新高考数学二轮复习：三角函数（测试）（解析版）

模块三三角函数（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

cos26_41

1.已知sin[e+；4，则sin26»二()

A,”D15

B.-----cD

1616-1-4

【答案】A

cos26cos26)-sin2^0(cos8-sin。)=-^

【解析】因为^^(sine+cos。)

sin"1

即cos。-sin。=—,两边平方可得cc^e-Zsinecose+sin?。=l-sin26=—,

416

解得sin26=当

lo

故选：A

2.若关于％的方程2sinxcosx-A/§cos2x=l在[。，兀）内有两个不同的解为，巧，则sin（玉+9）的值为

【答案】A

【解析】关于X的方程sin2x-gcos2x=l,则sin[2x-g）=；,

当xe[0,兀）,2x-g所以2尤一弓=3或号，则》=弓或2.

5\_55J36o412

57r]

设王＜工2，所以则sin（玉+尤2）=3,

故选：A.

3.已知04。,今],cos[tz+/j=；,则sin3-2&]的值为(

)

A40口2G「2五

993

【答案】D

■AT7_LL.Lc兀/口兀兀5兀

【解析]由0<&<彳，得了<a+?<M，

2ooo

又cos(cr+—)=—,所以sin(a+—)=

O38’jos2Y=F¥若

所以sin(2a+^)=sin[2(a+-^)]=2sin(a+1)cos(a+*)=2x~~xg=—^―

所以sin(--2a)=sin[兀-(--2a)]=sin(2a+—)=彳&

4449

故选：D

、r»兀兀c兀71兀71

4.设，BW,且sina+COSa=V2cos/?，贝!J()

4242

c兀

A.a+13=—B.a-/3=]

TT

C.a+尸=5D.a-P=~~

【答案】B

7171

【解析】因为sina+cosa=J^sin|。+二=后cos4,所以sinCCH--

44

._.、]7TJCLLI兀兀3兀71Lc八兀71

因为aG—#412，所以a+^e万，彳，万一尸^0,-,

42424

所以a+兀，则""%

故选:B.

5.已知/(x)=sin|+cos1,%=。(0＜夕＜兀)是函数/⑴的一条对称轴，g(x)=&cosI2x+],则下列

说法中正确的是()

A.%=?是义(尤)的一条对称轴B.

oL为的一个对称中心

C.g(x)与y轴的交点为⑶D.g(x)在-］即上单调递增

OO

【答案】B

X71

【解析】由题意，/(x)=V2—sinxH----cos%=V2sin—+—

2224

^—+—=—+k7l,k£Z,解得/*(%)的对称轴为X=5+24兀，kE7J1

又彳=9(0＜9＜兀)是的一条对称轴，可得e=g,

所以g(%)=0COSI2%H—|,

I4j

''-glij=^C°VXi+7j=^COSI=0,故A错误，B1E确；

又g(o)=夜cos：=l,所以g(x)与y轴交点为(0,1),故C错误；

当百寸，则0V2X+9兀，由余弦函数性质，鼠尤)在I/寻］上单调递减，故D错误.

884L88_

故选：B.

6.如图，直线y=l与函数/("=45布(3+夕)［4>0,0>0,M<］］的图象的三个相邻的交点为4B,

C,且］期=兀，忸，=2兀,则〃力=()

B.2sin^x+-1-J

n26.(叫

D•----sinxH—

3I2)

【答案】A

【解析】因为|钻|=兀，忸q=2兀,

所以相邻两对称轴间的距离三7T+兀=3三元，即周期7=3兀，所以。=2/冗=三2,

223兀3

排除BD,

当x=0时，代入/(x)=2sin《x+m，可得/(o)=百>i,满足题意，

代入〃尤)=孚sin1|x+T，可得“0)=竿、¥=1,不符合题意，

故A正确C错误.

故选：A

7.已知函数/(%)=2sinxcosx-2A/^cos2%+V^给出下列结论:

①Ax)的周期为兀；

TT

©x=-+kit(keZ)时f{x}取最大值；

6

③f(尤)的最小值是—2；

IT7T

④〃幻在区间-工,胃内单调递增；

63_

⑤把函数了⑺的图象上所有点向左平移g个单位长度，可得到函数g（x）=2sin2x的图象.

其中所有正确结论的序号题（）

A.①②B.①③C,①③④D.①②③

【答案】B

【解析】因为/（x）=2sinxcosx-2石cos?x+6

=sin2x—A/3Qcos,x-l）=sin2x-\/3cos2x

=2sin^2x-y^.

①因为r=m=s所以①正确；

②因为"x）=2sin2X[《+E]—g=0w2,所以②错误；

③当sin（2x_1）=_1,即x=£Z）时，

/（%）取最小值，且最小值是-2,所以③正确；

④当工£一泉]时，由/（_胃=_后〃0）=-若

7T7T

知"X）在区间-£,胃内并不单调，故④错误；

o5_

⑤把函数/（尤）的图象上所有点向左平移I■个单位长度，

可得到函数/（X+弓）=2sin（2x+2）故⑤错误.

故正确的是①③.

故选：B.

8.已知函数〃X）=2COS（0X+3-6（。＞0）在0*上恰有2个零点，则。的取值范围为（）

A.[18,22）B.[22,42）

C.（18,22]D.（22,42]

【答案】B

【解析】因为：0,--,所以：CDX+—E.,

JX4

令：2cos［妙+；卜百二0,则得：85（3+三］=/.

因为：〃尤『侬陞+,,君在06上有2个零点,

1371,CD兀712371口―，八

所以：-<—+-<—,解得:224。<42.

61236

故。的取值范围为：［22,42）,故B项正确.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.关于函数/（x）=gcos［：U-2］的图象和性质，下列说法正确的是（）

A.关=S?T是T函数〃外的一条对称轴

O

B.［可,0）是函数“X）的一个对称中心

14

C.将曲线y=：Sin2x向左平移7?r个单位可得到曲线y=〃力

2o

也1

D兀1

---

2的值域为42

【答案】ABD

【解析】依题意，因为/（x）=gcos[T兀—2x]=；cos12x—子

1A。5兀/11"5兀1

=—cos2x--------4兀=—cos2x----

2I4）2L4；

令2x-空=kn,keZ,x=-+—,k^Z,当左=0时，x,

4288

所以X=?STT是函数/（X）的一条对称轴，所以A选项正确;

O

（另因为/停］=:cos（斗兀-2x出"cos4兀］，即当无=些时，函数〃x）取得最大值，所以片乎

yo724o7228o

是函数〃元）的一条对称轴）;

人c37r,7T7rrC7T/7T_./7T

之2%------KTlT—,kwZ,x-1-----，左1£Zr,当K1—0,X——,

42288

所以（g,o]是函数〃尤）的一个对称中心，所以B选项正确；

（另因为dW]=（cos（4兀一2xW〕=1cos?=0,即x=W是函数〃x）的零点，所以（?,o]是函数

\o）Zk4o7Z2okoJ

“X）的一个对称中心）.

因为/(x)=gcos12x—+1.571711.

=—sin2x------+-=—sin

2422

又将曲线y=：sin2x向左平移萼个单位可得到曲线y=（sin

，所以C选项不

282

正确;

.，兀,Y,3兀)(兀3兀］.A、3兀、>/2.

当无©1-5,0,W|^2x+—,则ncos12x+彳Je---,1

得函数〃x）的值域为-冬g，所以D选项正确.

故选：ABD

10.函数/（x）=Asin（0x+9）[A>O,0>O,|d<2的部分图象如图所示，则（）

A.〃x）的最小正周期为兀

C.“X）的一条对称轴方程为工=-？

6

D./（x）的单调递增区间为（-加+等,-E+%住eZ）

【答案】AD

【解析】由图像知函数/（x）=Asin（0x+9）（A>O,0>O,[d<]J的最小值为-2,最大值为2,

2兀

T=——=兀=>。=2,所以A正确;

co

71j7C-

+夕=5+2左兀cp=——+2上771,左7£Z,

因为Id<］，所以左=o#=—'则B错误；

所以"%)=2sin(2x-V}

贝!J对称轴为2%—二=4+而,左£Z=>x=q+",k£Z,

6232

所以尤=一5兀?不为其对称轴，即c错误；

6

JTJTJTTTJT

因为---F2kn<2x<—+2kji=>----卜kn<x<一+kR,

26263

所以其单调递增区间为1-£+也，三+版)上eZ,所以D正确;

故选：AD

11.已知函数〃x)=co阂tanx|,则()

A.〃力为偶函数

B.-兀,-曰是〃x)的一个单调递增区间

c.f(Tt+X)=-f(x)

D.当时,/(x"/(。)

【答案】ACD

【解析】因为〃%)的定义域为］x［+关于原点对称，

且/(-x)=cos(f)|tan(-x)|=8sx|tanx|=〃x),所以/(x)是偶函数，故A正确；

因为〃一无)=0")?)=一字所以止无)>/［力

且「-兀，-亨］兀,-弓］,所以［-私-g］不是函数的递增区间，故B不正确；

L4」L1)L2J

/(兀+x)=cos(兀+x)卜an(兀+%)|=-cosx|tanx|=-f(x),故C正确；

因为当时'cosx>0,tanx>0,sinx>0,所以/(x)=sin%20,

同理，当尤0卜I万IT,0时，/(x)=-sinx>0,即xeI卜JTJ.T।时，/(x)>/(0)=0,故D正确.

故选：ACD.

12.已知函数〃x)=gtanx卜in2H+cosx|cosx］,则下列结论正确的是()

A.y（x）的最大值为i

B.“X）的图象关于点仁，对称

C.“X）在卜，1］上单调递增

D,存在ae（0,2兀），使得〃&一%）=〃了）对任意的》《11都成立

【答案】ABC

【解析】A选项/(x)<：tanxsin2x+|cosx|-|cosx|=si.22

sinx+cosx=1,且〃。)=1,A正确;

B选项：/（兀一x）=；tan（兀一x）卜in（2兀一2x）|+cos（兀一x）|cos（7i-x）|

1

tanx|sin2x|-cosx|cosx|=-/(x),

2

因为小-x）=-〃x）,所以〃尤）的图象关于点对称，B正确;

(3无

C选项：当时，2%£(2兀,3兀),/(x)=—tanx|sin2x|+cosx|cosx|

=-tanxsin2无一cos?尤=in2x-cos?x=-cos2x，

2s

/（无）在区间上单调递增，c正确;

D选项：若存在二«0,2兀)，使得=/⑺对任意的xeR都成立，

取％=0得〃a)=l,即gtandsin2a|+cosa|cosd=1,

取％=兀得/(a-兀)=一1,即工tani•卜in2/一cosajcosd=-1,所以tan/sin2M=0,

由。«0,2兀）,得。二兀，所以〃兀一x）=/（x）,由B选项知/（兀一%）=—/（%）,

得〃"）=0,不符合题意，所以不存在。«0,2元）,

使得%）=〃％）对任意的xeR都成立，D错误.

故选：ABC

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知函数/（x）=2sin（5+°）（0>O）的图象如图，若到x轴的距离均为1,且点A的横坐标为

22

【解析】设A（XA，1）,B（XB-1）,\AB\=7（XB-XA）+（1+1）=J4+

兀T12兀7T/日.

-XB~XA=~-----=X-X=—,斛何：co=4,

422coBA4

兀ITTT

2sin14义专+0=1,:.—+cp=—+2kn[J<,eZ）,

12

解得：°=—£+2fai（k£Z）,〃x）=2sin（4x—看+2左兀）=2sin（4x--^-j,

3K3兀71

2sin=—2cos—=—A/3.

T-66

故答案为：-6.

14.已知函数〃x）=sin（2x+0）,其中。为实数，且闸＜兀，若/⑺4/弓）对xeR恒成立，且

兀），则〃尤）的单调递增区间为.

【答案】kTt+-,kit+--（左eZ）

_o3J

【解析】由〃尤）＜/（I对xeR恒成立知，2xg+°=2际土g伏eZ）,

＜o）o2

得到夕=2防i+/或夕=2E—2,

66

因为悯＜兀，所以0=m或夕=-?,

66

当夕=£时，/（x）=sin|^2x+^,

止匕时/[■1]=sin[兀+£]=一；,/（7r）=sin^27i+^=1,

/兀），不合题意，舍，

当夕=-不时，/(x)=sin^2x-yI,

此时/[卜小专)=：,小”sin**],

佃>/(冷，符合题意，

所以/(x)=sin(2x-gj,

所以由2bi-—<2x-—<2kn+—(keZ)

262

^kit+—<x<kn+—,A:GZ,

63

所以“X)的单调递增区间是E+2，E+W住ez).

_o3

故答案为：E++W(左eZ)

15.函数y=cos2x+sinx-2的最小值为.

【答案】-4

【解析】因为y=cos2尤+sinx-2=l-2sin。x+sinx-2=—Zsin?尤+sinx—1=—21sinx-1J,

且有一IVsinxVl,当sinx=-l时，函数y=cos2x+sin尤一2的最小值为T.

故答案为：—4

16.已知函数，=sin（ox）（0>O）在区间[0,兀]上是严格增函数，且其图像关于点（4兀,0）对称，则。的值

为.

【答案】:或J

42

【解析】因为xe[0,7t],则。xe[0,（wt],函数y=sin（0x）（0>O）在区间[0,兀]上是严格增函数，

TT1

所以。V即K—,即0<@W—；

22

又因为y=sin（0x）的图像关于点（4兀,0）对称，贝1]5=E（keZ）,则关=任（ZeZ）,

所以4兀=在（keZ）,解得。=月（keZ）,

CD4

结合O<0W:，所以0=9或;.

242

故答案为：;或

42

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

已知sina+cose=-』

(1)求sinccosa的值;

兀12

(2)右E<a<兀，求赤+c°s(万+0的值

【角军析】(1)sina+cosa=-g

22

贝lj(sina+cosaj-sina+coscr+2sincrcosa=—,

12

又sin21+cos2a=l,贝lj有sinacos1=一石

12

(2)(sina-cosa『=sin2cr+cos2a-Ismacosa=l-2x49

25251

77C

则卜ina-cosM=y，由,<二<兀，故sina>0、cosa<0,

即sina-cosa=—,

34

则有sina=—>coscr=--,

12125c525

贝I]--------+7--------r=---------F-----------=—+2x—=——

、sinacos(万+a)sina—cosa346

18.(12分)

已知函数f(x)=2sinxcosx+1-2cos2x,xeR.

⑴求函数“X)的最小正周期和值域；

⑵若xe[0,兀],求函数/(x)的单调递增区间.

【解析】(1)[SI/(x)=2sirixcosx+1-2COS2X=sin2x-cos2x=^sin

故的最小正周期为值域为[-形,夜].

(2)<2x-—<2kn+—^keZ),解得far-■巴V尤4E+空优eZ).

24288

37r77T

又了目0,可，则“X)的单调递增区间为0,—,丁，兀,

|_OJ|_O_

19.(12分)

函数Ax)=Asin(s+夕)[A>0,。I夕|<^j的部分图象如图所示.

⑴求函数y=/(尤)的解析式;

TT1

(2)将函数y=/(尤)的图象向左平移七个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的g倍，纵坐标不

7T

变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在0,-上的值域.

11兀(兀\2兀

【解析】(1)观察图象可得A=2,函数/(x)的周期7=不丁-=兀=一，解得0=2,

12112/CO

即/(x)=2sin(2x+0),由/[-展]=2sin[-£+0)=0,得一己+夕=也，

兀一

即。=AJIH—,keZ,

6

—7―।.TC|-.1兀

而1。1<彳，则。=:，

26

所以函数y=/⑴的解析式是/(x)=2sin「X+2]

7T

(2)将〃尤)的图象向左平移三个单位长度，

12

可得到函数y=2sin2(尤+右)+弓=2sin12x+，j的图象，

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的g,纵坐标不变，

得到函数g(x)的图象，则g(x)=2sin+1,

当时，^<4x+j<y,则一6v2sin[4x+：)w2,

所以-gwg(x)W2,

因此g(x)在上的值域为[-后,2].

20.(12分)

已知向量少二卜inox,6cos,B=gcos0x,；j,其中0>0,f(x)=a-b,且函数y=/(x)的对称轴间

的距离最小值为

2

⑴求『⑺的解析式;

(2)方程/(x)=7%在0,—上有且仅有两个不同的实数解,求实数优的取值范围.

【解析】(1)f(x}=a-b=—sincoxcoscox+^-cos2cox

1「N9

二—sm2。％H---cos2ox

44

1.

2I3j

由于函数y=〃%)的对称轴间的距离最小值为,

从而函数y=的最小正周期为万，所以2G=2,。=1.,

综上，/(x)=1sin^2x+^.

(2);元£0,—,/.0<2x<—,—<2%+—<—,

L12J6332

“X）单调递增，此时

332、’L+2

.•.