—,2acosC=3ccosA.

5

（1）求sinC的值；

（2）若Q=3,求△45。的周长.

16.（15分）

已知函数f（x）=Asin（（7>x+^）+b（A>0,G>0,0<0<兀）的部分图象如图所示.

⑴求/(X)的解析式;

(2)求/(x)的零点;

TT7兀

(3)将/(x)图象上的所有点向右平移A个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在0,二上的值

域.

17.(15分)

已知函数/(%)=恶，且/(log63)+/(log612)=2.

<1)求a的值；

(2)求不等式2/(/+30_1〉o的解集.

18.(17分)

已知函数f(x)=(ax+2)ln(x+1)-x2-2x.

(1)当a=0时，求/(x)的单调区间与极值；

(2)当xNO时，/(x)V0恒成立，求a的取值范围.

19.(17分)

设数列｛2｝的前〃项和为8,若对任意的〃eN+，者B有邑“=左S"(左为非零常数)，则称数列｛2｝为“和

等比数列”，其中左为和公比.

(1)若％=2〃-3,判断｛4｝是否为“和等比数列”.

(2)已知也｝是首项为1,公差不为。的等差数列，且抄/是“和等比数列"，g=金，数列｛或｝的前〃

项和为5•

①求上｝的和公比；

②求空;

3〃+4

③若不等式5-注?>(-iym-2对任意的〃eN+恒成立，求m的取值范围.

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数学参考答案

Q>]

1.C由题意可得/=｛x[l<x<3｝.因为ZUB=｛x[l<x<5｝,所以｛-],解得a=2.

a+3=5

2.AG(0,+OO),allb,当一(加+7)=-2冽，即加=7时，allb,所以为真命题.

3.B当Q=3,6=-2时，c^b--18,ab2=12,此时/〃〈。/，则A错误.

因为。〉他|〉0,所以。>6,且aZ?wO,所以1T>0,所以‘Y〉」-,则B正确.

当a=2,6=—1时，a3=8,Z?3=-l,此时。3〉尸,则c错误.

当a=2,b=l,c=3时，a—c=—l,c—b=2,此时a—c<c—6,则D错误.

4.A设｛a“｝的公比为q,则S3=/+%+%=(1+q+/)%=加%.

因为%70,所以1+q+/=〃？.

由加=7,得l+q+/=7,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.

由q=2,得加=7,贝ij“加=7”是“{4}的公比为2”的必要不充分条件.

5.B由题意可得0<a<1<6,b=—,则4a+b24,当且仅当4a=6=2时，等号成立.故4a+6的最

a

小值为4.

6.A如图，以Z为原点，AB,式的方向分别为x,夕轴的正方向，建立直角坐标系，设45=1,则2(0,0),

5(1,0),C(0,l),故方=(1,0),4=(0,1).

作。尸，/3,交N8的延长线于点设|万|=1,贝力丽|=|丽|=1,

所以。(2,1),所以诟=(2,1).因为力=xl拓+y4，所以x=2j=l,则x—y=l.

7.B因为xe[0,8],所以四x—二e.当xe[0,l)时，sin|-x--|<0；当xe(l,7)时,

6666166/

.|7171|八_crrt_L.(兀兀)八m、r.(兀71|/7

sinI——I>0；当xw(z7,8]时，sin(不x—J<0.因为sin|zx——+bx+c)20对x£[0,8]恒

1+7=--,

成立，所以1,7是ad+bx+c=o的两根，且。<0,则<a故6=-8。〉0,C=7(2<0,

1x7=-

a

b—c——15Q,b+c=—a>0.

8.D由题意可得/'(x)=(x+l)e'^g(x)=/'(x),则g'(x)=(x+2)ex,当x<—1时，/(x)<0,当

x>—1时，g'(x)>0,/'(x)单调递增.因为/'(0)=l,所以/'(x)=(x+l)e、=l,得x=0,此时2(0,3),

故M0mm=3=3E-

9.ABD当%=〃-7时，｛4｝是递增数列，此时代｝不是递增数列，则A错误.当4=-〃+12时，｛an｝

是递减数列，此时｛S,｝不是递减数列，则B错误.由｛an｝是递增数列，得也｝是递增数列，且包〉0,则｛方｝

是递增数列，故C正确.由｛4｝是递减数列，得也｝是递减数列，且〃〉0,贝吗?；｝是递增数列，故D错

误.

10.CD由/(3x+l)为奇函数，可得/(—3x+l)=—/(3x+l),则/(x)的图象关于点(1,0)对称.又

/(x+2)=/(4-x),所以/(x)的图象关于直线x=3对称，则/(x)是以8为周期的周期函数，所以

/(7)=—〃3)=—1,/(5)=/(1)=0./(11)=/(3)=1,/(23)=/(7)=-1,故选CD.

11.ACD因为/(兀+x)+/(兀一x)=sin(兀+x)+sin3(兀+x)+sin(兀一x)+sin3(兀一x)=0，所以/(%)的

图象关于点(兀,0)中心对称，则A正确.

由题意可得f(x)=sinx+sin3x=2sin2xcosx，则

f\—+x=2sin—+2xcos—+x=2cos2xcos—+x

[4J[2[414

，所以/：+x卜/，所以/(X)

jr)

的图象不关于直线x=十对称，则B错误.由题意可得/(x)=2sin2xcosx=4sinx-4sin3x.设

r=sinxe[-l,l],则y=g«)=—4〃+由，故g'«)=—12/+4=—4(3——1).由g”)〉0,得

由g'«)<0得TV/<--二或行-</<1,则g(f)在T,上单调递

(n

减，在--，口上单调递增.因为g(-l)=g(l)=0,

、33,

7

g(7)e-乎,不，即/(x)的值域是—舒，舒，则C正确.当xe曰,彳时，/=sinxe

jr371x/37137711

因为/=sinx在上单调递减，且g«）在,1上单调递减，所以/（X）在1,y上单调递增,

32,4

则D正确.

Qjr

12.—由余弦定理可得，=a2+b2-2abcosC=1+9-2xlx3x—=8,则c=2亚.因为cosC,

433

所以sinC=R2,则△ZBC外接圆的半径R=「qQTT,

J=±,故△48。外接圆的面积为兀R?=3

32sinC24

Cek=5iQ

13.7由题意可得＜左_；5则，"=3,解得左=券n•因为孰小小二？？。。，即C0e2=27品，所

—(„-i)In3

以e2=27,所以手(〃—I)=ln27=31n3,解得〃=7.

14.15由题可知。="，则1+tan?收=l+tan2@=1

2kit

17217cos——

17

则之162162kit金(2hr(2kii

=2ZcosIT>+cos---=-16+〉cos----.

、，2ka£17

k=\1+tan——k=\17

2

1616

2析兀

由2sin^・>cos-=---ssin必如…哈，

17£17k=\1717

16kqr

得>35至二-1,故原式=16—1=15.

h17

4

15.解：(1)因为cosZ=—,且0<4<兀，

5

H^j2«cosC=3ccos24,所以2sin4cosC=3sinCcosZ,

34

所以2x—cosC=3x—sinC,即cosC=2sinC.

55

因为side+cos2c=1,所以sin2c=L

5

因为0＜。＜兀，所以sinC=4^

5

34"9/s

(2)由(1)可知sin4=—,cosA=—,sinC=——,cosC=-----

5555

则sinB=sin(Z+C)=sinZcosC+cosZsinC=3x型+3x@=^

55555

由正弦定理可得,b

sinZsin5sinC

则6=asinB=26,。=竺史0=石，故△ZBC的周长为a+b+c=3+36.

sinAsinA

16.解：(1)由图可知Z=3—(—1)=2,]=3+(T)=],

22

/(x)的最小正周期7=2(24一三]=兀.因为7=包，且①>0,所以①=2.

[1212)\co\

因为/(x)的图象经过点Ijl",所以/Wsin，x]+W+1=3,

即sin1[+9)=l,所以[+°=2E+m(keZ),即0=2E+；(keZ).

因为0<°<兀，所以°.故/(x)=2sin^2x+yj+l.

(2)令/(x)=0,得sin[2x+；]=-g,则2x+；=2左兀一巳(左wZ)或2x+；=2左兀一•(左wZ),

解得工二左兀一；"或左兀一^"(左EZ),故/(x)的零点为左兀一;或E-胃■(kEZ).

(3)由题意可得g(x)=2sin2|X-—|+-+1=2sin|2x+-|+1.

H14.八7兀此：]、[。兀兀4兀

因为0,—,所以2XH—€—,—.

112」6163J

当2x+[=W，即x=[时，g(x)取得最大值g[[]=3；

当2x+[=g,即x=^|时，g(x)取得最小值g[^|]=l—

故g(x)在0,^上的值域为[1-百,3].

皿/八E、r"、1X3"LL…、[X32r9。3。

17.解：(1)因为/(x)=—，所以/(2-工)=^~^=—：---=-----

3、+332一、+339+93尤+3

1x3”3a

则/(x)+/(2—x)=+-------=a.

3、+33"+3

又Iog63+log612=log636=2,所以/(1。863)+/(108612)=。，从而a=2.

0xz2%zz

(2)由(1)可知/(x)=§±=2—Jr1]，显然/(x)在R上单调递增.

因为/(0)=g,所以由2/，+3,_1〉0,可得/12+3》)〉/(0),

则x2+3%>0,角军得x<—3或x>0,

故不等式2/(X2+3X)-1>0的解集为(-oo,-3)U(0,+oo).

18.解：(1)当a=0时，f(x)=21n(x+1)-x2-2x,其定义域为(-1,+co),

则f'(x)=-2x-2=*—2x=fl+2).

')x+1x+1x+1

当xe(—1,0)时，/'(x)>0,/(x)的单调递增区间为>1,0),

当xe(0,+oo)时，f'(x)<Q,/(x)的单调递减区间为(0,+oo),

故/(x)的极大值为/(0)=0,无极小值.

、2—a

(2)设，=x+l,G[1,+OO),g(，)=(a，+2-a)ln/-f+l,，£工+8),贝(Jg")=aln，+------2t+a.

、门7/、，/、Q2―a八—2,2+成+a—2

设〃«)=g«)，则力⑺=-----3~-2=-------3-------.

trr

设加(/)=—2〃+s+a—2,则函数加⑷的图象关于直线/=q对称.

4

①当a<2时，加(/)在工+co)上单调递减.

因为m(V)=2a-4<Q,所以加(7)=-2t2+at+a-2<0在［1,+co)上恒成立，即/(7)<0在工+co)上恒成

立，则〃⑺在［1,+8)上单调递减，即g'«)在工+oo)上单调递减，

所以g'(/)Wg'(l)=0,所以g(。在［1,+8)上单调递减，则g(/)Vg(l)=0,即/(x)W0在［0,+oo)上恒成

立，故a<2符合题意.

②当a>2时，加⑷在［1,+00)上单调递减或在［l,+oo)上先增后减，

因为加(1)=2。—4〉0,所以存在/0〉1,使得加«o)=O.

当时，>0,即/«)〉0,所以g'(。在(1,办)上单调递增.

因为g，⑴=0,所以g'(/)〉0在(1,%)上恒成立，所以g⑶在(1,0)上单调递增，则g(%)>g⑴=0,故

a>2不符合题意.

综上，a的取值范围为（-oo,2].

19.解：⑴因为%=2〃一3,所以%+!=2〃一1,所以a,+i—%=2.

因为q=-1,所以｛%｝是首项为-1,公差为2的等差数列,

S_4n2-4〃_4〃-4

贝2〃，所以$2"=4"—4〃，所以2n

2

Snn-2nn-2

4〃一4

因为