对数与对数函数【12类题型】-2025年高考数学复习突破（新高考专用）

热点专题2-5对数与对数函数

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年II卷第8题，5分从近四年的高考情况来看，对

2024年北京卷第7题，4分数运算与对数函数是高考的一

个重点也是一个难点，常与二

2024年天津卷第5题，5分

次函数、称函数、相数函数、

2023年北京卷第11题，5分(1)对数的概念及运算性质

三角函数综合，考查数值大小(2)对数函数的图象

2023年I卷第10题，5分

的比较和函数方程问题.在利(3)对数函数的性质

2022年I卷I卷第7题，5分用对数函数的图像与性质应用

上，体现了逻辑推理与数学运

2022年浙江卷第7题，5分

算素养.

模块一、热点题型解读(目录)

【题型1］指数对数混合运算

【题型2】换底公式的应用

【题型3】对数函数的图象及应用

【题型4】对数函数过定点问题

【题型5］指对幕比较大小

【题型6】解对数方程或不等式

【题型7】对数函数模型的实际应用

【题型8】对数型复合函数的单调问题

【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题

【题型10］对数型复合函数的奇偶性问题

【题型11］反函数问题

【题型12］对数函数的综合问题

模块二1核心题型•举一反三

【题型1】指数对数混合运算

基础知识1

1、对数计算公式

(1)同底对数加减运算：logaM+logaN=loga(A/N)；logaM-logflN=logfl一

(2)底数和真数是乘方数时：logbn=一logZ>

amfl

(3)对数恒等式：/呜*=*

,,1

(4)倒数式：^ogab=------

k)g〃a

2、对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用赛的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使赛的底数最

简，然后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真

数的积、商、森再运算.

(3)指对互化：於=汽06=108〃7^3>0,且"1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中

应注意互化.

1.化简下列各式：

⑴41g2+31g5-lgg；

3?

1Ofo3

(2)21og32-log3—+log38-5.

【解析】⑴原式

5

(2)A=2log32-(5log32-2)+3log32-3

—2log2—5log2+2+3log22—3——1.

【巩固练习1】化简(1。862)2+1。862-1”63+21。863—6喀2的值为()

A.-log62B.-log63C.log63D.-1

【答案】A

【解析】(1。862)2+10862」隼63+21。863-6睡62=10862(10862+1隼63)+21。863—2

=log62+2log63-2=2(log62+log63)-log62-2

=2-log62-2=-log62

【巩固练习2］求值

⑴log.32-log2^--log31-log51

oy

7

(2)Igl4-21g-+lg7-lgl8

3

(3)log2(log232+logi二+log436)

24

(4)(log2l25+log425+log85)(log1258+log254+log52)

【答案】(1)-10;;(2)0;;(3)3;;(4)13

【解析】(1)原式=10g262510g25T10g32-310g53-2

=jx(-2)log25x(-3)log32x(-2)log53=-10xlg|x^|x^J=-10；

6lg2lg3lg5

(2)原式=lg(2x7)-2(lg7-Ig3)+lg7-lg(32x2)=lg2+lg7—21g7+21g3+lg7—21g3—lg2=0；

33

⑶原式=log?(5+log『w+log?,6?)=log2(5-log2-+log26)=log,(5+log28)=log28=3;

(4)^<=Mlog25+log25+|log25j(31og52)=y-31og521og25=13.

【题型2】换底公式的应用

基础知识

..,log

换底公式：l°g'o=\(a>0,且aWl;c>0,且cWl;b>0).

alog,"

2.已知3"=2,3"=5,贝1Hg2=•(用。，。表示)

【答案】

【解答】解：因为3"=2,3〃=5,

所以a=log32,b=log35,a+/?=log310,

clogo2a

所以/Tg2=G=R.

故答案为：-^―

a+b

3.已知7"=3,log72=&,则log4948=，（用a,b表示）

【答案】空子

2

【解析】因为7"=3,所以log73=a,

44

又log72=6,所以Iog4948=log7,(3x2)=^log7(3x2)

4

=1(log73+log72)

=1(log73+41og72)

=*+46).

」,131

4.已知2工=3'=4==6,则一+—+—=

xyz

【答案】3

【解析】依题意，x=log26,y=log36,z=log46,

131131

则一+—+―=----+-~-+----=log62+31og63+log64=log6216=3.

xyzlog,6log36log46

【巩固练习1】设lg2=a,lg3=b,

（1）用含。，6的式子表示logsl8,形式为.

（2）用含。，匕的式子表示log630,形式为.

a+2b/_、b+1

【答案】（1）k⑵0

a+2b

【解析】（1）

1g5lg(10<2)lgl0-lg2lgl0-lg21—ci

。

⑵i1呜3o。n=1叫18=l置g30=l竟gl0+幸lg3=小b+1

32

【巩固练习2】设2*=3丁=72,求一+一的值.

xy

【解答】依题意有％=log272,y=log72,-=log2,—=log3,

3%72y72

32一

—I—=3log^2+21og723=log^28x9=1

【题型3】对数函数的图象及应用

基础知识

对数函数的图象(底大图低)

a>l0<a<l

yy

1X=1

；y=logaX

图象\：(l，0)

0

0Z(i,o)，

:Toga4

定义域(0,+0))

值域R

过定点过定点(1,0),即x=l时，y=0

性质

当0<x<l时，yVO;当OVxVl时，y>0;

函数值的变化

当x>l时，y>0当x>l时，y<0

单调性是(0,+oo)上的增函数是(0,+oo)上的减函数

方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、

平移、对称等变换得到，当。>1时，对数函数的图像呈上升趋势；当0<。<1时，对数函数的图

像呈下降趋势.

5.已知函数①y=logor；②y=logZzx；③y=logcx；④y=logiZr的大致图象如图所示，则下列不

等关系正确的是()

@^=log^x

A.Q+CVZ?+〃B.a-\~d<b-\-c

C.Z?+cV〃+dD.Z?+d<〃+c

【答案】A

【解析】解析：由已知可得。则b+d>a+c,故A正确，D错误；又

〃+d与。+。的大小不确定，故B,C错误.故选A.

6.函数/(x)=(4-/)山|f|的图象是()

【答案】B

【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.

(4-x2)lnx,x>0

【详解】解：/(x)=(4-jc2)ln|-x|=<

(4-x2)ln(-x),x<0'

因为/(r)=/(x),

所以f(x)是偶函数,故排除AD,

当x>0时，令f(x)=O,得x=l或x=2,

当Ovx<l或x>2时，f{x)<0,当l<x<2时，>0

7.已知函数7(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,+a))C.(0,1]D.[1,+oo)

【答案】D

【解析】/(九)的图象是由y=lnx的图象向左平移a个单位所得.

y=lnx的图象过(1,0)点，函数为增函数，因此aNl.故选：D.

【巩固练习1】(多选题)(2024.河南信阳•模拟预测)函数/(x)=log“W+l(0<<1)的大致图象不

可能为()

【答案】BCD

【解析】函数〃x）=log“忖+1（0<4<1）的定义域为{x|xwO},

因为/（T）=logJX+l=/（X）,所以函数/（X）为偶函数，

当xe（O,+8）时，/（x）=log0x+l（0<a<l）为减函数，且过定点（1,1）,

故函数/（元）=108“忖+1（0<口<1）的大致图象不可能为BCD选项.

【巩固练习2】已知函数"x）=log“（x-b）（a>0且awl,a,b为常数）的图象如图，则下列结

论正确的是（）

A.a>0,b<—lB.a>0,—1</?<0C.0<a<l,b<—lD.0<«<l,—1<Z?<0

【答案】D

【解析】因为函数〃%）=loga（x-，）为减函数，所以Ovavl

又因为函数图象与％轴的交点在正半轴，所以x=l+Z?>0,即5>-1

又因为函数图象与y轴有交点，所以匕<0,所以一1</?<0,故选：D

【巩固练习3】已知函数〃x）=|lgx|,若Ovavb且/（〃）=/㈤，则0+2）的取值范围为.

【答案】（3,收）

【解析】画出/（九）=怛尤|的图象如图:

叫

Oa\bx

-0<a<b,且/（〃）=/（》）,

.•.|lga|=|lg4且Ovavl,b>\,

2

.-.-lga=lgZ?,即必=],：.y=a+2b=a+—,«G（0,1）,

2

由图象得了=。+,在（0,1）上为减函数，

.-.y>l+2=3,

a+2〃的取值范围是（3,+oo）.

故答案为：（3,+oo）.

【题型4】对数函数过定点问题

基础知识

对数函数过定点（1,0）,即x=l时，y=0;

函数/（元）=108°（彳一6）+£1过定点伍+1,0）

8.函数y=log“x+l（0>0且awl）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】C

【解析】因为对数函数y=10ga%（a>0且4H1）恒过定点（1,0）,

所以函数y=iog“x+i（。>0且。工1）的图象必过定点（1,1）.

9.（2024.安徽安庆・模拟预测）已知函数/（x）=log2（依+6）（。>08>0）恒过定点（2,0）,则；的

ab

最小值为（）.

A.2夜+1B.272C.3D.拒+2

【答案】A

【解析】由题意可知2a+Z?=l,

.b1b2a+bb2a._lb2a._rr,

则n一+—=—+-----=—+—+1>2--------+1=242+1,

ababab\ab

当且仅当〃=*变，6=后—1时，

2

~+~的最小值为2女+1

ab

【巩固练习1】已知函数/（%）=1+loga（2x-3）（a>0,aW1）恒过定点（血,九），则m+九=（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】令2%-3=1,即可求解/(%)恒过定点(2,1),进而求解.

【解答过程】令2%-3=1,解得％=2,此时f(2)=1+logal=1,

所以f(%)恒过定点(2,1),则m=2,九=1,

所以771+72=3.

【巩固练习2】已知直线y=：nr+2w经过函数〃x)=log“(x-1)+2图象过的定点(其中根,“均大于

0）,则工+工的最小值为（）

mn

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因为f（2）=log“（2—l）+2=log“l+2=0+2=2,所以函数/（x）=log.（x-l）+2图象过的定

点为（2,2）,

招■其代入直线方程y=如+2〃得2=2m+2〃，即机+〃=1,

又机,〃>0,

~11/\（11、团几、八团儿„

所以—I—=（m+n\\—I—=2d----1—>2+2./--------=4,

mn\mnJnmynm

rvjyi111

当且仅当丝='即m=〃=—时，等号成立，故一+—有最小值4.

nm2mn

【巩固练习3】函数丁=1084%+优一1+2(。>0且"1)的图象恒过定点(左力)，若加+〃=/?-左且别>0,

n>0,则电士画的最小值为()

mn

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

1-1

［解析］当x=］时，j=logfll+a+2=3,

所以,函数y=log«x+a'T+2过定点（1,3）,得左=1,6=3,

所以，m+n=3-l=2,

因为m>0,〃〉0,

9n+m911+〃）=可10+电+吗/（10+2拘=8,

所以,--------=—।—=—31

mnmn2\mn21m几）2、'

9〃m

即加=。，"=』时

当且仅当,机n等号成立,

22

m+n-2

“9〃+机，，-，心，

所以，------的阪小值为8.

mn

【题型5】指对幕比较大小

基础知识

1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法.

2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1

例1：log36和log48（倍数一致）

简析：Iog36=l+log32；log48=l+log42,由图像可知Iog32>log42

例2：log35和log46（差一致）

简析：k)g35=l+log3g；log46=1+log4,由图像可知Iog3§>log4：

3

10.设Q=log23,b=0.3°2,c=3,则()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

3-2

(解析】•*,c=—=log22=log2272<log23=a,

Z?=0.3°2<0.3°=l,

则b<c<a

11.=log32,Z?=ln3,c=log23,则()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】因为〃=log32vk）g33=l,b=\n3>lne=l,c=log23>log22=1,

又由对数函数的性质：当x>1时，底数越大，图像越低，可得Iog23>ln3,

所以故选：D.

【巩固练习1](2024・天津・二模)设〃=皿力=1.3。\0.9'=1.3,则〃也。的大小关系为()

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

l233

【解析】丁log23>log?我=log222=—9：.a>—,

33

•.•0<1.309<1.3<-,/.0<Z?<-,

22

c

,/0.9=1.3,/.c=log091.3<log091=0,

/.c<0,:.c<b<a.

【巩固练习2】已知〃二($"Z?=(1)3,c=logz|，则〃，b,c的大小关系是(

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

c=\og1-<log21=0,

523

则a,b,。的大小关系为cvavZ?

【巩固练习3】已知。=log62,b=log124,c=log186,则()

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

(解答］解：由对数运算公式得，!=log,6=1+log23,y=log412=1+log43,L=log618=1+log63,

abc

log23>log43>log63,:.c>b>a.

故选：A.

【巩固练习4】设a=O203,b=log34,c=log45,则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】先根据函数单调性得到av1,b>l,c>lf对"c利用换底公式变形后作差，结合基本不等

式，得到从而得到答案.

【详解】因为y=0.2尤单调递减，所以a=0.2°3<0.2°=1,

又y=log3%与y=log4r均单调递增，故b=log34>log33=1,c=log45>log44=1,

#»7iz.In4i_In5

其中八幅4=司,c=log45=—

ln4ln5h?4-In3-ln5

其中如3>0,如4>0,故ln3-ln4>0,

而一启-—In3-ln4-

(In3+ln5丫fin15?

其中In3-ln5<<畔卜Y4,

„ln4In5In24-ln3-ln5八

故--------=------------->0,

In3In4In3-ln4

~」n4In5

所以--->---,即故Q<CV>.

In3In4

【题型6】解对数方程或不等式

基础知识

【方法技巧】

(1)对于形如log。/(x)=〃的形式,利用b=logfla转化；对于形如(log“xf+B-logax+C=Q

的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.

(2)解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个

不等式即可.

12.方程log?x的解为

【答案】72

【解析】方程log2X=1■，化为：x=2；=0

13.设log“g<l(0<a<l),则。的取值范围是()

A.(|,1)B.(0,1)C.(0,|)D.(0,|]

【答案】C

222.2

【解析】由logq]<l,得：loga-<logaa,因为0<avl,所以取交集得：0<a<].

2

所以a的取值范围是(0,§),故选：C.

14.不等式27,+710g5（36x+1）<23的解集为

【答案】H'l)

【解析】设函数/(力=27%+710g5(36X+1),

则应有36x+1>0,解得x>---,所以,/(%)定义域为5+°°

36

又/（］=273+71og5（36xg+l］=9+7x2=23,

所以，由〃x）<23,可得

因为y=27"以及y=71o&（36x+l）均在［一，,+sJ上单调递增，

所以，/（x）=27*+71og5（36x+l）在［-上单调递增，所以，x<j.

i2/12、

综上所述，---v%v—.所以，不等式的解集为-*,彳.

363<363y

【巩固练习1］方程ln（log3%）=。的解是（）

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【解析】Vln(log3x)=0,log3x=e°=1,x=3.

【巩固练习2】已知Iog5［log2（4*）］=0,则x的值为一.

【答案】回

lgI

【解析】由log5［log2（4陞）］=0,得log2（4）=5°=1,所以4成=）=2,

即22庚=2,所以21gx=1,lgx=g,所以x=io《=而.

【巩固练习3］若实数x满足不等式log2，-2x）>log2（x+4）,则实数x的取值范围是

【答案】（Y,-l）u（4,y）

【解析】•.,log2k2—2x）>log2（x+4）,

x2-2x>x+4

X2-2X>0,解得x>4或T<x<—1.

x+4>0

【巩固练习4］已知实数。>0,且满足不等式33“谡>34叫则不等式loga（3x+2）<log“（8-5x）的解

集为

38

【答案】

455

【解析】因为33*2＞3痴+1,所以3a+2＞4〃+1=＞。＜1,而a＞0,则0＜々＜1,于是

3x+2〉0

<8-5x>0=>XG

3x+2>8-5x

【题型7】对数函数模型的实际应用

基础知识

对数函数应用题的基本类型和求解策略

（1）基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析

式，然后根据实际问题求解.

（2）求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代

入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.

15.如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%,那么至少需要将.块这样的玻璃重叠起

来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍.（参考数据：lg2。0.3010,lg3土0.4771.）

【答案】7

【分析】构造不等式（1-10%）"＜；,利用对数运算法则解不等式可求得结果.

【详解】假设需要"块这样的玻璃，则。-10%）“1吗/=-log。/，

:.n>一坨2=。6.6

lg9-lgl0l-21g3

，至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的g.

16.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超

过0.09〃取/〃也.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到

03mg/mL,在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%.那么此

人在开车前至少要休息（）（参考数据：0.301,值3。0.477）

A.4.1小时B.4.2小时C.4.3小时D.4.4小时

【解答】解：设经过x小时，血液中的酒精含量为y,

则y=0.3x（1—25%厂=0.3x0.75”,

由0.3x0.75*,,0.09,得0.75"0.3,

则xlg0.15„lg0.3,

,,c”cZg0.3Zg3-10.477-1523一”

因为/g0.75<0所以.:-----=--------«------------=---=4.184b4.2

6lg0.75Ig3-lg40.477-0.602125'

所以开车前至少要休息4.2小时

【巩固练习1】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是4℃,空气的温度是为℃,经过f

分钟后物体的温度8c可由公式：。二4+0-4）/"求得.其中女是一个随着物体与空气的接触状

况而定的大于0的常数.现有100℃的物体，放在10℃的空气中冷却,5分钟以后物体的温度是40℃，

则上约等于()(参考数据：山321.099)

A.0.22B.0.27C.0.36D.0.55

【解答】解：由题意可得，40=10+(100-10>-5\

■产=1

"3'

lne-5k=,即-5k=-1.099,

,1.099…

k=-------®0.22.

5

【巩固练习2]2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%,则年

我国人口将超过20亿.(1g2»0.3010,1g3«0.4771,1g7»0.8451)

【答案】2037

【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可.

【详解】

由题意，列方程得：

14（l+1.25%f20°8>20

・/I1cue/\尤一20082010

.・.（1+1.25%）>—,

.10

1g

z1-lg7

x-2008>logy==28.7

(1+125%),8141g3-31g2-l

g80

【巩固练习3】我们可以把（1+1%产看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365；而把（1一1%严

看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.利用计算工具计算并回答下列问题:

（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍?

（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍?

1.0产5_11.01]

【解析】（1）0.99365~1099J®1480.7.

一年后“进步”的大约是“落后”的1480.7倍

11.01X

(2)由见_=1()得I=10

0.99x丽

1

=l0g22*«115

l黑1,1.01

0.91g，一lg----

0.990.99

・•・大约经过115天“进步”的是“落后”的10倍.

由口=1。0得［芸［=1°°，尤=福”23。

0.99，I。©果1g—

・•・大约经过230天“进步”的是“落后”的100倍.

%3

由工211=1000得(回］=1000解得X二1.01

0.99，10.99；坨加

.•.大约经过345天“进步”的是“落后”的1000倍.

【题型8】对数型复合函数的单调问题

基础知识

对数型复合函数的单调问题

1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.

2、模板解决步骤

第一步：求函数的定义域.

第二步：将函数分解成内层函数和外层函数.

第三步：判断内层函数和外层函数的单调性.

第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性.

17.函数/(x)=ln，-2x-8)的单调递增区间是()

A.(-00,-2)B.(-co,-1)C.(1,+8)D.(4,+8)

【答案】D

【解析】由题知/(%)的定义域为(-8,—2)U(4,+8),

令方=f—2x—8,则y=ln，，函数单调递增，

当了£(-8,-2)时，，关于九单调递减，/(%)关于1单调递减，

当工«4,+“)时，/关于1单调递增，/(%)关于兀单调递增，

故/(x)的递增区间为(4,+8).故选：D.

18.若函数/(x)=ln(%2—依—1)在区间(1,内)上是单调增函数，则实数〃的取值范围是

【答案】（-a）,0]

【解析】由函数/（%）=1口（％2_以一1）在区间（1,+00）上是单调增函数，

只需函数y=X2-QX-1在（L+C0）上是单调增函数，且当%>1时％2一㈤;_1>0恒成立,

[£<1

所以满足J2'解得々<0.

1-«-1>0,

【巩固练习1】函数/（x）T°gKf2+3x+4）的单调增区间为（）

【答案】C

【解析】由-炉+3%+4>0=>-1vx<4,

3

二次函数y=-x2+3x+4的对称轴为：1二万，

所以二次函数的单调递增区间为1-1,1],递减区间为,

而函数y=i°gix是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知:

2

函数7'（x）=logj（f2+3x+4）的单调增区间为停,4）,故选：C

Uf。）在定义域上是增函数，则左的取值范围是，）

【巩固练习2】已知函数〃x）=

A.（3,+oo）B.[3,+8）C.（l,+oo）D.。,+8）

【答案】B

/、x+l（x<0）

【解析】因为/（%）=</）小在定义域上是增函数，

log3+>0）

当光<0时〃兀）=兀+1单调递增且40）=1,

当x>0时/（x）=log3（x+左）也单调递增,

所以l〈log3（0+k），即log3左210g33,

所以上23,即左c[3,+8）；故选：B

【巩固练习3】（2024•重庆•模拟预测）若函数=In（d-2办+3可在[1,+8）上单调递增，则实数a

的取值范围是（）

A.(—oo,l]B.(—1,1]C.[—1,+a)D.[l,+8)

【答案】B

【解析】因为函数〃x)=ln(%2_2ov+3a)在[l,+8)上单调递增，

-2〃<]

所以彳2一,解得—1CQW1.

1—2a+3ci〉0

【巩固练习4】若函数〃尤)=l°g产l°g式奴)在",+/上单调递减，则实数。的取值范围是.

【答案】[16,+8)

【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解.

[详解】/(x)=-log2xlog2(ar)=-log2x(log2x+log2a)=-(log2x)--log2a-log2x,

令，=log2xe[-2,+8),为增函数，

所以g(。=一产一(log?a)t,所以g⑺=一一一(log?a)Z■在fe[-2,+oo)单调递减，

所以k=-粤@4-2,即Iog2a24,解得心16

【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题

基础知识

对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的

问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的

构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化

归思想的应用.

19.函数〃x）=lg（4'-2句+11）的最小值是（）.

A.10B.1C.11D.IgU

【答案】B

【解析】i^t=4x-2x+1+ll,则y=lgf,

因为/=4*-2*+1+11=（2'）2-2.2、+11=（2*_1）2+10仁10,

所以y=lgt21glO=l,所以f（x）=lg（4*-2蓟+11）的最小值为1,故选：B

20.已知函数/'（x）=log3（—尤？+4尤+a—1）的最大值为2,贝!|a=.

【答案】6

【解析】因为函数"x）=Iog3（-x2+4x+a-l）由y=log3fj＞。与/=—尤2+4X+°—1复合而成，

而y=log3r在定义域上单调递增，所以当r=-x2+4x+a-l取最大值时，函数yWogjt取得最大值，

由二次函数的性质易知当x=2时，/„^=。+3,此时/（x）1mx=logs（。+3）,所以log3（a+3）=2,解

得a=6.

【巩固练习1]已知函数〃x）=lg（尤2+l）,xe[T3],则/（x）的值域为（）

A.[0,+⑹B.[0,1）C.[Ig2,l]D.[0,1]

【答案】D

【解析】因为xw[T,3],所以f+1目1,10],

所以〃尤）=lg（尤2+1》[0,1],故选：D

【巩固练习2】若函数〃x）=l°gl（办jx+2）的最大值为0,则实数°的值为,

2

【答案I

【解析】因为/（X）的最大值为0,所以M%）="+x+2应有最小值1,

a>0

因此应有＜:8a-l1解得〃=

——=1,4

L4a

【巩固练习3]（2024•全国•模拟预测）已知函数/■（x）=log°（x2-办+1）在区间'J上有最大值或

最小值，则实数。的取值范围为（）

A.B.加U（l，2）C.\/,（1，4）D.刖U（l,2）

【答案】B

【解析】要使函数/（x）在区间上有最大值或最小值，

由于y=%2-ax+l开口向上，

故需函数丁=/一以+1在区间上有最小值，且y＞0.

a>0a>0

aw14W1

该函数图像的对称轴为直线x=q,所以！<@<21

解得，—<〃<44,

2422

—2<〃<2

所以;<"2,且即实数0的取值范围为［；/U(1,2).

【题型10］对数型复合函数的奇偶性问题

基础知识

常见指对型函数奇偶模型

⑴*―7申二(I

y=a+a=>偶[tXaVl.J

/c、优_1_p.优+1_p.a%—bx%

⑵y=-----或------或-------n奇

ax+lax-lax+bx

/、ix-mx+m长

⑶y=log,-----或log.------n奇

x+mx—m

(4)y=log。(Jb?无2+1土bx)n奇

(5)y(x)=k)ga(a"+l)+(-gmx)是偶函数，如/'(x)=ln(e*+1)-gx,g(x)=log3(9'+l)-x

21.设函数〃力=坨(/+1),则使得〃3x-2)>〃x-4)成立的x的取值范围为()

A.B.UC.D.(-oo,-l)u^-,+oo

【答案】D

【解析】方法一：v/(%)=/g(x2+l)

.•・由〃3x—2)>/(x—4)得lg[(3尤一2『+1]>lg[(x-4『+1],

r\n3

则(3x-2)+1>(x-4)+1,解得x<-1或无>3.

方法二：根据题意，函数〃0=四卜2+1),其定义域为R,

有/(-x)=Z^(x2+l)=/(x),即函数〃尤)为偶函数，

设/=尤2+1,则〉=四匕

在区间［0,+8)上，£=/+1为增函数且此1,y=侬在区间［1,+8)上为增函数,

则〃X)=/g(x2+l)在［0,+8)上为增函数，

/(3x-2)>/(x-4)^/(|3x-2|)>/(|x-4|)^|3x-2|>|x-4|,

3

解得尤<-1或x>5，故选：D.

22.函数〃x)=log2(4"+l)-尤的部分图像大致为()

【分析】分析函数/(无)的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对任意的xeR,4x+l>0,则函数/(x)的定义域为R,

因为"X)=log2(#+1)-X=log2(平+l)-log22^=log2=log2(2'+2-'),

xA

/(-x)=log2(2-+2)=f(x),则函数〃x)为偶函数，排除CD选项，

又因为/(尤)=log2(2,+2一工"log?(2也工-2T)=1,当且仅当x=O时，等号成立，排除B选项.

【巩固练习1】己知/(*)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，，(尤)=log式-尤)-2、

⑴求〃0)-〃2)；

⑵解不等式/(/+1)>/(10).

【答案】⑴一3

4

(2){%|-3v%v3}

【分析】(1)根据函数奇偶性和部分解析式即可求出/(0)=0,/(2)=--,则得到最后答案；

(2)根据复合函数单调性函数奇偶性即可得到f(x)在(0,+e)上的单调性，则得到不等式，解出即

可.

【详解】(1)因为/(X)是定义在R上的奇函数，

贝”/(2)=_/(_2)=—(log22_2-2)=_1,/(0)=0,

则H。)一〃2)=0+二“

(2)当x<0时，/(x)=log,(-x)-2\因为y=log2尤为单调增函数，

根据复合函数单调性知y=log2(-X)为单调减函数，又因为y=-2、为单调减函数,

所以函数/(尤)=log2(-x)-2'为单调减函数，

又因为“X)是定义在R上的奇函数，

所以/(%)是在(0,+。)为单调减函数，

因为/(f+1)>/(10),

所以尤2+i<io,解得—3<x<3,

所以不等式的解集为{x|-3<x<3}.

【巩固练习2】设函