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文档简介

线性微分方程组的一般理论一阶线性微分方程组:称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.非齐线性微分方程组.一齐次线性微分方程组1叠加原理定理2证明:则有所以2函数向量组线性相关与无关证明:例1证明:函数向量组在任何区间都是线性相关的.证明:要使例2证明:函数向量组3函数向量组线性相关与无关的判别准则(1)Wronsky行列式由这n个向量函数所构成的行列式称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式(2)定理3(3)定理4注1:注2:(4)定理5(5.15)一定存在n个线性无关的解.证明:由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在满足初始条件且4通解结构及基本解组定理6推论1(5.15)的线性无关解的最大个数等于n.基本解组:为(5.15)的一个基本解组.注1:(5.15)的基本解组不唯一.注2:(5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.注3:由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.5解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵.则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵.基解矩阵----以基本解组为列构成的矩阵.由定理5,6得由定理3,4得注1:行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关.如矩阵注2:例3验证是方程组的基解矩阵.例4验证是方程组基解矩阵,并求其通解.二非齐次线性微分方程组1非齐线性微分方程组解的性质性质1性质2性质32通解结构定理定理7这里C是确定的常数列向量.证明:由性质2知,即这里C是确定的常数列向量.3常数变易公式则(5.15)的通解为其中C是任意的常数列向量,下面寻求(5.14)形如的解,把(5.24)代入(5.14),得(1)一阶线性微分方程组的常数变易公式从而反之,可验证(5.26)是方程组(5.14)满足初始条件的特解.因此,(5.24)变为定理8(1)向量函数是(5.14)的解,且满足初始条件(2)方程组(5.14)的通解为注1:注2:公式(5.26)或(5.27)称为(5.14)的常数变易公式.例5求方程组的通解.解:由例4知是对应齐次方程的基解矩阵,由(5.26)得方程的特解为所以,原方程的通解为例6试求初值问题的解.解:由例3知是对应齐次方程的基解矩阵,故方程满足初始条件的解是(2)n阶线性微分方程的常数变易公式则(5.7)对应齐次方程的基本解组为从而其基解矩阵为推论3的基本解组,那么非齐线性方程的满足初始条件解为公式(5.29))称为(5.28)的常数变易公式.方程(5.28)的通解可表为但是而通解是例7试求方程的一个解.解:易知对应齐线性方程的基本解组为由(

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