构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第12讲构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系

（3类核心考点精讲精练）

12.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

构造函数、用导数判断或证明比较指数幕的大小

2022年新I卷，第7题,5分

函数的单调性比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-12分

【备考策略】1会结合实际情况构造函数

2能用导数证明函数的单调性

3能求出函数的极值或给定区间的最值

4能结合单调性进行函数值大小比较

【命题预测】比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想

方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得

到了高考和各类大型考试命题老师的青睐和追捧。需综合复习

知识点1构造函数的重要依据

知识讲解

1.构造函数的重要依据

(1)[/(X)土g(x)]'=/'(x)土g'(x).(可推广到多个函数)

(2)[/(X)•g(x)]'=/'(x)g(x)+g'(x)/(x).(可推广到多个函数)

(3)[■--]=--------7--；-------

g(x)g-(x)

2.常见构造类型

(1)若条件是/«应0)+8口)/(%)30,可构造尸(%)=，(》应0),则/(X)单调递增;

⑵若条件是/'(x)+/(x)NO,可构造尸(x)=e"(x),则尸(x)单调递增：

(3)若条件是矿(x)+件(x)NO,可构造％x)=#(x),则〃(x)单调递增：

(4)若条件是/'(X)—/(x)N0,可构造"x)=£甲，则尸(x)单调递增；

e

(5)若条件是xf\x)+nf(x)>0,可构造尸(x)=xnf(x),

则尸(乃=》2口6(x)+〃/、(x)]N0,若x，i>0,则尸(x)单调递增；

(6)若条件是/'(x)g(x)-/(x)g'(x)20,则构造尸(x)=[今f(xT)，

g(x)

则尸⑺J(x)g(x)7(x)g'(x)20,说明爪X)单调递增

g(x)

3.常见的指对放缩

]X

ex>x+1,ex>ex,1——<Inx<x-1,lnx<—

xe

4.常见的三角函数放缩

.(兀)

smx<x<tanx,xGI0,-1

5.其他放缩

Inx<-\[x—~r=(x>1)Inx〉-\[x--<=(0<x<1)

Inx<—(x--)(x>1)Inx>—(x--)(0<x<1)

2x,2x,

1313

lnx>—x9+2%—(x>1)Inx<—x9+2x—(0<x<l)

22,22

2(x—1),、2(x—1)

1Inx>----------(x>1)1Inx<----------(0<x<1)

x+1,x+1

放缩程度综合

Inx<~~—<--x2+2x--<x-1(0<x<1)

x+122

1--<--x2+2x-<Inx<-\[x—~r=<—(x—)<x-1(1<x<2)

x22x+1«2x

3+2-<Inx<-\[x—y=<—(x—)<x—l(x>2)

22xx+1Vx2x

方法技巧

I构造相同函数,比较不同函数值

2构造不同函数,比较相同函数值

3.构造不同函数,比较不同函数值

这个时候，不等式放缩就是首选之道了!

4.先同构，再构造，再比较

当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变

形）出一个函数之后再来比较大小.

考点一、构造函数利用单调性判断函数值大小关系

典例引领

1.(2022•全国•统考高考真题)iSa=O.leol^=1,c=-ln0.9,则()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】构造函数〃x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定。,6,C的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

设/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为/■'(>)=；1------1=---，

l+x1+X

当、£(一1,0)时，f\x)>0,当%£(0,+8)时/(%)<0,

所以函数/(%)=ln(l+X)-X在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增,

所以/(》</(0)=0,所以111；一<<0,故!>ln¥=-ln0.9,即b>c,

99999

所以1所以lnQ[+717<。，故Q又<--。，所以上1厘—。<上1，

10101010109

故。<b,

(2—11ex+1

设gOO=尤ex+ln(l-x)(0<x<1),贝Ug(x)=(x+1)e"+—1-="x-------——,

令h(x)=ex(x2-1)+1,h\x)=e"(x2+2x-1),

当0<x<也-1时，h'(x)<0,函数〃(x)=e%x2-1)+1单调递减，

当血-1<X<1时，函数3)=4/一1)+1单调递增，

又“(0)=0,

所以当0cx<血-1时,3)<0,

所以当O<x<0-1时，g'(x)>0,函数8(%)=工^+111(1-工)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0/e°』>-ln0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=O,le01,b=，c=-ln(l-0.1),

1—0.1

(J)Intz—lnZ?=0.1+ln(l—0.1),

令/(x)=x+ln(l-x),xG(0,0.1],

故/(x)在(0,0.1］上单调递减,

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-\nb<0,所以a<b；

(2)t7-c=O.leol+ln(l-O.l),

x

令g'W=xe+ln(l—x),xG(0,0.1],

则g'(x)=xe，+ex--匚=(l+x)(j)e，_l,

s'，1-x1-x

令Ar(x)=(l+x)(l-x)ex-l,所以k'(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得所)>*(0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

2.(2021•全国•统考高考真题)设a=21nl.01,/)=lnl.O2,C=VH)4-1.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于。与c,b与c的大小关系,

将0.01换成x,分别构造函数/口)=2111(1+才)-7^+1田(m=111(1+2耳-疝彳+1,利用导数分析其在0

的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合式0尸0,g(0)=0即可得出。与c,6与c的大小关系.

【详解】［方法一I：

a=21nl.01=lnl,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>In1.02=b,

所以；

下面比较。与的大小关系.

/\\I-------/\922(Jl+4x-1-x)

iB/(x)=21n(l+x)-VlZ4^+l,贝|〃0)=0,f'(x)=———T—=-^----T=1'

1+xJl+4x(l+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+x『=2X-X2=x(2-x)

所以当0〈x<2时，l+4x-(l+x『>o,gpVl+4x>(l+x),/'(x)>0,

所以/(%)在［0,2］上单调递增,

所以〃0.01)>/⑼=0,BP21111,01><04-1,即〃>c；

，(x)=^______22(VT747-1-2X)

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,贝iJg(O)=O,

匕l+2xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+2无)~=-4/,在x>0时，l+4x-(l+2x)~<0,

所以g［x)<0,即函数g(x)在［0,+oo)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0,即lnl.02<VH值一1，即兴盘

综上，b<c<a,

故选：B.

［方法二］:

4/(x)=ln^—----x-l(x>l)

/(x)=-£D-<0,即函数在(1,+oo)上单调递减

')x2+l

/(Vl+0.04)</(l)=0,.-.Z)<c

令g(x)=21n---j-x+l(l<x<3)

即函数g(x)在(1,3)上单调递增

g(Jl+0.04)(g(l)=0,;.a)c

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，

利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

即0唧(

2

1.(2024・吉林长春•模拟预测)已知a=e°」-11=5,c=lnl.l,则()

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.

【详解】设/(x)=e，-x-l,r(x)=ex-l,

xe(-oo,0)时，f\x)<0,/⑺为减函数，

xe(O,+8)时，r(x)>0,/(x)为增函数，所以/(x)N〃0)=0,

/(0.1)>0,即

11—V

设g(x)=lnx-x+l,g'(x)=——1=---,

XX

xe(O,l)时，g'(x)>0,g(x)为增函数，

xe(l,+co)时，g'(x)<0,g(x)为减函数，

所以g(x)(g⑴=0,g(l.l)<0,即Inl.lcO.l,所以a>c.

r\]4/2

设〃(x)=ln(x+l).......-,“(无)=-----------^-=7------77------^->0,

、'7x+2x+1(尤+2)(x+l)(x+2)

2

/x)为增函数，所以//(0.1)>力(0)=0,所以lnl」>三，即c>6.

故选：D

2022I

2.(2024・全国•模拟预测)已知痂，6=ln2024-ln2023,c=sin——,贝|()

”e2023

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】构造函数/'(x)=e*-x-l及函数g(x)=x-sinx,结合函数的单调性可比较。与c,构造函数

/z(x)=sinx-ln(x+l),结合函数的单调性可比较b与c,即可得解.

【详解】令/'(x)=e[x-l,x<0,

■「(X)=丁-1<0在(-8,0)上恒成立，故〃尤)在(-8,0)上单调递减,

故〃x)>〃O)=l-0-1=0,故/「煞20222022

_e_2023-1>0,

2023

一些202211

即e2023>l-^±±=—即a〉

202320232023

令g(x)=%-sinx,则g〈x)=l-cosxNO,故g(x)在定义域内单调递增,

^g||=———sin^—>g(0)=0-0=0,^a>c.

(2023)20232023v7

☆〃(x)=sinx—ln(x+l),0<x<l,

1G•2%、1O

则”(x)=cosx-----1---=1-2sin---------1-->l-2x

x+121+x

(

_111x2+x)(l-x)

>0在(0,1)上恒成立,

21+x2(l+x)

故MH在(o,i)上单调递增，

又/z(O)=sinO-lnl=O,故彳意)>〃(0)=0,

,.1,r2024)I

故+sm------>ln-------,即Hcn>b,

2023{2023)

故有a>c>b.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题关键在于构造对应的函数帮助比较大小，对。与。，可通过构造/(x)=e，-x-l,

从而比较°与盛的大小关系’构造g(x)=x-"nx’从而比较。与毒的大小关系，可得.与0的大小关

系，通过构造〃(无)=sinx-ln(x+l)可比较b与c的大小关系.

(1012^2023(1013Y°25

3.(2024•山西•二模)设,b=侬，则下列关系正确的是()

U011JU012J

A.e2<a<bB.e2<b<aC.a<b<e2D.b<a<e2

【答案】B

L1由题意可得Ina=20231nj(=(2x1011++"、「)、InZ?=2025In——=(2x1012+1)ln(l+-—),构造函数

12x

/(%)=(2x+1)ln(l+-)=(2x+l)[ln(x+l)-lnx](x>1)、h(x)=ln(x+1)---------(x>0),利用导数讨论两个函数的单调性

%x+2

可得。>6、b*,即可求解.

【详解】In«=2023In=(2x101l+l)ln(l+^yj),

ln6=20251n竺竺二(2xl012+l)ln(l+二一),

10121012

设函数/(x)=(2x+1)ln(l+—)=(2x+l)[ln(x+1)-Inx](x>1),

x

贝ljr(x)=21na+l)-21nx+(2x+l)(±-》=21n(l+}-金.(：+!)

X

、Y24-9V则"—<。,

设g(%)=21n(l+x)-----------(0<x<1),

1+x

所以g(x)在(0,1)上单调递减，且g(x)<g(0)=0,即/'(x)<0,

所以/(x)在(1,+8)上单调递减，

则/(1011)>/(1012),即lna>ln6,所以a>b.

2

2x贝"(x)=±一4x

设〃(x)=ln(x+1)---------(x>0)2>0,

x+2(x+2)(x+l)(x+2/

所以〃(X)在(0,+co)上单调递增，且〃(1)>〃(0)=0,

X

21

1—12(2x+l)ln(l+-)-2/•/

即ln(l+l)--^=ln(l+l)——=----------------—=ZWZ£>0,

x1x2x+l2x+l2X+1

---rZ0

X

得了(x)>2,所以/(1012)>2,gp]nb>2,解得b〉。？.

综上，e2<b<a-

故选：B

【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导

数判断单调性，进而比较大小.

4.(2024•安徽•三模)已知a=e"，6=ln(e7t-2e),c=7i-2,则()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=ei-x,利用导数求取单调性可得。、。之间大小关系，构造函数

g(x)=lnx-x+1,利用导数求取单调性可得6、。之间大小关系，即可得解.

【详解】由a=eM3,6=in(e7i_2e),

即a=e("-=ln(e7i-2e)=ln(7t-2)+l,

令=ex-1-x(x>1),

则/'⑺=尸-1>0在(1,+8)上恒成立，

故在(1,+动上单调递增，

则有/(n_2)=6(7尸_(兀_2)>/(1)=0,即a>c,

令g(x)=lnx-x+l(x>1),

11_

贝Ug'(x)JT=—r<0在(1，+⑹上恒成立，

XX

故g(x)在(1,+⑹上单调递减，

贝U有g(7t-2)=ln(rt-2)+l-(7i-2)<g(l)=0,即b<c,

故bv°va.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数/(x)=ei-x、g(x)=lnx-x+1,以比较。、c与b、c

之间大小关系.

11111

5.(2024•安徽芜湖•三模)—,6=ln—,c=—.e11,则()

101011

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】先构造函数〃x)=e;x-l,利用导数证明e">L+i,则

11、

1>±xl1l1010XX

—e,ii+x+1,再构造函数g(x)=ln(x+l)+1xe(0,1)),利用

111111x+llx+1

—+1—+1

10<107

导数求出其单调区间，即可比较瓦C,构造函数/z(x)=/-xe，(O<x<l),利用导数求出其单调区间，即

1—X

可比较a，c,即可得解.

【详解】令/(x)=e，一x-l,贝i]/'(x)=e，T,

令尸(x)>0,贝廉>0,

所以函数〃无)在(0,+/)上单调递增，

所以出/\11

>/(0)=0,即e"〉R+l,

1'1、

1-1记”手-+1

所以。=仃心|>lxl+l

Li

1111—+1

10<107

而X*=ln』1+l,

10

令g(x)=M(x+l)-

2

1Xx-x

则一—+1

(X+IfX+1(x+l)3(X+1)3'

当0vxvl时，gr(x)<0,

所以函数g(“在(0,1)上单调递减,

所以g1<g(O)=O,

即_^Q_X-1^-+1>1O所以c〉b,

—+1—+1W)

io<io)

1

11

令/z(x)=------xex(0<x<1),

1-x

11-：3-x2-xje

贝11"(x)=^7^_(X+1)d=——

(if

令0(x)=x3-x2-x(0<x<l),贝ij0'(x)=3x2-2x-l=(3x+l)(x-l),

当0vxvl时，°'(x)<0,

所以函数0(x)在(o,l)上单调递减，

所以0(x)<°(0)=0,

1-(x3-x2-x)ex

即当Ovxvl时，"'(x)=------1—>0,

(1)

所以函数〃(无)在(0,1)上单调递增,

所以彳A

>〃(0)=0,

1

即」VJe

11,所以a〉。，

1-111

11

综上所述，b<c<a.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：构造g(x)=ln(x+l)-G(0,1))和/z(x)=/匚一xe"(0<x<l)两个函数,

x+i1x+lj1—X

是解决本题的关键.

-,&=21n[sin—Icos±L|ln|,则a,6,c的大小关系是()

6(2024・湖北武汉•二模)设。=+

5I1010J

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】构造函数/'(x)=x-sinx、g(x)=x-ln(x+l)和/!(x)=x-gln(x+l),其中xe(0,l),利用导数得到它

们的单调性即可比较出三者大小关系.

2

【详解】由已知可得b=21n(sin'+cos，=MsJ+cJ

I1010(1010

设/(x)=x-sinx,XG(0,1),贝/'(x)=l_cos%〉0,

所以/(%)=%-sinx在(0,1)上单调递增,

I>/(0)=0,Ep1|>sin1|,所以b=ln[l+sing)<ln(l+g1),

所以/

555

,1y

设g(x)=x-ln(x+l),xe(0,l),贝i]g'(x)=l-----=——>0,

x+1x+\

所以g(x)=x-ln(x+1)在(0,1)上单调递增，

所以gg]>g(0)=0，即!>山(1+口>11111+5也!],

综上a>6,

设7z(x)=x—£ln(x+l),xe(0,l),则〃(x)=l--J='二1,

55x+5x+1

当xe]o,(卜寸，h\x)<0,当时，”(x)>0,

所以〃(x)=x-gln(x+l)在上单调递减，在上单调递增，

所以〃&]<贴)=0,Bpl<|ln^l+^=|ln|,所以a<c,

所以Z?<Q<C

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对b进行合理变形得6=ln(l+sin$,再通过构造函数

/(x)=x-sinx、g(x)=x-ln(x+l)和A(x)=x--|ln(x+l),利用它们的单调性即可比较三者大小关系.

考点二、不等式放缩判断函数值大小关系

典例引领

1.(2022•全国•统考高考真题)设a=0.1e°」,6=g,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

放缩法

因为x+l<e'<L(x<l),

1-X

所以<0.1x-^=』=b,即a<b

1-0.11-0.19

因为Inx<L(x-工)(x>1),

2x

所以c=—ln0.9=ln”<L(W—2)=12_<O,11<。，即c<。

92910180

综上所述：c<a<b,故选：C

3111

2.(2022,全国,统考jWj考真题)已知a=二,6=cos：,c=4sin：,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

ii

【分析】由石c=4tan^结合三角函数的性质可得c>b;构造函数/(XHCOSX+D——1,%£(0,+力),利用导数可

得A>a,即可得解.

【详解】［方法一］:构造函数

因为当工tanx

c1c

故厂故g"所以c*

设/(x)=cosx+^-x2-1,XG(0,+oo),

/'(x)=-sinX+X＞。所以f(x)在(0,+oo)单调递增,

故小口＞/(0尸o,所以cos9-2＞0,

⑷432

所以b＞。，所以。＞6＞Q,故选/

［方法二］:不等式放缩

因为当工£［0，Dsinx＜x,

取1」得：cos—=l-2sin2—>l-2f—=—,故…

848⑻32

4sin；+cos；=VF7sin［；+o］,其中夕，且sinO=^y，cos0=^y

当4sin；+cos；=VT7时，；+0=T

止匕时sin—=cos0=—；=,cos—=sin0=—；=

4V174V17

.114.1.1

^cos-=-=<-==sm-<44sm-,故b<。

47r17Vr1744

所以b＞。，所以。＞6＞Q,故选4

［方法三］:泰勒展开

,几向3110.252,110.2520.254

ixx—0.25,贝Ici———1---------,b—cos—~1-----------1--------，

322424!

.\_

Sln24

A.17।0.250.25、|田,曰7,小斗

c=4sm-=-^—^l-+~>计算得c>b〉Q,故选A.

4

［方法四卜构造函数

因为£=4tan,，因为当x£(0,=］,sinx<x<tanx,所以tan，〉,，即,所以c>b；设

b4<2J446

/(x)=cosx+^-x2-1,xG(0,+oo),/'(x)=—sinx+x〉0,所以/(%)在(0,+8)单调递增，则/(；［〉/(0)=0,所

131

以COS-------->0,所以%>、所以C>b>Q,

432

故选：A.

［方法五卜【最优解】不等式放缩

因为£=4tan^,因为当xe(0,=],sinx<x<tanx,所以tan」>工,即£>1,所以c>6；因为当

b4V2)44b

xe(0，M，sinx<x,^x=^#cos-=l-2sin2->l-2f->|=—,故人。，所以c>6>a.

I2j848(8)32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe[o,])sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

即0唧(

1.(2024•甘肃陇南•一模)若=贝|()

4

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【分析】利用e>2.7,结合募函数的单调性判断得c>6,再构造函数g(x)=e=x-l,推得丁L>e，(O<x<l),

从而推得a>c,由此得解.

【详解】因为e2>2/2>7,所以。=6°2=[2)">7°」=6；

令g(x)=e*-x-l,则g，(x)=e"-l,

当x>0时，g，(x)>0,则g(x)在(0,+动上单调递增，

当x<0时，g，(x)<0,则g(x)在(-8,0)上单调递减,

所以g(x)2g(O)=O,故e>2x+l,

则『--x+l,即4Nl-x,当且仅当x=0时，等号成立，

e

当+BP0<x<1,有>ex,

1-x

从而有C=e0'2<]:2=：=Q；

综上，a>c>b.

故选：D.

【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：

(1)lnx<x-l；(2)ex>x+1.

71_2

2.(2024•辽宁•一模)设。=—,6=2—”，。=1一©'贝|()

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用导数证明不等式e、2x+l,可得6<a,c<。；根据不等式的性质可证得，则c<b,即

可求解.

【详解】对于函数“x)=e，-x-1,/'(x)=e，一1,

令f\x)<0=>x<0,/X%)>0=>x>0,

所以函数f(x)在(-叫0)上单调递减，在(0,+«)上单调递增，

所以〃x)mm=/(0)=0,则/(x)20,即e-x+l.

112222

以6=2-<2—(―+1)=y,c=1—e弓<1—(—―+1)=—.

12--1l~T~2-

由e?<8,得晟<8、2,所以2<彳，则1+―=1+不>2==下>叫

-e3e3Ve3e3

所以即c<6.

所以c<b<a,

故选：B

【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：

(1)利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，

(2)利用中间值"1"或"0"进行比较，

(3)构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.

3.(2024•山东威海,二模)设a=，/>=In1,21,c=10sin,贝。()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.ob>a

【答案】B

【分析】令g(x)=x-sinx,求导可证明x>sinx,进而可得lOsin看<10x焉=(,可判断a>c,令

/(x)=x-ln(l+x)2=x-2ln(l+x),求导可证无<21n(l+x)=InQ+x)?,令无可判得a<6.

【详解】令g(x)=x-sinx,可得g'(x)=l-cosx20,所以g(x)=x-sinx在R上单调递增，

当x>0时，g(x)>g(0),所以x>sinx,

所以10sin---<10x---=—,所以a>c,

10010010

2Y-1

令/(x)=x-ln(l+x)2=x-2ln(l+x),求导可得/r(x)=1-----=----,

x+1x+1

当o<xvi,r(x)<of所以/(%)单调递减，所以/a)v〃o),

即x-2ln(l+x)<0-2In1=0,所以x<2ln(l+x)=ln(l+x)2,

令X=',可得$<ln(l+0.1)2=lnl.21,即a<6,

所以cvqvb.

故选：B.

4.(2024・贵州遵义•三模)设°=12110.01,6=lnl.01,。=击，则下列关系正确的是()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】D

【分析】构造函数〃x)=ln(l+x)-士,利用导数判断出其单调性，即可比较6,构造函数

g(x)=ln(l+x)-x,xefo,^1,力(x)=x-tanx,xe[0,1J,即可比较a,6,即可得解.

110.01

【详解】6=lnl.01=ln(l+0.01),,一而-100+1-1+0.01

令/('=如(1+尤)-X

1+X

则小卜士一号=忘>。,

所以函数/（X）在（0,3上单调递增,

所以〃0.01)>〃0)=0,即In(1+0.01)所以6>c,

☆g(x)=ln(l+x)-x,xe(0,1J,

1y

贝Ug'(x)=;-----1=--一<0,

1+X1+X

所以g（x）在臼上单调递减,

所以g(0.01)<g(o)=0,即111(1+0.01)<0.01,

令/z(x)=x-tanx,无,则l(x)=]_cosx'sin苫=』春<0,

I2)cosx

所以函数“X)在(0,号上单调递减，

所以〃(0.01)〈〃⑼=0,即0.01<tan0.01,

所以ln(l+0.01)<tan0.01,即b<a,

综上所述，c<b<a.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：构造函数〃无)=ln(l+x)-g(x)=ln(l+x)-,

=x-tanx,xe[0,5),是解决本题的关键.

5.(2023・河南•模拟预测)实数x,y,z分别满足无2。22=e,2022〉=2023,2022z=2023,则x,y,z的大

小关系为()

A.%>>>zB.x>z>y

C.z>x>yD.y>x>z

【答案】B

【分析】根据已知即Le七，>=1。82。222023,z=构选函数/(*)=叱确定其在(e,+8)上单调

人一G2022x

递减，可得z>儿又设〃(x)=e=x-l,其在xe(o,+s)上单调递增，所以得x=e全>黑=2.

【详解】解：由已知得圭，7=log2o222023,z=

设/(x)=—,/(乃=匕■照，当xe(e,+s)时，f'(x)<0,

XX

所以/(x)=也在(e,+8)上单调递减，因此/(2023)</(2022),

X

In2023In20222023In2023=l°g022

即------<-------所以22023,z>y;

202320222022In2022

f%

又设=-x—1,/z(x)=e-1,当XE(0,+8)时，力'(%)>0,

所以〃(x)=e"-x-1在x£(0,+8)上单调递增，

因止匕4(—1—]=e圭一一!——1>"0)=0,所以e^>—+1=-,则x>z；

U022J2022I720222022

综上得x>z>九

故选：B.

【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：

1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一

个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系.

2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数,

然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造

的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.

考点三、构造函数解决其他综合问题

典例引领

1.(23-24高二下•广东东莞•阶段练习)已知/(x)为函数〃x)的导函数，当x>0时，有“X)-矿(x)>0

恒成立，则下列不等式一定成立的是()

【答案】B

【分析】构造函数尸(x)=£?,x>0,求导确定其单调性，根据单调性确定建立尸的不等关系,

以及尸(gj,尸(1)的不等关系，整理化简得答案.

【详解】令尸(司=产户>0,则尸

因为当x>0时，有/(x)-号'(x)>0恒成立，

所以当x>o时，尸，⑴「⑴,⑺<0,

即尸(x)在(0,+功上单调递减，

所以尸即，)<4),即A错误，B正确，

24

/］，>尸(1),即半，即CD错误.

2

故选：B.

ba

2.(23-24高三下•陕西西安•阶段练习)已知。，b为正数，且2〃<b,a=b,则()

A.a2>bB.b2<a

C.a+b>6D.a+b<6

【答案】c

Iny

【分析】由/=/,构造函数/(x)=T，求导，判断单调区间，根据已知条件2a<6,判断选项.

・、4e、-h-ln〃\nb、"、Inxe八〃、1-lnx

【详斛】由/=6",可知---=——，设n/(》)=，则/(%)=2-'

abxx

令/'(x)=。，则x=e

当0<x<e时，/\x)>0,/(x)单调递增，

当X〉e时，r(x)<0,“X)单调递减，且/(2)=/(4),

故当2a<b时，贝!J1VQ<2,b>4,

故/<6,b2>a且当Q-1时，bf+oo,故。+6〉6,只有C满足要求.

故选：C

3.(2024广东深圳•模拟预测)已知函数/(x)=ae'+ln」-2,若〃x)>0恒成立，则正实数。的取值范

围是()

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

【答案】C

【分析】不等式整理为(x+lnaHeX'+Alnq+ZHem(哂