2024-2025学年江苏省宿迁市九年级上第一次月考数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年江苏省宿迁市九年级上第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题

目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.）

1.（3分）下列方程是一元二次方程的是（）

A.2x+y—lB.x2+l=2xyC.x2+=3D.x2=3x+4

2.(3分)用配方法解方程/-8x+l=0,变形后的结果正确的是()

A.(尤-4)2=5B.(尤-4)2=16C.(x-4)3=7D.(%-4)2=15

3.（3分）已知O。的半径r=3,PO=V10,则点P与。。的位置关系是（）

A.点尸在。。内B.点尸在上C.点P在。。外D.不能确定

4.（3分）如图，点A,B,C在。。上，若/A=70°,则N80C的度数为（）

A.70°B.110°C.130°D.140°

5.（3分）下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接

平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等,

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（3分）如图，平面直角坐标系中，OP经过三点A（8,0）,O（0,0）,B（0,6）,点。是0P上的一

动点.当点D到弦08的距离最大时，点。的坐标是（）

C.(10,3)D.(10,6)

7.（3分）如图，是O。的弦，半径于点C,AE为直径，A2=8,CD=2,则线段CE的长为

A.2V15B.8C.2V10D.2V13

8.（3分）如果关于尤的一元二次方程af+bx+c=o有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，

则称这样的方程为“倍根方程”.以下关于倍根方程的说法：①方程/-X-2=0是倍根方程；②若p,

g满足pq=2,则关于x的方程/+3犬+4=0是倍根方程；③若（尤-2）（nu+n）=0是倍根方程，则

4加2+5优〃+〃2=0.其中正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分.不写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的

相应位置上）

9.（3分）一元二次方程/=2x的根是.

10.（3分）关于x的一元二次方程（x+2）2=m-21可以用直接开平方法求解，则m的取值范围

是.

11.（3分）若关于尤的一元二次方程^有实数根，则上的取值范围是.

11

12.（3分）己知方程/+尤-2=0的两根分别为xi,xi,则一+一的值为.

%1比2

13.（3分）直角三角形的直角边分别为5和12,则此直角三角形的内切圆直径是.

14.（3分）如图，EA,EO是。。的切线，切点为A,D,点、B,C在上，若/8AE+NBCZ）=236°,

则_________

C

15.（3分）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具一一筒车,

如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，已知圆心。在水面的上方，。。的半径长为5

米,。。被水面截得的弦长为8米,点C是运行轨道的最低点，则点C到弦A8的距离为.

o.

A\/B水面

।-----\--------------/------i

图1图2

16.（3分）已知等腰三角形ABC的一边长a=6,另外两边的长b,c恰好是关于尤的一元二次方程/-（3左+3）

x+9左=0的两个根，则△ABC的周长为.

17.（3分）如图，P是直线y=-x+4上的一点，以点尸为圆心，1个单位长度为半径作OP,当。尸与x

轴相切，点P的坐标为.

18.（3分）已知以4B为直径的圆O,C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CO_LCP交A尸于£）,

连接8D,若A8=8,8。的最小值为.

三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明

过或演算步骤）

19.（8分）解方程：

（1）（x-1）2-5尤=5；

（2）x2-6x-1=0.

20.（8分）如图，在。。中，弦A8与弦CD相交于点E,SLAB=CD.求证：CE=BE.

21.(8分)己知关于x的一元二次方程/-(4+5)x+6+2左=0.

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程恰有一个根小于-1,求人的取值范围.

22.(8分)将图中的破轮子复原，已知弧上三点A,B,C.

(1)画出该轮的圆心；

(2)若△ABC是等腰三角形，底边8C=16c机，腰AB=10c%,求圆片的半径R.

23.(10分)如图，要建一个矩形仓库ABC£),一边靠墙(墙长22加)，并在2c边上开一道2根宽的门,

现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完)，若设AB为x米.

(1)2C的长为米(用含尤的代数式表示)

(2)若仓库的面积为150平米，求AB；

(3)仓库的面积能为300〃，吗？若能，求出AB的长，若不能，说明理由.

24.(10分)仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方式/±2盯+/=(x±y)2以及(尤士y)2的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比

如探求2/+12x-4的最大(小)值时，我们可以这样处理：

解：原式=2(/+6x-2)=2(X2+6X+9-9-2)=2[(尤+3)2-11]=2(x+3)2-22.

:无论尤取什么数，都有(x+3)2三0；

/.(x+3)2的最小值为0,此时x=-3,进而2(x+3)2-22的最小值是2义0-22=-22；

...当尤=-3时，原多项式的最小值是-22.

请根据上面的解题思路，探求：

(1)多项式/-6尤+4的最小值是多少，并写出对应的龙的取值；

(2)多项式-2/-8x+6的最大值是多少，并写出对应的x的取值.

25.(10分)如图，是的直径，AC是弦，O是油的中点，CD与AB交于点E.尸是延长线上

的一点，且

(1)求证：CP为OO的切线；

(2)连接2D若CP=4,BF=2,求BD的长.

26.(10分)龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商

统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10

月份到12月份销售量的月增长率相同.

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若

在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让

顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？

27.(12分)阅读材料：若关于尤的一元二次方程办2+云+0=0(疗0)的根均为整数，则称方程为“快乐

方程”.通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式A=b2-4ac一定为完全平方数.现规定F(a,

b,c)=学支为该“快乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程3元-4=0,的两根均为整数，

2

其“快乐数”/(1，-3,-4)=4x1x(12-(-3)=—孕，若有另一个“快乐方程”px^+qx+r=Q(p

W0)的“快乐数”F(p,q,r),且满足|r•b(〃，b,c)-c*F(p,q,r)|=0,则称/(〃，b,c)与

F(p,q,r)互为“开心数”.

(1)“快乐方程”/-2x-3=0的“快乐数”为；

(2)若关于x的一元二次方程x2-(2m-/)x+m2-2m-3=0(m为整数，且是"快乐方

程”，求机的值，并求该方程的“快乐数”;

(3)若关于x的一元二次方程/-7〃x+7w+l=0与/-(”+2)x+2n—Q(〃z、"均为整数)都是“快乐

方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求”的值.

28.(12分)［学习心得］

(1)小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解

决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,。是△ABC外一点，且AZ)=AC,求/BDC的

度数.若以点A为圆心,A8长为半径作辅助圆Q4,则C、。两点必在04上，NBAC是OA的圆心角.Z

图1图2

［初步运用］

(2)如图2,在四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=9Q°,NBDC=25°,贝!］N8AC=；

［方法迁移］

(3)如图3,已知线段AB和直线/,用直尺和圆规在/上作出所有的点P,使得NAPB=30°(不写作

法，保留作图痕迹)：

［问题拓展］

(4)①如图4①，已知矩形ABC。，AB=4,BC=m,M为边CD上的点，若满足NAMB=45°的点M

恰好有两个，则m的取值范围为.

②如图4②，在△ABC中，ZBAC=45°,是BC边上的高，且8。=3,CD=1,求的长.

2024-2025学年江苏省宿迁市九年级上第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题

目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.）

1.（3分）下列方程是一元二次方程的是（）

A.2x+y=\B.x2+l=2xyC./+*=3D./=3x+4

【解答】解：4、2x+y=l是二元一次方程，不符合题意；

B、d+1=2孙是二元二次方程，不符合题意；

C、/+/=3是分式方程，不符合题意；

D、/=3x+4是一元二次方程，符合题意；

故选：D.

2.（3分）用配方法解方程/-8x+l=0,变形后的结果正确的是（）

A.（尤-4）2=5B.（x-4）2=16C.（%-4）3=7D.（x-4）2=15

【解答】解：8尤+1=0,

x2-8x=-1,

x1-8x+16=-1+16,

（x-4）2=15,

故选：D.

3.（3分）已知的半径厂=3,PO=V10,则点P与。O的位置关系是（）

A.点尸在O。内B.点尸在。。上C.点尸在。。外D.不能确定

【解答】解：：OP=VIU>3,

/.点P与O。的位置关系是点在圆外.

故选：C.

4.（3分）如图，点A,B,C在O。上，若NA=70°,则/30C的度数为（）

A.70°B.110°C.130°D.140°

【解答】解：：如图：乙4=70°,

：.ZBOC=2ZA=]40°,

故选：D.

5.（3分）下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接

平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等,

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：（1）同圆或等圆中，能够重合的弧是等弧，故原说法错误；

（2）直径是圆中最长的弦，正确；

（3）圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，可得对角既相等又互补，即平形四边有一个内角是90°,

所以圆的内接平行四边形是矩形，正确；

（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法错误；

（5）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误.

故选：B.

6.（3分）如图，平面直角坐标系中，OP经过三点A（8,0）,O（0,0）,B（0,6）,点。是0P上的一

动点.当点£＞到弦的距离最大时，点。的坐标是（）

【解答】解：•.♦点A（8,0）,O（0,0）,B（0,6）,

.'.OA=S,OB=6,

过点P作PELOA于点E,作PFLOB于点F,延长FP交。产于点D,此时点D到弦OB的距离最大,

四边形PFOE是矩形，

11

：.PF=0E=今。4=4,OF=EP=^0B=3,

OP=0D=>JEP2+OE2=5,

.•.点D到弦OB的距离最大为PF+OD=4+5=9,

7.（3分）如图，AB是。。的弦，半径OOLA8于点C,AE为直径，AB=8,CD=2,则线段CE的长为

A.2V15B.8C.2V10D.2V13

【解答】解：连接BE,如图，

：。。_1弦48,AB=8,

1

：.AC=^AB=4,

设OO的半径。4=%

OC=OD-CD=r-2,

在RtZXOAC中，

7=(r-2)2+42,

解得：r=5,

.'.AE=2r=10；

VOD=5,CD=2,

：.0C=3,

9：AE是直径，

ZABE=90°,

：0C是△ABE的中位线,

.•.2E=2OC=6,

在RtACSE中，CE=y/CB2+EB2=V42+62=2V13.

8.（3分）如果关于x的一元二次方程^有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，

则称这样的方程为“倍根方程”.以下关于倍根方程的说法：①方程7-x-2=0是倍根方程；②若）,

4满足pq=2,则关于x的方程p/+3x+q=。是倍根方程；③若（x-2）（mx+九）=0是倍根方程，则

4"，+5如?+"2=0.其中正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：①解方程/-x-2=0,

(x-2)(x+1)=0,

.*.x-2=0或x+l=O,

解得，％1=2,X2=-L得，％IW2X2,

・・・方程W-x-2=0不是倍根方程；

故①不正确；

②•「Pq=2，贝U：p%2+3x+q=(px+1)(x+q)=0,

/.%1=-i,Xl=-q,

因此是倍根方程,

故②正确;

③若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，xi=2,

因此12=1或12=4,

当X2=l时，徵+〃=0,

当X2=4时，4m+n=0,

4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0,

故③正确;

故选：C.

二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分.不写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的

相应位置上）

9.（3分）一元二次方程/=2x的根是吠=0,冗2=2.

【解答】解：移项，得f-2x=0,

提公因式得，x（x-2）=0,

x=0或x-2=0,

••XI=0,X2~~2.

故答案为：XI=0jX2—1.

10.（3分）关于x的一元二次方程（尤+2）2=机-21可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是m

221.

【解答】解：因为关于尤的一元二次方程（x+2）2="-21可以用直接开平方法求解，

所以m-2120,

解得相221.

故答案为：机》21.

11.（3分）若关于尤的一元二次方程区有实数根，则〉的取值范围是k且1力0.

【解答】解：•••关于x的一元二次方程近2-8x+16=0有实数根，

.伊力0

,,（（-8）2-4/cX16>0'

解得：AW1且20.

故答案为：ZW1且上#0.

111

12.（3分）己知方程/+无-2=0的两根分别为尤1,xi,则一+一的值为一.

比2一2一

【解答】解：：方程/+x-2=0的两根分别为XI,X2,

・・％1+兀2=—1,X1X2~~—2,

..一+=+久2=二

*,工1x2%i%2-22,

一〜，1

故答案为：­.

13.（3分）直角三角形的直角边分别为5和12,则此直角三角形的内切圆直径是

【解答】解：如图，ZC=90°,BC=5,AC=12,。。为Rt^ABC的内切圆，分别与三边切于。、E、

F,连接O。、OE,如图，设。。的半径为r,

：.AF=AE,BD=BF,CD=CE.

BDC

「AC、BC与。。相切，

：.OD±BC,OELAC,

・•・四边形OOCE为矩形，

而OD=OE,

・•・矩形OOCE为正方形，

：.CD=CE=OD=r,

：.BD=5-r,AE=12-r,

■:BD=BF,AF^AE,

：.BF=5-r,AF=12-r,

V71B=V52+122=13,

..5-r+12-r=13,

解得r=2,

・・・。。的直径为4.

故答案为：4.

14.（3分）如图，EA,皮＞是的切线，切点为A,D,点B,。在。0上，若N3AE+N5CD=236°,

则NE=68°.

【解答】解：连接AD,

E

A

2

c

,/四边形ABCD是o。的内接四边形，

：.ZBAD+ZBCD=1SQ°,

VZBAE+ZBCD=236°,

AZBAE+ZBCD-（NBAD+NBCD）=236°-180°,

：.ZBAE-ZBAD^56°,

即NZM£=56°,

'：EA,E£）是。。的切线，切点为A,D,

：.EA=ED,

：.ZEDA^ZEAD^56°,

.•.ZE=180°-56°X2=68°,

故答案为：68.

15.（3分）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具一一筒车,

如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，已知圆心。在水面的上方，的半径长为5

米,OO被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦AB的距离为2米.

由题意得：0A=OC=5米，OC±AB,

1

.•.4D=BD=4（米），ZADO=90°,

：.0D=y/OA2-AD2=-52-42=3（米）,

：.CD=OC-OD=5-3=2（米）.

故答案为：2米.

16.（3分）己知等腰三角形ABC的一边长。=6,另外两边的长6,c恰好是关于x的一元二次方程7-（3A+3）

x+9左=0的两个根，则△ABC的周长为15.

【解答]解：若。=6为腰，则从c中还有一腰，即6是方程/-（3好3）x+9Z=0的一个根，

A36-6（3A+3）+9—0,

**•k=2,

这时方程为X2-9尤+18=0,

其根为3、6,

AABC的周长为6+6+3=15；

若。=6为底，则6=c,即方程/-（3好3）尤+9%=0有两个相等的实根，

AA=[-（3左+3）产-4X94=0,

解得:k=l,

这时方程为x2-6x+9=0,

•«X1—X2~~3,

但3+3=6不能围成三角形，

综上可得：△ABC的周长为15.

故答案为：15.

17.（3分）如图，P是直线y=-x+4上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作OP,当。尸与x

轴相切，点尸的坐标为（3,1）或（5,-1）.

【解答】解：•..当O尸与x轴相切，而O尸的半径为1,

点尸到x轴的距离为1,

，点尸的纵坐标为1或-1,

当x=l时，y—-x+4=-1+4=3,此时尸点坐标为（3,1）；

当x=-l时，y=-x+4=l+4=5,此时P点坐标为（5,-1）.

，满足条件的P点坐标为（3,1）或（5,-1）.

故答案为（3,1）或（5,-1）.

18.（3分）己知以为直径的圆O,C为AB弧的中点，尸为2C弧上任意一点，交AP于

连接8。，若A2=8,8。的最小值为_4西一生—.

【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰RtA4CQ,则/AQC=90°,连接AC,BC,BQ.

：.ZQAC=45°,

的直径为AB,C为油的中点,

AZACB=90°,AC=BC,

：.ZAPC=ZABC=/8AC=45°,

：.AB=VXC2+SC2

；.8=V2XC,

：.AC=4V2,

：.AC=V2AQ,

；.A0=4,

又：CZ)J_CP,

：.ZDCP^90°,

：.ZPDC=45°,

.•.NAOC=135°,

.,.点。的运动轨迹为以。为圆心，AQ为半径的女，

...当2、D、Q三点共线时，20最小，。。=4,

VZBAQ=ZQAC+ZBAC=90°,

：.BQ=y/AQ2+AB2

=V42+82=4A/5,

:*BD=BQ-QD

=4>/5—4；

：.BD的最小值为4曲-4.

故答案为：4V5-4.

三、解答题(本大题共有10小题，共96分.请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明

过或演算步骤)

19.(8分)解方程：

(1)(x-1)2-5x=5；

(2)x2-6x-]=0.

【解答】解：(1)G-1)2-5x=5,

x2-7x-4=0,

b--1,c--4,

：.A=(-7)2-4X1X(-4)=65>0,

.7+V65

••%——2—，

.7+V657-V65

•・%]-2，%2=2；

(2)x2-6x-1=0,

x2-6x=1,

x2-6x+9=l+9,即(x-3)2=10,

•\x-3=+V10,

x-y=3+VTO/%2=3—V10.

20.（8分）如图，在。。中，弦A3与弦CQ相交于点E,且A3=CQ.求证：CE=BE.

：.AB=CD,

C.AB-CB^CD-CB,即死=皿，

:.NC=NB,

：.CE=BE.

21.(8分)已知关于x的一元二次方程/-(H5)x+6+2^=0.

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程恰有一个根小于-1,求左的取值范围.

【解答】(1)证明：•:'=(左+5)2-4(6+2/)

=必+24+1

=(A+1)220,

•••此方程总有两个实数根；

(2)•.•i+5±",

••xi=2,X2~~%+3,

..•此方程恰有一个根小于-1,

左+3V-1,

解得k<-4,

即k的取值范围为k<-4.

22.(8分)将图中的破轮子复原，已知弧上三点A,B,C.

(1)画出该轮的圆心；

(2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16c〃z,腰A8=10c%,求圆片的半径R.

B

A

【解答】解：（1）如图所示:分别作弦AB和AC的垂直平分线交点0即为所求的圆心;

（2）连接AO,OB,BC,8C交。4于。.

VBC=16cm,

BD=8cm,

VAB=10cm,

AD—6cm,

设圆片的半径为R，在RtZ\B。。中，OD=（R-6）cm,

.•.7?2=82+（R-6）2,

解得：R=-^-cm,

25

，圆片的半径R为

23.（10分）如图，要建一个矩形仓库ABC。，一边靠墙（墙长22根）,并在BC边上开一道2m宽的门,

现在可用的材料为38米长的木板（全部使用完），若设A8为x米.

（1）的长为（40-2x）米（用含x的代数式表示）

（2）若仓库的面积为150平米，求A&

(3)仓库的面积能为300^2吗？若能，求出AB的长，若不能，说明理由.

【解答】解：(1)设AB的长为x米，

:要建一个矩形仓库ABCZ),一边靠墙(墙长22机)，并在BC边上开一道2机宽的门，现在可用的材料

为38米长的木板(全部使用完)，

，8C=A£)=38+2-2%=(40-2x)米，

故答案为：(40-2尤)；

(2)根据题意得，x(40-2%)=150,

解得：无1=15,X2—5,

当xi=15时，AD—\0,

当X2=5时，AD=30>22(不合题意舍去),

：.AB=15米；

(3)根据题意得，

x(40-2%)=300,

.\2?-40x+300=0,

Ax2-20x+150=0,

则A=廿-4ac=400-4X1X150=-200<0,

该方程无实数解，

仓库的面积不能为300m2.

24.(10分)仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方式7±2盯+/=(x±y)2以及(X土y)2的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比

如探求2/+12X-4的最大(小)值时，我们可以这样处理：

解：原式=2(?+6x-2)=2(/+6x+9-9-2)=2[(x+3)2-11]=2(x+3)2-22.

:无论无取什么数，都有(x+3)220；

(x+3)2的最小值为0,此时x=-3,进而2(x+3)2-22的最小值是2X0-22=-22；

当尤=-3时，原多项式的最小值是-22.

请根据上面的解题思路，探求:

(1)多项式/-6无+4的最小值是多少，并写出对应的尤的取值；

(2)多项式-2/-8x+6的最大值是多少，并写出对应的x的取值.

【解答】解：(1)x2-6x+4

=/-6x+9-5

=(x-3)2-5,

...当尤=3时，原式多项式的值最小，最小值为-5.

(2)-2/-8x+6

=-2(尤2+4尤)+6

=-2(产气+4-4)+6

=-2[(x+2)2-4]+6

=-2(龙+2)2+14

.•.当x=-2时，原式多项式的值最大，最大值为14.

25.(10分)如图，A8是O。的直径，AC是弦，。是程的中点，CD与AB交于点E.尸是延长线上

的一点，且

(1)求证：CF为。。的切线;

求8。的长.

'：OC=OD,

：.ZOCD^ZODC,

,:CF=EF,

/.ZFCE=ZFEC,

'：ZOED^ZFEC,

：.ZOED=ZFCE,

：AB是直径，。是成的中点，

：.ZDOE^90°,

：.ZOED+ZODC=90°,

：.ZFCE+ZOCD=9Q°,即/OCF=90°,

：0C是半径，

；.CP是O。的切线.

(2)设OA=OZ)=OC=OB=r,贝!J。/=厂+2,

在RtZkCO尸中，0c2+c尸2=。尸2

.\42+?=(r+2)2,

解得r=3,

08=00=3,

・.・N0O8=9O°,

.•.BD2=OD2+OB2,

：.BD=<0D2+OB2=3V2.

26.(10分)龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商

统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10

月份到12月份销售量的月增长率相同.

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若

在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让

顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？

【解答】解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为X,

依题意，得50(1+x)2=72,

解得尤1=0.2=20%,XI—-2.2(不合题意，舍去)，

答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

(2)设该品牌头盔每个售价为y元，

依题意，得(y-30)[500-10(y-40)]=8000,

整理，得/-i20y+3500=0,

解得yi=50,”=70,

因尽可能让顾客得到实惠，

,所以y=70不合题意，舍去.

所以y=50.

答：该品牌头盔每个售价应定为50元.

27.(12分)阅读材料：若关于尤的一元二次方程办2+笈+0=0(a。。)的根均为整数，则称方程为“快乐

方程”.通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式A=启-4ac一定为完全平方数.现规定F(a,

b,c)=驾式为该“快乐方程”的“快乐数例如“快乐方程3尤-4=0,的两根均为整数，

2

其“快乐数”F(1,-3,-4)=4x1x(7r-3)=一竽，若有另一个“快乐方程”px2+"+r=0(p

J.T"

WO)的“快乐数"F(p,q,r),且满足|r•尸(a,b,c)-c'F(p,q,r)|=0,则称尸(a,b,c)与

F(p,q,r)互为“开心数

(1)“快乐方程”/-2x-3=0的“快乐数”为-4;

(2)若关于尤的一元二次方程x2-(2m-/)x+nr-2m-3=0(m为整数，且l<m<6)是“快乐方

程”，求机的值，并求该方程的“快乐数”；

(3)若关于x的一元二次方程/-=0与/-(w+2)x+2n=0(加、w均为整数)都是"快乐

方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求〃的值.

2

【解答】解：(1)方程：/-2%-3=0的“快乐数尸(1,-2,-3)=4x1x(；］—(-2)=

故答案为：-4；

(2)程W-(2m-/)x+m2-2m-3=0,A=b2-4tzc=4m+13,

Vl<m<6,BP：17<4m+13<37,

4徵+13=25或36,

・••根=3,m=(舍去)，

方程变为：/-5尤=0,

则F(1,-5,0)一系

故其“快乐数”数是一竽；

(3)x2-mx+m+l=0,

△=(-m)2-4(m+1)=(m-2)2-8,

设△=d,

则(根-2+〃)(m-2-a)=8,

(m-2+〃)=4或2或-4