2024-2025学年天津市某中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市耀华中学高三(上)第一次月考数学试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.全集U={1,2,3,456},集合4={1,3,5},B={2,4},则()

A.U=4U5B.U=(CMUB

C.U=AkJ(CyB)D.［/=(CyX)U(CyB)

2.a|x-l|<2成立”是<0成立”的()

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

已知函数，则=/(久)的图象大致为()

3./0)=人cmxy

4.若函数y=cos®%+凯但eN*)的一个对称中心是第0),则3的最小值为()

A.1B.2C.4D.8

5.函数y=(sinx+cosx)(smx—cos%)^()

TTTT

A.奇函数且在［0司上单调递增B.奇函数且在岳河上单调递增

C.偶函数且在［0刍上单调递增D.偶函数且在由r］上单调递增

6.在等差数列{cm}中，。1=0,公差dWO,若Gm=%+做+…+的，则根的值为()

A.37B.36C.20D.19

7.记实数第1，%2，…，孙中的最大数为M。%{%1，第2,…,%九}，最小数为相讥…以九}则根讥{%+I,"

~x+1,—x+6}}=()

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37

A.-B.1C.3D."

8.已知函数I若三比1，R,%i#=x2>使得/'01)=/(外)成立，则实数a的取值

范围是()

A.a<2B,a>2C.-2<a<2D,a>2或a<—2

9.已知f(x)=W^，9(x)=%k€N*),对任意的c>1,存在实数a,b满足0<a<b<c,使得

/(c)=/(a)=g(b),则k的最大值为()

A.2B.3C,4D.5

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知方程cos2%+4sinx-a=0有解，贝!Ja的取值范围是.

11.已知％>0,y>0,%+2y+2xy=8,则汽+2y的最小值为.

11

12.已知s讥a-sinS=--,cosa-cosp且a,S均为锐角，贝(Jtan(a-£)的值等于.

13.函数y=1川％-1|的图象与函数y=-2COS71X,(-2<%<4)的图象所有交点的横坐标之和等于

14.将y=s讥2%的图象向右平移0单位(0>0),使得平移后的图象仍过点卷的，则9的最小值为.

15.已知数列｛an｝满足臼=1,a2且斯+2="—，则该数列的通项公式an=

zanan+i

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题14分)

在△ABC中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,且4B,C成等差数列.

①若b=713,a=3,求c的值；

(II)设t=sinAsinC,求t的最大值.

17.(本小题15分)

TT1

已知函数/'(久)=sin(3x+乎)(3>0,0<^<7T),其图象经过点M(f),且与X轴两个相邻的交点的距离为

7T.

(1)求/1(%)的解析式;

QC

(2)在△ABC中，a=13,f(A)=f,f(B)=专求△ABC的面积.

18.(本小题15分)

在三棱柱4BC-&B©中，侧面4BB遇1为矩形，AB=2,AA1=2^2,。是的中点，8。与交于点

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0,且C。1平面

(1)证明：BC1AB1；

(2)若。。=。4求直线CD与平面48C所成角的正弦值.

19.(本小题15分)

已知数列｛即｝前n和为Sn,S.Sn=2an-l,(neN*).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)令，j=nan，求数列伯„｝的前n和为Tn；

(3)记册=3'-2-(-1)"4M(4去0),是否存在实数九使得对任意的n6N*,恒有cn+i>cn?若存在,

求;I的取值范围；若不存在，说明理由.

20.(本小题16分)

已知a为实数,函数/(久)=a-Inx+x2—4x.

(1)是否存在实数a,使得/(%)在x=1处取极值？证明你的结论；

(2)若函数f(x)在[2,3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

⑶设g(x)=2alnx+x2-5x-^-^,若存在物e[l,e],使得/(沏)<gg)成立，求实数a的取值范围.

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参考答案

l.D

2.2

3.X

4.B

5.C

6.A

l.D

8.4

9.5

10.[—4,4]

11.4

12T

13.6

14-6

15.-7

n!

16.解：(I)因为4B,C成等差数列，所以28=A+C.

JT

因为“+B+C=ii,所以B=§.

因为b=JR,a=3,b2=a2+c2-2accosB,所以c?—3c—4=0,解得c=4,或c=—1(舍去).

(II)因为A+C=|TT,所以，t=sinAsin(^--A)=sinA(^-cosA+^sinA)

=^sin2A+\l-c；s24)=1+lsin(2X-^).

因为。<4(等所以，一"24—?〈等.

所以当22年=夕即44时，t有最大值*

17.1?：①依题意T=2兀，a)=l,

函数/(%)=sin(%+cp)

•••展)=sin。+0)=且0<(p<n9

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717147T5

•••§<§+0<3n,=/

71

0=于

n

，/(%)=sin(x+—)=cosx

②•・,/(Z)=cosA=|,f(B)=cosB=[A,BE(0,y),

□,LD4

,A4,n12

・••sizM=-,sinB=—,

sinC=sin(X+B)=sinAcosB+cosAsinB=

•••在三角形ABC中，森=焉，；.b=lS,

S△ABC=^absinC=1x13x15xf^=84

，，65

18.⑴证明:由题意，因为4BB遇i是矩形，

。为441中点，AB=2,441=2/AD=诟

所以在直角三角形AB/中，tan/ABiB=需=挈，

DD\2

在直角三角形48。中，tanNNBD=券=坐，

AD2

所以NABiB=4ABD,

又NBABi+NABiB=90。，所以43犯+428。=90°,

所以在三角形ZB。中，Z.BOA=90°,

即B。1ABr,

又因为C。1侧面2BB1A1，481u侧面ABBiAi，

所以C。1ABr,

因为BDnCO=0,所以ABil平面BCD,

因为8cu平面BCD,

所以BC1AB1.

（2）解：如图，分别以。。，OB1,OC所在的直线为x,y,z轴，以。为原点，建立空间直角坐标系,

则4(0,-宇0),B(—竽0,0),C(0,0等)，。争,0),

所以荏=（一孚竽,0）,前=（。,2,,2『）,方=（当,0,一学,

设平面ABC的法向量为元=（x,y,z）,

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一型X+"y=0

则根据，2后，2后_C，可得3=(1,M，-")是平面4BC的一个法向量,

(力+丁z=0

设直线CD与平面4BC所成角为a,则sina=|cos<n,CD>\=而篇=^~，

所以直线CD与平面力BC所成角的正弦值为喈.

19.解：⑴令"=1,解得的=1,

Sn-2an—1,

Sa—1=2<ln—1—1J

两式相减得：an=2an_1(

二数列｛an｝是首项为1,公比为2的等比数列，

n

•••an=2t；

n1

(2)由(1)得:bn=n-2-,

则Tn=1-2°+2-21+...+n-2'T①

12n

2Tn=l-2+2-2+...+(n-1)-2吁1+n-2②

由②一①得：Tn=(n-l)-2"+l;

(3)当n为奇数时，

71

Cn+1=3+1—2•4c1n+1,

n

cn—3+2-Aan,

nn

两式做差得：Cn+i-C„=2-3-3X*2>0

移项得：2(nCN+)

解得：A<1,

当九为偶数时，

n

Cn+1=3+1+2-Aan+1，

n-

cn=32-Aan,

两式做差得：Cn+1-C“=2・3n+3X*2n>0

移项得：A>-|-(|)n(n€N+)

解得：A>—1,

故九为奇数时，A<1且2。0；

九为偶数时，入>—1且2H0.

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20.解：(1)函数定义域为(0,+8),

f(%)=>2%-4=21…,

XX

假设存在实数a，使/'(x)在尤=1处取极值，则/''(1)=0,a=2,

此时，尸(乃=2(%；)2,

.•・当0<刀<1时，f(x)>0,/(x)递增;当％>1时,f(%)>0./(%)递增.

%=1不是/'(久)的极值点.

故不存在实数a,使得/Q)在x=1处取极值.

(2),(久)=2(I)j+a-2,

①当aN2时，((久)20,•••/(%)在(0,+8)上递增，成立；

②当a<2时，令［(X)>0,则无>1+普?或％<1—JP，

/0)在(1+善?,+8)上递增，

•••/(尤)在23］上存在单调递增区间，

1+j2。<3，解得：-6<a<2,

综上，a>-6.即实数a的取值范围是(-6,+8).

(3)在［l,e］上存在一点久o，使得f(xo)<9(比0)成立，

即在［l,e］上存在一点尤。,使得做功)<0,

即函数h(x)=x+^^一。伍%在［l,e］上的最小值小于零.

,1+aa%2—ax—(1+d)

w二厂-H

_(x+l)［x—(1+a)］

=，

①当a+1Ne,即aNe-l时,Q%)在［1冏上单调递减,

所以以%)的最小值为h(e)，

由h(e)=e+♦:4-口<0可得a号，

因为巴?>e—1,所以a>”早；

e—1e—1

②当a+lWl,即a40时，h(%)在［1冏上单调递增，

所以九(%)最小值为低1),

由h(l)=1+1+a<。可得aV—2；

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③当1<1+aVc,即0<a<e-l时，

可得力(%)最小值为h(l+a)=2+a-aZn(l+a),

因为0<ln(l+a)<1,所以，0Va①(1+a)<a,

故h(l+a)=2+a—aZn(l+a)>2,

此时不存在久o使h(%o)<0成立.

综上可得所求a