高考数学专项复习训练：两条直线的交点坐标（分层练）

第19讲两条直线的交点坐标

【人教A版选修一】

目录

题型归纳.................................................................................

题型01求相交直线的交点坐标............................................................................2

题型02判断两直线位置关系的方法.........................................................................4

题型03直线过定点问题...................................................................................7

分层练习................................................................................................23

夯实基础...............................................................................................12

能力提升.................................................................................................18

创新拓展................................................................................................18

知识梳理

一、求相交直线的交点坐标

已知两条直线的方程是/i：Ai尤+8iy+Ci=0,L：A2x+&y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点尸的坐标就是方程

Ci=0,

~1Aix+B2y+C2=0的解

二、判断两直线位置关系的方法

已知直线/i：Aix+Biy+Ci=0(A?+B?#0),直线心：A^+Boy+C2=0(AH#0)：

[Arx+Biy+Ci=0,

方程组L“3_八的解一组无数组无解

直线/1与/2的公共点的个数一个无数个零个

直线Z1与h的位置关系相交重合平行

题型归纳

题型01求相交直线的交点坐标

【解题策略】

求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解

【典例分析】

课本例1求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：II：3x+4y—2=0,/2：2x+y+2=O.

3尤+4厂2=0,

解解方程组

2•r+y+2=0,

x=-2

得

)=2.

所以，与/2的交点是M（—2,2）（如图）.

【例1】求经过两直线Zi：3x+4y—2=0和b：2x+y+2—0的交点且过坐标原点的直线/的方程.

解由方程组［f3x上+4:v-2=0,

|_2x+y+2—0,

x——2

解得

)=2,

即与/2的交点坐标为（一2,2）.

•.•直线/也过坐标原点，

...其斜率左=2卷=—1.

一2

故直线/的方程为y=-x,即无+y=0.

【变式演练】

【变式1］（2324高二上.天津•期中）两直线《：3x+4y-5=0,/2：2x-3y+8=0的交点〃坐标是：.

【答案】（-1,2）

【分析】利用两直线的方程联立求交点即可.

f3x+4y—5=0fx=—1/、

【详解】联立两直线方程c-。八=可得M-1,2.

［2］—3,+8=。［）=2

故答案为：（T2）

【变式2】求经过两直线/1：尤一2y+4=0和/2：x+y—2=。的交点P,且与直线6：3尤一4y+5=0垂直的直线/的方

程.

x—2y+4=0f

解由方程组

x+y-2=0,

|x=0,

得c即尸（0,2）.

3=2,

3

V/±Z3,/3的斜率为不

••ki-3，

4

・,・直线I的方程为y—2=-QX,

即4x+3y—6=0.

【变式3］（2324高二上•河北•期中）已知直线4：x+冲—〃+2=0与&：2打+（3+3）丁+〃—5=。.

（1）当a=l时，求直线《与4的交点坐标；

（2）若4〃弧求〃的值.

【答案】（1）（T3）

⑵。="I

【分析】(1)由。=1,得到4：x+y+l=O,Z2：x+2y-2=0,再联立求解;

(2)根据乙〃4，由2<72_々-3=0求解.

【详解】(1)解：因为。=1,

所以I：x+y+l=O,l2：x+2y-2=0.

x+y+l=0

联立方程组

x+2y—2=0

x=-4

解得

y=3

故直线k与k的交点坐标为("4,3).

(2)因为4〃4,

3

所以24—a—3=0,解得a=—1或a=万.

当a=-l时，4与4重合，不符合题意.

当a=1时，乙与4不重合，符合题意.

3

II———

故2

题型02判断两直线位置关系的方法

【解题策略】

(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.

fAix+Biy+Ci=0,

有唯一解的等价条件是A1&-A2B1W0,即两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1WO.

lA2x+B2y+C2=0一一一一

(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.

【典例分析】

课本例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标:

(l)/i：x—y=0,，2：3x+3y—10=0；

(2)Zi：3x—y+4=0,，2：6x—2y—1=0；

(3)Zi：3x+4y—5=0,hz6x+8y—10=0.

[x—y=0,

解(1)解方程组

[3x~\~3y—10一0,

所以，/1与/2相交，交点是

3x-y+4=0,①

(2)解方程组―

6x—2y—1=0,②

①X2—②得9=0,矛盾，这个方程组无解，所以/i与/2无公共点，h//l2.

3x+4厂5=0,①

(3)解方程组，

6x+8y—10=0,

①X2得6x+8y-10=0.

①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，/1与/2重合.

【例2】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标.

(l)/i：2x-y=7和孙3x+2y—7=0；

(2)/i：2x—6y+4=0和84x—12y+8=0；

(3)/i：4x+2y+4=0和ey=—2x+3.

2无一y—7=0,x—3,

解(1)方程组、_.解得.

.3x+2y—7—0,尸T

因此直线/i和b相交，交点坐标为(3,-1).

[2x~6y+4=0,①

(2)联立方程组',

〔4x—12y+8=0,②

①X2得4x—12y+8=0.

①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，/1与/2重合.

[4x+2y+4=0,

(3)方程组',无解，这表明直线/1和/2没有公共点，故

[y=-2x+3

【变式演练】

【变式1](多选)(2023高二上•全国・专题练习)下列选项中，正确的有()

A.直线不x-y+2=0和£2x+y-5=0的交点坐标为(1,3)

B.直线4：x-2y+4=0和£2x-4y+8=0的交点坐标为(2,1)

C.直线4：2x+y+2=0和/2：y=-2x+3交点坐标为(-2,2)

D.直线4：x-2y+l=0和4：y=x,l3:2x+y-3=。两两相交

【答案】AD

【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标.

fx—y+2=0?fx=l/、

【详解】方程组。,八的解为噢，因此直线4和，2相交，交点坐标为1,3，A正确;

[2x+y-5=0[y=3

fx-2y+4=0?

方程组c:oc有无数个解，这表明直线4和，2重合，B错误；

[2%—4丁+8=0

[2x+y+2=0一

方程组-3=。无解,这表明直线4和4没有公共点，故"〃2,C错误;

X—2y+1—0\x=l

方程组的解为,

y=x[y=l.

y=xX=1

方程组的解为

y=l.

x-2y+l=0，X=1

方程组2x+i=。的解也为

y=l.

所以，三条直线两两相交且交于同一点(U),D正确.

故选：AD

【变式2】已知直线5x+4y=2a+l与直线2x+3y=a的交点位于第四象限，则。的取值范围是

答案(V2)

2〃+3

X=y

5x+4y=2〃+l,

解析由得.

,2x+3y=〃，a—2

2〃+3

、

7>0,3

由得《

a—2

、7<0,、a<2.

3

所以一2<a<2.

【变式3](2023高二上•全国・专题练习)判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标.

(1)4:3x—y+4=0,Z2：x+3y+2=0；

(2)4：3x-5y+10=0,l2:9x-15y+30=0.

【答案】⑴相交，

⑵重合

【分析】(1)联立方程求出交点坐标；

(2)4：9x-15y+30=。化简得至IJ3x—5y+10=0,可得两直线重合.

7

x=-

3x—y+4=05

【详解】(1)解方程组得

尤+3y+2=0'11

y=一

5

所以这两条直线相交，交点坐标是卜

(2)由12:9%—15丁+30=0化为方程3%—5〉+10=0可知,

3x—5y+10=0一,人

所以9-3。=。有无数多个解,

/]:3x-5y+10=0与4：9冗-15y+30-0重

题型03直线过定点问题

【解题策略】

解含参数的直线恒过定点问题的策略

(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线

所过的定点，从而问题得解.

(2)若整理成y—州=左(无一无0)的形式，则表示的直线必过定点(无o,yo)

1典例分析]

【例3】无论相为何值，直线/：(机+1)%—y—7机一4=0恒过一定点尸，求点尸的坐标.

解V(m+l)x-y-7m-4=0,

m(x—7)+(x—y—4)=0,

.卜一7=0,.b=7,

[%—y—4=0,[y=3.

J点尸的坐标为(7,3).

【变式演练】

【变式1](2324高二上•全国•课后作业)不论。为何实数，直线5+33+(2。-1功+7=。恒过第_象限.

【答案】二

【分析】

根据题意，将直线方程变形，列出方程代入计算，即可得到结果.

【详解】直线方程可变形为：(3x-y+7)+a(x+2y)=0,

3%-y+7=0x——2

由求得

x+2y=0y=i

二直线过定点（-2,1）,因此直线必定过第二象限,

故答案为：二

【变式2]（2324高二上•福建泉州•期末）直线/：%+（〃?+1）k2〃2-4=0恒过定点.

【答案】（2,2）

【分析】根据题意，化简直线方程为（尤+V-4）+m“-2）=0,联立方程组，即可求解.

【详解】由直线/：x+（〃z+l）y-2加-4=0,可化为（x+y-4）+加（y-2）=。，

fx+y—4=0[x=2

联立方程组:c，解得C，所以直线/恒过定点（2,2）.

[>-2=0[y=2

故答案为：（2,2）

【变式3]（2324高二上•上海嘉定・期末）已知方程（IT?一2加一3卜+（2〃/+%-i）y+6-27w=。（meR）.

（1）求该方程表示直线的条件；

（2）当加为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；

（3）直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由.

【答案]⑴{“何~1}

（2）3x-4=0

（3）不过定点，证明见解析

【分析】（1）先令x,y的系数同时为0时得到，找=-1,即得能力-1时方程表示一条直线；

（2）由（1）知m=1时y的系数为0,方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；

（3）分别求出斜率不存在和斜率为0时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐

标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点.

【详解】（1）当无，>的系数不同时为o时，方程表示一条直线，

令机2-2机一3=0,解得机=-1或m=3；

令2，"2+：”_1=0,解得〃?=-1或，〃=5，

所以x,y的系数同时为零时机=-i,

故若方程表示一条直线，则W1N-1,

即实数机的取值范围为｛时帆片-1｝；

（2）当x的系数不为o,y的系数为o时斜率不存在，

由（1）知当机=；时，2/+机-1=0且加一2〃?_3力0,方程表示的直线的斜率不存在,

此时直线方程为3x-4=0；

（3）不过定点，证明如下：

证明：当尤的系数为0,＞的系数不为。时斜率为0,

由（1）知当机=3时，1-2相-3=0且2病+加-1W0,方程表示的直线的斜率为0,

此时直线方程为1=0,

由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为3x-4=0,

由f导交点为IM'

若直线过定点，则定点为

将代入方程（苏—2m—3^x+^2m2+m—l）,y+6—2m=0,

2\4

得（m-2m—3x—+6—2m=0,

)3

整理得2/-7根+3=0,解得根=；或m=3,

二.只有当加二；或m=3时，直线过（g,。］,

・二直线不过定点

分层练习

【夯实基础】

一、单选题

1.（2324高二上•甘肃甘南•期中）直线尤-2了-6=0与直线2x+y-2=0的交点坐标为（）

A.（0,-3）B.（1,0）C.（3,T）D.（2,-2）

【答案】D

【分析】联立方程，解之即可.

[x-2y—6=0fx=2/、

【详解】由2丫+一2=0'解得=-2'则交点坐标为（2,一2）.

故选：D

2.（2324高二上.贵州毕节•期末）若直线7批+〉-41=0的斜率小于0,那么该直线不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据直线过定点、且斜率小于0可得答案.

【详解】直线讯左-4）+y-1=0过定点（4,1）,

且斜率左=<0,

故该直线不经过第三象限.

故选：C.

3.（2324高二上•福建龙岩・期中）已知直线依+y-6%+2=0恒过点尸，则尸的坐标为（）

A.（0,-2）B.（—2,0）C.（6,—2）D.（—6,2）

【答案】C

【分析】把方程整理成关于左的方程，然后由系数为0可得.

/、fx—6=0.(x=6,

［详解］由-+y—6A+2=0,^k(x-6)+y+2=0,贝!).二得；

［y+2=0,［y=-2,

所以P的坐标为(6,-2).

故选：C.

4.(2324高二上.福建宁德•阶段练习)经过直线尤+>+1=0和2尤+y+5=0的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0

的直线方程为()

A.x+y+7=0B.x—y+7=0

C.x-y+7=0或3%+4y=0D.%+y+7=0或3x+4y=0

【答案】c

［分析］先求直线无+y+l=0和2x+y+5=o的交点，设所求直线方程为y—3=MX+4),可得在尤，y轴上的截距，结

合题意列式求解即可.

x+y+l=0

【详解】联立方程，解得

2尤+y+5=0y=3

所以直线x+y+l=0和2x+y+5=0的交点为R,3),

由题意可知所求直线的斜率存在且不为0,设为左伏片0),

可知所求直线方程为y-3=Z(x+4),

3

令％=0,可得丁=4%+3；令y=0,可得％=—4一7；

3

可知直线y-3=Mx+4)在无，y轴上的截距分别为4左+3,

K

33

由题意可得一4一；+4左+3=0,整理得4左2—左—3=0,解得左=1或左=——,

k4

所以所求直线方程为x-y+7=0或3尤+4y=0.

故选：C.

二、多选题

5.(2324高二上•河南商丘・期中)已知点M(-l,2),N(2,3),直线/：〃氏+〉-m+2=0与线段MN有交点，则加可以为

()

A.-6B.-2C.1D.3

【答案】AD

【分析】求得直线/恒过定点。，求得上2M与％V,结合图象可求得相的范围进而可得结果.

【详解】因为/：mx+y-，w+2=0ny+2=Tw(x-l),即直线/过定点。(1,-2),斜率为一，"，

因为%,=W4=-2,%=着=5，

-1—12—1

如图所示，

所以-机W-2或,解得：m>2^m<-5,

故选：AD.

6.(2324高二上.陕西西安•期中)下列命题正确的是()

A.任何直线方程都能表示为一般式

B.直线x+2y-4=0与直线2尤->+2=0的交点坐标是(0,2)

C.两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等

D.直线方程6+(a+l)y=a(a+1)可化为截距式为—+2=1

〃+1a

【答案】AB

【分析】根据一般式方程判断A,求出方程组的解，即可判断B,根据两直线平行的充要条件判断C,利用特殊值判

断D.

【详解】对于A：直线的一般是方程为：Ax+By+C=O,

当A=O,8wO时，方程表示垂直y轴的直线；

当AwO,8=O时，方程表示垂直x轴的直线；

当A20,8/0时，方程表示任意一条不垂直于x轴和V轴的直线；故A正确.

、fx+2y—4=0fx=0

对于B：联立c-cc，解得.故B正确.

[2尤_y+2=0[y=2

对于C：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等（或斜率均不存在）且不重合，故C错.

对于D：若。=0或a=-1时，式子上7+^=1显然无意义，故D错.

故选：AB.

三、填空题

7.（2223高二上・甘肃武威・期中）直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为

【答案】（T3）

【分析】联立方程即可求解.

[3x+2y+6=01尤=Y/、

【详解】联立匕尤+5；_7=0，解得[=3，所以交点坐标为（T3）,

故答案为：（T,3）

8.（2324高二上•山东荷泽•阶段练习）设点4（-2,3）,8（3,2）,若直线＜u+y+2=0与线段没有交点，则。的取值

范围是•

【答案】

【分析】由于直线G+y+2=0恒过点C（0,-2）,然后结合图形求解即可

【详解】如图，直线依+y+2=0恒过点C(0,-2),kAC=-^,原c=g

2332

故答案为:

9.(2223高二上•福建福州•期中)已知直线小，m+3y+l=0与直线心2x+(〃z+5)y-4=0互相垂直，则它们的交点

坐标为.

【答案】舄

【分析】利用互相垂直求出加，然后两直线联立即可求出交点坐标.

【详解】因为直线心m+3y+l=0与直线加2x+(〃?+5)y-4=0互相垂直,

所以2m+3(m+5)=0,解得机=一3,

、—[-3x+3y+l=0

联可2x+2y-4=0,解得直线《和4的交点坐标为

故答案为:GT

四、解答题

10.已知直线(a—2)y=(3a—l)x—1,求证：无论a为何值，直线总经过第一象限.

证明将直线方程整理为

a(3x-y)+(-x-\-2y_1)=0.

因为直线3x—y=0与x—2y+l=0的交点

即直线系恒过第一象限内的定点9D，

所以无论。为何值，直线总经过第一象限.

11.(2324高二上•全国•课后作业)判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.

⑴直线4：2x—3y+10=0,/2：3%+4y—2=。；

(2)直线4:nx-y=n-l9l2:ny-x=2n,

【答案】⑴相交，交点是(-2,2)

⑵答案见解析

【分析】(1)解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系;

(2)分类讨论〃，解方程组可得答案.

2x-3y+10=0

【详解】(1)联立，解得

3x+4y-2=0

所以两直线相交，交点坐标为(-2,2).

(2)当〃=—1,时，4：x+y_2=0,Z2:x+y—2=0,

[x+y—2=0—

联立cZ方程组有无数组解，故两直线重合,

[x+y-2=0

当〃=1时，ll:x-y=0fl2:x-y+2=0,

,、[x-y=Q

联立G八，方程组无解，故两直线平行，

[x-y+2=0

x=--n

wc—y=n—1n-l

当〃w±l,联立解得

ny—x=2n2n-l

y=

n-\

n—1

所以两直线相交，交点坐标为

n-1n-1

ri9n—1

综上所述：当〃=-1时，两直线重合；当，=1时，两直线平行；当〃片土1时，两直线相交，交点坐标为(二,一-).

n-1n-1

12.(2324高二上.北京顺义・期中)已知直线4：x+y-l=0,直线4：2x-y+10=0.

(1)求直线乙与4的交点A坐标；

⑵求过点A且平行于4元-3y+5=0的直线方程.

【答案】⑴A(-3,4)

⑵4x-3y+24=0

【分析】(1)通过解二元一次方程组进行求解即可；

(2)根据平行线的方程的特征进行求解即可.

fx+y-1=0fx=—3/、

【详解】⑴两条直线方程联立，得c-s八=，nA-3,4；

[2x-y+10=0[y=4''

(2)设平行于4x-3y+5=0的直线方程为4x-3y+C=0,

因为直线4.・3>+。=0过4(—3,4),

所以4*(—3)—3*4+C=0=>C=24,

所以过点A且平行于4x—3y+5=0的直线方程为4x—3y+24=0

【能力提升】

一、单选题

1.(2223高二・江苏•假期作业)直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是()

A.(2,0)B.(2,1)

C.(0,2)D.(1,2)

【答案】C

fx+2y-4=0

【分析】解方程组cc八即可得解.

[2x-y+2=0

fx+2y—4=0[x=Q

【详解】解方程组c°八得c，

[2x-y+2=0[y=2

即直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是(0,2).

故选：C.

2.（2324高二上.全国•课后作业）直线2x+y+2=0与依+4、-2=。互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）

A.（I）B.（0,-2）

C.（TO）D.

【答案】C

【分析】由两直线垂直可得a=-2,联立解方程组可得交点坐标.

【详解】易知直线2x+y+2=。的斜率为一2,

由两直线垂直条件得直线——。的斜率解得--2；

、一[2%+y+2=0

联叶一2尤+4y—2=0，解得

即交点为（-1,0）

故选：C.

3.（2324高二上.贵州遵义•阶段练习）直线心2x-3y+5=。与*工+>-1。=。的交点坐标是（）

A.（5,5）B.（2,3）C.（3,7）D.(8,5)

【答案】A

【分析】联立两直线方程，求出交点坐标.

⑵c-3y+5=0ix=5

【详解】联立方程组,⑺八解得」

[x+y—10=0[y=5

故4与4的交点坐标为（5,5）.

故选：A

4.（2324高二上•北京•期中）已知直线方程质->-2左=0,则可知直线恒过定点的坐标是（）

A.（-2,0）B.（2,0）

C.（0,-2）D.（0,2）

【答案】B

/、[x—2=0

【分析】依题意可得（X—2）%-y=0,令j_y=0，解得即可.

【详解】直线区-y-2左=0,即（尤一2次—y=0,令j_y=0，解得[=0，

所以直线近-〉-2%=0恒过点（2,0）.

故选：B

二、多选题

5.（2324高二上•宁夏•阶段练习）下列命题正确的是（）

A.任何直线方程都能表示为一般式

B.两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等

C.直线x+2y-4=0与直线2元一y+2=0的交点坐标是（0,2）

D.直线方程依+（a+l）y=o1m+1）可化为截距式为‘一+义=1

a+\a

【答案】AC

【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可.

【详解】对A：直线的一般是方程为：Ax+By+C^0,

当A=0,8w0时，方程表示水平线，垂直》轴；

当Aw0,B=0时，方程表示铅锤线，垂直x轴；

当A20,820时，方程表示任意一条不垂直于x轴和，轴的直线；故A正确.

对B：两条直线的斜率相等时，两直线可能重合，故B错.

x+2y-4=0x=0

对c：联立,解得故c正确.

2%一y+2=0y=2

对D：若。=0或a=-l时，式子上+h=1显然无意义，故D错.

a+va

故选：AC.

6.(2324高二上.全国•课后作业)已知直线4：3x+y-l=O与L：x+2y-7=。，则下列说法正确的是()

A.1与4的交点坐标是(O,T)

B.过4与4的交点且与4垂直的直线的方程为x-3y+13=0

C.k，4与x轴围成的三角形的面积是4手0

D.《的倾斜角是锐角

【答案】BC

【分析】由已知联立方程即可求解直线的交点坐标可判断A；由直线垂直确定《垂直的直线的斜率则可求得直线方程,

即可判断B；根据直线与直线的位置确定第4与无轴围成的三角形的对应坐标即可得面积，从而可判断C；由直线斜

率与倾斜角的关系即可判断D.

【详解】3x+y-l=0与x+2y-7=0可得x=—l,y=4,

解得交点坐标为(T,4),所以A错误；

由所求直线与直线3元+丫-1=0垂直得所求直线的斜率为g,

由点斜式得y-4=；(x+l),即无一3y+13=0,所以B正确；

如图，4：3x+y-1=0与x轴相交于/2：了+2y一7=。与苫轴相交于双(7,0),

4与4相交于。(—1,4)

所以4，4与X轴围成的三角形的面积S=；MM・网=#7-14=手，所以C正确；

乙的斜率匕=-3<0,所以乙的倾斜角是钝角，所以D错误.

故选：BC.

三、填空题

7.（2324高二上•上海•期末）已知直线/：如+>-2=0恒过定点，则定点坐标是.

【答案】（0,2）

【分析】根据题意令x=0,运算求解即可.

【详解】令x=0,即、-2=0,可得y=2,

所以直线/：〃a+>-2=0恒过定点（0,2）.

故答案为：（0,2）.

8.（2223高二上•辽宁铁岭•阶段练习）两条直线2x+y+2=。与2x-4y+2=0的交点坐标为

【答案】（-1,0）

【分析】根据方程交点性质联立方程即可.

【详解】联立方程f2cx+[y+2=c0八，解,得fx=-cl

[2x-4y+2=0[y=0

故答案为：（-L0）

9.（2223高二上•广东江门•期中）若直线2元-3y=12与直线尤-2y=4相交，则交点尸的坐标为

【答案】（12,4）.

【分析】联立两直线的方程，即可求出交点坐标.

2x-3y=12

【详解】联立直线2x-3y=12与直线x-2y=4的方程

x-2y=4

x=12,

解得”，所以交点尸的坐标为（12,4）.

y=4

故答案为：（12,4）.

四、解答题

10.（2023高二上•全国・专题练习）已知两条直线5x+y-5=0,Z2：%-y-3=0,画出两条直线的图象，分析交点

坐标M与直线//,/2的方程有什么关系？

x+y—5=0

【答案】交点坐标是方程组。C的解，图像见解析.

x—y—3=0

【分析】作出直线亿/2的图象，由点”既在直线〃上，也在直线/2上求解.

【详解】直线〃，〃的图象如图所示.

点M既在直线//上，也在直线〃上

即满足直线h的方程叶厂5=0,也满足直线h的方程x-y-3=0.

x+y—5=0

即交点坐标是方程组二一3一。的解

11.判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标.

(l)Zi：2x+y+3=0,，2：x—2y—1—0；

(2)Zi：x+y+2=0,h：2x+2y+3=0.

12]+y+3=0,

解(1)解方程组.八

〔x—2y—41=0,

得；r—1所以直线/川2相交,

交点坐标为(-1,—1).

(x+y+2—O,

(2)解方程组；,得1=0,矛盾，方程组无解.

[2x+2y+3=0,

所以直线/1与为无公共点，即/1〃5

12.已知直线/：6x-y+l=0.

(I)若平行于/的直线机经过点4(—1，-4),求机的方程；

⑵若I与直线y=4x+b的交点在第二象限，求b的取值范围.

解(1)因为直线机平行于/,

可设直线m的方程为6x—y+c=0,

又因为直线机经过点A(—l,-4),

所以-6+4+c=0,

解得c=2,可知直线机的方程为6x—y+2=0.

f6x-y+l=0,

(2)联立方程组.「

[y^4x+b,

b-1

解,得jX=2o，

J=3b—2.

因为它们的交点在第二象限,

(b-1

所以亍＜°，

、3/?—2＞0,

2

解得非＜1,

即6的取值范围为停，1).

13.（2223高二・江苏•假期作业）（1）求证：动直线（加2+2租+3）x+（l+m-7”2）y+3m2+1=0（其中加eR）恒过定

点，并求出定点坐标；

（2）求经过两直线/1：》-2、+4=。和/2：X+»-2=。的交点尸，且与直线心3尤一分+5=。垂直的直线/的方程.

【答案】（1）证明见解析，A（T2）；（2）4x+3y—6=0.

【分析】（1）解法一：利用特值法，可得定点A（T,2）,再验证满足题意；解法二：动直线转化为

（x-y+3）M+（2x+y）〃?+3x+y+l=0,利用帆eR,则关于加的方程系数为0,列出方程解得即可.

4

（2）解法一：联立两直线求出交点尸，又与直线4：3x-4y+5=。垂直的直线斜率左=-§,写出直线即可；解法二：

利用垂直直线系，得直线方程为4x+3y+m=0,再代入交点尸解得加的值，即可得到答案；解法三：利用交点系得直

线/:（x-2y+4）+X（x+y-2）=0,又…，得方程3X（1+X）+（T）X（X-2）=0,解得4的值，即可得到答案.

【详解】（1）证明：解法一：令m=0,则直线方程为3x+y+l=0①

再令m=1时，直线方程为6x+y+4=0②

…（3x+y+l=01尤=-1

①和②联立方程组N/C，得.，

[6x+y+4=0[y=2

将点4（一1,2）代入动直线（机2+2机+3）工+（1+加一机2）y+3机2+1=。中，即

（机2+2m+3）x（—l）+^l+m—m2）x2+3m2+1=（3—1—2）m2+（—2+2）机+2+1-3=0故动直线

（川+2M+3卜+（1+机一机2）y+3/+1=0恒过定点1,2）.

解法二：将动直线方程按机降事排列整理，得（x—y+3）机2+（2%+y）m+3x+y+l=。①

不论加为何实数，①式恒为零，

x-y+3=0,

一,[x=-l

有＜2x+y=o,解得｛,

3x+y+1=0l\y=2

故动直线恒过点A（-L2）.

,Ix-2y+4=0/、

（2）解法一：联立方程jx+y_2_0'解得尸（°，2），

直线4：3x-4y+5=。的斜率3为由UZ,,则直线/的斜率为左=44,

故直线/的方程为4x+3y-6=0.

解法二：设所求直线方程为4x+3y+〃?=0,

将解法一中求得的交点尸(0,2)代入上式可得m=-6,

故所求直线方程为4x+3y-6=0.

解法三：设直线/的方程为(x-2y+4)+4(x+y—2)=0,

即(1+»+(2-2万+4-24=0,又山3，

/.3x(l+2)+(-4)x(/l-2)=0,

解得4=11,

故直线/的方程为4工+3'-6=°

【创新拓展】

一、单选题

1.(2324高二上.湖北武汉•期中)已知AABC的顶点A(-2,1),AC边上的高BE所在直线方程为％+>-5=0,AC边

上中线3D所在的直线方程为标-5了+1=0,则高助的长度为()

历

A.B.^2C.2^2D.3^2

【答案】C

【详解】先求得。点的坐标，然后求得E点的坐标，进而求得忸£|.

,,fx+y-5=0"=3c/c八

【分析】由公[1八解得。，所以83,2.

[3x—5y+l=0[y=2'7

设C(s/),则'

所以3x-------5x------F1=0,3s—5/—9=0①，

22

直线BE的斜率为-1,则直线AC的斜率为1,

所以壬=1'1+3=°②，

[s=-12

由①②解得_，则C（T2,-9）,

——yn

直线AC的方程为y-l=lx（x+2）,x-y+3=0,

[尤_y+3=0（尤=1/、

由<C，解得/，则El，4，

[无+y-5=0[y=4、'

所以忸目二招-咪+（2-4）2=2五.

故选：C

二、多选题

2.（2324高二上・贵州遵义•阶段练习）若三条不同的直线4：mx+2y-6=0,/2：x+y-i=O,l3-3尤+〉-5=0不

能围成一个三角形，则机的取值可能为（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】BCD

【分析】讨论4〃4、4〃4、三条直线交于一点得出〃?的可能取值.

f—2=0

【详解】若4〃1则['八解得利=2.

[一机+6wO,

fm—6=0,

若k〃h，贝（J,八解得根=6.

[-5m+18O^0,

x=2,

由解得,=_]即与4的交点坐标为(z2,-1),

3%+y—5=0,

若4过点(2,-1