2024-2025学年云南省大理州某中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省大理州民族中学高三（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1・2-+=（）

A.|+|iC.|+1iD.|-1i

2.已知不等式/一3x+2WO的解集为4,不等式三<0的解集为B,贝必是8的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量沅，n,且|沅|=|元|=1,|3记一2元|=，!回，则向量沆，元的夹角为（）

A.0D.TT

4.将%i，x2,0每个数均加上9,得到第1+9,次+9，…，xn+9,则两组数数字特征不同的是（）

A.平均数B.方差C.极差D.众数的个数

5.已知Z,m是两条不重合的直线，a,/?是两个不重合的平面，下列结论正确的是（）

A.若2ua,mu',I1m,则a1夕

B.ca,me/?,a1S，则21m

C.若=a±S，mca,mil,则7nls

D.若Eua,me/?,a//p,则〃“n

6.已知函数/（%）=仇％+a/一3汽在0,3）上单调递增，贝I]Q的取值范围为（）

4499

A.[§,+8）B.（0,-]C.[§,+OO）D.（0,-]

7.已知抛物线C:*=2px（p>0）的焦点F到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点，若4（2,3）,则|MF|+

|M川的最小值为（）

A.8B.6C.5D.4

8.十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式s讥久=久—盘+2一4+…+（-1厂】#士+…，（其中

3!5!7!''（2n-i）\'

ill

xER,neN*,n!=1X2X3X...Xn,0/=1）,现用上述公式求1一25—…+

2!4!6!

访%+…的值，下列选项中与该值最接近的是（）

A.sin30°B.sin330C.sin36°D.s仇39°

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于函数/（久）=s讥久+cosx,下列说法正确的有（）

A.2兀是f（久）的最小正周期B.关于6,0）对称

C.在［0,刍的值域为D.在已初上递增

10.已知抛物线「：%2=2py（p>0）,过其准线上的点T（t,—1）作r的两条切线，切点分别为4、B,下列说

法正确的是（）

A.p=4B.当力=1时，TA1TB

C.当t=1时，直线力B的斜率为2D.直线4B过定点（0,1）

11.观察图象，下列结论错误的有（）

A.若图中为/（%）图象，则/O）在工=-2处取极小值

B.若图中为尸（久）图象，则/（久）有两个极值点

C.若图中为y=（久-2）（0）图象，则/（久）在（0,2）上单调递增

D.若图中为y=（%+2）/（©图象，则/（£）<0的解集为｛x|—23xW2｝

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.等差数列｛曲｝的前n项和为%,若S3=6,59=27,则56=•

13.现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生互不相邻，则不同的

站法为.

2

14.已知（1—2x）2°24=劭+arx+a2x+—Fa2024K之。?"，则+2a2+3a3H---F2024a2024=.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题12分）

已知AABC内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且，Wbs讥C=3ccosB.

（1）求角B的值；

（2）若6=4,ac=16,求ZiABC的周长.

16.（本小题12分）

若数列｛a｝是等差数列，则称数列｛aj为调和数列.若实数a、b、c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中

项.

⑴求：和1的调和中项;

(2)已知调和数列｛an｝,a】=6,a4=2,求｛an｝的通项公式.

17.(本小题12分)

AC=AD=BC=BD=5,CD=6.

(1)求证：AB1CD；

(2)求二面角B-AC-D平面角的余弦值.

18.(本小题12分)

每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区

高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学

生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],

(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

,频率

0.15--------

05

04

03

02

01。246824

1018日平均阅读时间(小时)

(1)求a的值；

(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在

(8,10],(10,12]两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均

阅读时间在(10,12]内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

19.(本小题12分)

设椭圆C；捻+，=l(a>6〉0)的左焦点为尸，上顶点为8,离心率为?，。是坐标原点，且|。8|•

\FB\=<6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/：y=依与椭圆C在第一象限内的交点为P,|PB|=|PO|,直线BF与直线［的交点为Q,求小

BPQ的面积.

参考答案

l.D

2.C

3.C

4.A

5.C

6.C

l.D

8.B

9.AC

10.BD

11.ABD

12.15

13.288

14.4048

15.解：(1)因为=3ccosB,所以V3s讥BsinC=3sinCcosB,

又C为△ABC内角，sinC0,所以=3cosB,

显然8=]不满足=3cosB,即有tcmB=y[3,

而B£(0,兀)，所以B=全

(2)由余弦定理得炉—a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac,

b—4,ac—16,则a+c=yjb2+3ac—8,

所以△ABC的周长为a+b+c=12.

16.1?：(1)设3和1的调和中项为b,依题意得：3、卜1成等差数列,

所以仁亨=2,解得：

b22

11

故目和1的调和中项为-;

(2)依题意，｛，｝是等差数列，设其公差为d,

111

则3d=5-£今d=d，

zoy

所以工=工+(n一l)d=11(n-1)=,

由1al6918

I，,18

故斯=向•

17.1?：(1)取CD的中点E,连接2E,BE,

由力C=4D,所以4E1CD,

由8c=BD,所以BE1CD,

又BECAE=E,BE、AEu平面ABE,

所以CD1平面ABE,

又ABu平面ABE,

所以力B1CD；

(2)由(1)知CD_L平面ABE,又CDu平面BCD,所以平面BCD_L平面ABE,

由4C=8C=5,CE=3,所以4E=BE=4,

又力B=4,所以回ABE为正三角形，

取BE,BC的中点。，F,贝!M01BE,

又平面BCD1平面ABE,平面BCDC平面力BE=BE,4。u平面4BE,

所以力。1平面BCD,

又OF,OEu平面BCD,

所以4。1OF,AO1OE,

因为。F〃C。，CD1OE,

所以。F1OE,

则。4OF,OE两两垂直，

以。为原点，。尸,。&。4所在的直线分别为居％2轴，建立如图所示的空间坐标系:

贝1口(。,。,2q，5(0,-2,0),C(3,2,0),£>(-3,2,0),

所以说=(0,2,2门)，AC=(3,2,-2A<3),CD=(-6,0,0),

设％=(Xi，y1,zi)是平面48c的一个法向量，

所以叵%=°,即色+2爪zi1,

（汨•AC=0+2yl—2v3zt=0

令Z]=所以%i=4,Yi=—3,即4=（4,—3,，W）；

设近=（%2，、2*2）是平面ZCO的一个法向量，

所以花口=°,叫/°,

显•4C=0出2+2y2-2V3z2=0

令Z2=V-3,则4=0，＞2=3,即底=（0,3,V~3）»

设二面角B-AC-D的平面角为0,。为锐角，

<21

所以cos。=|cos〈苏尼）|=篇露

二面角B-AC-D平面角的余弦值为署.

18.解：（1）由频率分布直方图得：2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01）=1,

解得a=0.10；

（2）由频率分布直方图得：这1000名学生中日平均阅读时间在（8,10],（10,12]两组内的学生人数之比为

0.15:0.1=3:2,

若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在（8,10]内的学生中抽取|x10=6（人）,

在日平均阅读时间在（10,1刀内的学生中抽取4人,

现从这10人中随机抽取3人，则X可能取值为0,1,2,3,

P(x=o)3将/P(X=1)=*崭4

P(X=2)=娶-受3