苏科版八年级数学上册重难点突破训练：全等三角形中的动态问题（原卷版+解析）

专题04难点探究专题：全等三角形中的动态问题

聚焦考点

类型一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题

类型二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题

类型三全等三角形中的动点综合问题

类型一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题

例题：（2021•山东临沂・八年级期中）如图，垂足为点A,射线LAB,垂足为点B,AB=12cm,

AC-6cm.动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点O在射线上，随着E点运动而运

动，始终保持EO=CB.若点E的运动时间为々＞0）,则当t=个秒时，QEB与YBCA全等.

【变式训练】（2021.全国•七年级专题练习）已知：如图，在长方形98中，48=6,40=10延长sc到点

E,使CE=4,连接OE,动点尸从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-以向终点A运动,

设点厂的运动时间为f秒，当，的值为时，AAB/和AOCE全等.

类型二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题

例题：（2019・江苏•宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，ZB=90°AB//DF,AB=3cm,BD=Scm,

点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC±CE,若AC=CE，则DE的长为.

【变式训练】

1.（2020•江苏・泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，AABC中，点。在边上，DE±ABE,DH

_LAC于H,且满足。尸为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足。G=Z）R若AE=4cm,贝UAG=

_____cm.

2.（2021•重庆八中八年级开学考试）如图，在RfAABC中，ZACB^90°,AC=6,BC=8,AB=10,A。平分/

CAB交BC于。点，E,歹分别是AD,AC上的动点，则CE+所的最小值为

类型三全等三角形中的动点综合问题

例题：（2022•辽宁葫芦岛•八年级期末）如图，在AABC中，/BAC=90。,AB=AC.点。是直线BC上一动

点（点。不与点8,C重合），ZDAE=90°,AD=AE,连接CE.

（1）如图1,当点。在线段3c上时，直接写出8C,8与CE之间的数量关系；

（2）如图2,当点。在边3C的延长线上时，请探究线段BC,8与CE之间存在怎样的数量关系？并说明理由;

（3）如图3,若点。在边CB的延长线上，且点A,E分别在直线的两侧，其他条件不变，若C£>=10,3C=6,

直接写出CE的长度.

【变式训练】（2022•辽宁葫芦岛•八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A,3重合），分别以

AC,BC为边在A8同侧作等边入4口）和等边△8CE,连接AE,BD交于点、P.

（1）观察猜想：

1.AE与BD的数量关系为；

2./APD的度数为；

（2）数学思考：

如图②，当点C在线段A3外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请

你写出正确结论再给予证明.

j课后训练：

••

一、填空题

1.（2022.江苏・景山中学七年级期末）如图，CA±BC,垂足为C,AC=2cm,BC=6cm,射线

垂足为8,动点尸从C点出发以2c7Ms的速度沿射线CQ运动，点N为射线上一动点，满足尸N=AB,

随着尸点运动而运动，当点尸运动秒时，ABC4与AP8N全等.

2.（2021.贵州・北京市日坛中学贵阳分校七年级期中）如图，B,C都是直线BC上的点，点A是直线BC上

方的一个动点，连接4d4。得到右筋。，D,E分别为AC,上的点，且AD=B"AE=3C,DE=DC.当

线段AC与BC具有的位置关系时满足DELAB.

3.（2022・全国•八年级课时练习）如图，在AABC中，A8=AC,。为线段5c上一动点（不与点&C重合）,

连接AD,作=且AD=AE,连接CE,当CE〃A8,ZBAr>=36。时，ZDEC=度.

BDC

4.（2020•广西・桂林市田家炳中学八年级期末）如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，E、尸分别为AD、

BC的中点，P为对角线8。上的一个动点，则AP+EP的最小值的是

二、解答题

5.（2020•全国•八年级课时练习）如图，在MAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P、0是边AC、BC上的

两个动点，POLAB于点。，QELA8于点E.设点尸、。运动的时间是f秒（。0）.若点P从C点出发沿

CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点

。从点2出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当r为何值时，&APD

和△QBE全等.

6.（2020・山东济南•七年级期末）如图，在AA5c中，ZACS=90°,AC=BC=2,点。是射线8c上一动点,

过点8作BELAD,垂足为点E,交直线AC于点P.

图(1)图⑵

(1)如图(1),若点。在BC的延长线上，且点E在线段AO上，试猜想AP,CD,8C之间的数最关系,

并说明理由;

(2)如图(2),若点D在线段BC上，试猜想AP,CD,BC之间的数量关系，并说明理由.

7.(2022•江苏•八年级课时练习)AABC中，AB=AC,点。是射线C2上的一动点(不与点2、C重合),

以AD为一边在AD的右侧作AADE,使AD=AE,/DAE=NBAC,连接CE.

(1)如图1,当点。在线段上，且/BAC=90。时，那么/OCE=________度；

(2)设NBAC=a,4DCE=B.①如图2,当点。在线段C3上，/氏4690。时，请你探究。与£之间的数

量关系，并证明你的结论；②如图3,当点D在线段的延长线上，/54个90。时，请将图3补充完整,

写出此时a与夕之间的数量关系并证明.

8.(2022•云南・景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室八年级期末)如图1,点P,。分别是等边AABC边

AB,8c上的动点，点P从顶点A向点8运动，点。从顶点8向点C运动，两点同时出发，且它们的速度

都相同.

A

A

Q

Q图i图2

(1)连接A。，CP交于点M则在尸、。运动的过程中，NCMQ的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若

不变，则求出它的度数；

(2)如图2,若点尸、。在运动到终点后继续在射线A8,8c上运动，直线AQ、CP交点为M,则NCA/Q的大

小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

9.(2020•全国•八年级专题练习)如图，在AABC中，。为AB的中点，AB^AC^lOcm,BC=8cm.动点

尸从点8出发，沿3c方向以3c〃z/s的速度向点C运动；同时动点。从点C出发，沿C4方向以3c机/5的速

度向点A运动，运动时间是笈.

(1)在运动过程中，当点C位于线段尸。的垂直平分线上时，求出/的值；

(2)在运动过程中，当VBPD0VCQP时，求出，的值；

(3)是否存在某一时刻入使ABP。丝ACPQ?若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

10.(2019•内蒙古•赤峰市松山区大庙中学八年级阶段练习)已知：如图，4=90。，AB//DF,AB=3cm,

比＞=8cm,点C是线段上一动点，点E是直线DR上一动点，且始终保持ACLCE.

(1)证明：ZACB=NCED；

(2)若点C在线段8。上满足AC=CE时，求DE的长？

(3)在线段HD的延长线上，是否存在点C,使得AC=CE,若存在，请求出8c的长度；若不存在，请

说明理由.

11.(2022・安徽•九年级期末)如图，R/AAC8中，ZACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动点，连结

AE,i^AFlAES.AF^AE.

(1)如图1,过/点作即LAC交AC于。点，求证：FD=BC；

(2)如图2,连结2尸交AC于G点，若AG=3,CG=1,求证：E点为BC中点.

(3)当E点在射线上，连结8尸与直线AC交子G点，若8C=4,BE=3,则=7=.(直接写

出结果)

12.(2022・福建•厦门市松柏中学八年级期末)如图所示，已知2(-2,0),C(2,0),A为y轴正半轴上

的一点，点。为第二象限一动点，点E在8。的延长线上，C。交A8于点E且/5DC=/BAC.

y

w

⑴求证：ZABD^ZACD；

(2)求证：A£＞平分NCDE；

(3)若在。点运动的过程中，始终有。C=D4+D8,在此过程中，/BAC的度数是否发生变化？如果变化,

请说明理由；如果不变，请求出/BAC的度数.

专题04难点探究专题：全等三角形中的动态问题

聚焦考点

类型一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题

类型二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题

类型三全等三角形中的动点综合问题

类型一利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题

例题：（2021•山东临沂•八年级期中）如图，CALAB,垂足为点A,射线垂足

为点8,AB=12cm,AC=6cm.动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动

点D在射线上，随着E点运动而运动,始终保持瓦>=.若点E的运动时间为t{t>0）,

则当t=个秒时，.DEB与YBCA全等.

【答案】2或6或8

【解析】

【分析】

分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上,再分别分成两种情况AC=BE,AB=BE

进行计算即可.

【详解】

解：①当E在线段上，AC=BE^,AACB-BED

AC=6,

，BE=6,

AE=12-6=6,

「•点E的运动时间为6+3=2（秒）.

②当E在BN上，AC=BE时,AACB济BED

•••AC=6f

二.BE=6,

AE=12+6=18.

；•点E的运动时间为18+3=6（秒）.

③当E在2N上，AB=BE^S,AACB三ABDE

,AE=12+12=24.

.••点£的运动时间为24+3=8（秒）

④当E在线段上，时，AACBMABDE这时E在A点未动，因此时间为0秒不符

合题意.

故答案为：2或6或8.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、S4S、ASA、A4S、

HL.注意：A4A、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

【变式训练】（2021•全国•七年级专题练习）已知：如图，在长方形A8CD中，AB=6,AD=10

延长3C到点E,使CE=4,连接OE,动点厂从点8出发，以每秒2个单位长度的速度沿

8C-CD-ZM向终点A运动，设点尸的运动时间为/秒，当/的值为时，△钻/和

△DCE全等.

【答案】2或11

【解析】

【分析】

分两种情况讨论，根据题意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案.

【详解】

解：:△DCE为直角三角形，

且AB=DC,

.•.当时，

有BF=2t=CE=4,

解得：1=2；

当△BAbgAOCE时，

WAF=CE=4,

此时胪=BC+CD+DA-2t=10+6+10-2t=26-2t=4,

解得：t=ll,

故答案为：2或11.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，注意到"XE为直角三角形，且A2=Z）C,故只有BF=2u4和

AF=26-2t=4两种情况.

类型二利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题

例题：（2019•江苏•宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，ZB=90°AB//DF9AB=3cm,

8。=8°利，点。是线段班）上一动点，点E是直线O尸上一动点，且始终保持ACLCE,若

AC=C&贝ljDE的长为.

【答案】5

【解析】

【分析】

根据全等得出对应边相等，即可得出答案.

【详解】

解：VZB=90°,AB//DF,

：.ZD=ZB=90°9

VAC±CE,

・・・ZACE=90°,

AZECD+ZCED=90°,NACB+NEC7>90。，

・・・ZACB=ZCED；

・•・在△ABC和△COE中

NACB=/CED

<NB=ND

AC=CE

ZXABC^ACDE（AAS）,

.'.AB=CD=3cmf

DE=BC=8cm-3cm=5cm

故答案为5.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

【变式训练】

1.（2020•江苏・泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，A48C中，点。在边BC上，DE

_L4B于E,DHLACH,且满足。E为AE的中点，G为直线AC上一动点，满

足DG=DF,若AE=4cm贝UAG=cm.

H

E,

B，-------------D-------------------------C

【答案】2或6.

【解析】

【详解】

•：DE±AB,DH±AC,

：.ZAED=ZAHE=9Q°.

在AAOE和△AOH中，

•?AD=AD,DE=DH,：.ZXAOE丝△ADH(HL),

.'.AH=AE=4cm.

:尸为AE的中点，Z.AF=EF=2cm.

在AF£)E和△G£)8中，

•?DF=DG,DE=DH,：./\FDE^AGDH(HL),

GH=EF=1cm.

当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=4-2=2cm-

当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=A+2=6cm-,

故AG的长为2或6.

2.（2021•重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,

AD平分NC4B交8C于。点,E,尸分别是上的动点，则CE+E尸的最小值为.

24

【答案】y

【解析】

【分析】

在AB上取点F,^AF'=AF,过点C作CHLA2,垂足为凡因为EF+CE=EF+EC,推出

当C、E、9共线，且点尸与H重合时，FE+EC的值最小.

【详解】

解：如图所示：在A2上取点尸，^AF'=AF,过点C作CHLAB,垂足为H.

：&£)平分/CAB,

：.ZCAD=ZBAD,

又AE=AE,

/.△AEF^AAEF(SAS),

：.FE=EF',

"：EF+CE=EF'+EC,

24

...当C、E、尸共线，且点尸与〃重合时，FE+EC的值最小，最小值为g,

24

故答案为：—.

【点睛】

本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线,

明确当C、E、9共线，且点尸与点H重合时，CE+EB的值最小.

类型三全等三角形中的动点综合问题

例题：(2022•辽宁葫芦岛•八年级期末)如图，在AABC中,ZBAC=90°,AB=AC.点。是

直线BC上一动点(点。不与点8,C重合)，ZDAE=90°,AD=AE,连接CE.

(1)如图1,当点。在线段BC上时，直接写出3C。与CE之间的数量关系；

(2)如图2,当点。在边3c的延长线上时，请探究线段8C。与CE之间存在怎样的数量关

系？并说明理由；

(3)如图3,若点。在边CB的延长线上，且点4£分别在直线的两侧，其他条件不变，若

CD=10,8C=6,直接写出CE的长度.

【答案】(l)CE+a)=BC,证明见解析

(2)CE=BC+CD,证明见解析

⑶CE=4

【解析】

【分析】

(1)根据条件A2=AC,ZBAC=90°,AD=AE,ZDAE=90°,判定之A4CE(SAS),

即可得出BO和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得至IJCE+CO=BC；

(2)根据已知条件，判定及43£)丝/VICE(SAS),得出2D=CE,再根据即可

得至UCE=BC+CD；

(3)根据条件判定(SAS),得出8O=CE,即可解决问题.

(1)

解：如图1,

图1

ZBAC=ZDAE=90°,

：.NBAD=/CAE,

AB^AC

在△A2D和"CE中，\ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^/\ACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BC=BD+CD=CE+CD,

(2)

线段BC,CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-a>.

理由：如图2中，由(1)同理可得，

E

7

BCD

图2

ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即ZBAD=ZCAE,

AB=AC

：.在4ABD和△ACE中，］/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.^ABD^AACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BD=BC+CD,即CE=BC+CD.

(3)

如图3,

由（1）同理可得，VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,即ZBAD=ZEAC,

同理，AABD咨AACE（SAS）,

：.BD=CE,

VCD=10,BC=6,

：.DB=DC-BC=4,

；.CE=4.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质.解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应

相等的两个三角形全等.解题时注意：全等三角形的对应边相等.

【变式训练】（2022.辽宁葫芦岛.八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A,B

重合），分别以AC,BC为边在AB同侧作等边"CD和等边ABCE,连接AE,交于点尸.

⑴观察猜想：

LAE与BD的数量关系为；

2.NAPD的度数为；

⑵数学思考：

如图②，当点C在线段AB外时，(1)中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；

若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

【答案】⑴①②60°

(2)上述结论成立.ZAP£)=60°,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据已知条件只要证明AOCB学/XACE,即可证明出AE于BO的数量关系，以及NAP。

的角度；

(2)根据△AC。，ABCE均为等边三角形，可知=AC,BC=EC,NDCA=NBCE=60。,

进而可知N£)CA+NACB=NACB+N2CE,即NZ)CB=NACE,从而可证AOCB咨△ACE'

(SAS),贝ljDB=AE,NCDB=NCAE,根据NOCA=以=60°可证NAPD=60°.

(1)

解：•.•△AC。和ACBE都是等边三角形，

：.AC=DC,CE=CB,ZACD=ZECB=60°,

,：ZACE=ZACD+ZDCE,ZDCB=ZDCE+ZECB,

：.ZDCB=ZACE,

：./\DCB^AACE,

：.AE=BD,ZBDC=ZCAE,

又：ZDOP=ZCOA,

：.ZAPD=ZACD=60°,

故答案是：AE=BD,60°；

(2)

上述结论成立，

VAACD,A8CE均为等边三角形,

：.DC=AC,BC=EC,ZDCA=ZBCE=60°,

：.ZDCA+NACB=ZACB+ZBCE,即/DCB=ZACE,

DC=AC

在4DCB和CE中，＜NDCB=ZACE,

CB=CE

.-.△DCB^AACE(SAS),

：.DB=AE,

ZCDB=ZCAE,

如图，设8。与AC交于点。，易知/OOC=NAOP(对顶角相等),

/.ZCDB+ZDCA=ZCAE+ZDPA,

：.ZDCA^ZDPA=60°,即/APZ)=60°.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与

判定是解决本题的关键.

i课后训练j

一、填空题

1.（2022・江苏•景山中学七年级期末）如图，CAA.BC,垂足为C,AC^2cm,BC=6cm,

射线垂足为B,动点P从C点出发以2cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射

线2M上一动点，满足PN=AB,随着尸点运动而运动，当点尸运动秒时，ABG4与

AP8N全等.

【答案】0或2或4或6

【解析】

【分析】

根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可.

【详解】

解：设点尸的运动时间为f秒，由题意得：CP=2tcm,

①当uO时，即点C与点P重合，满足4ACB咨ANBP,

②当点P在点B的左侧时，且满足AC=BP=2cm,

'：PN=AB,

:.AACB'PBN（HL）,

CP=2tcm,

BP=（6-2?）cm,即6-2/=2,

解得：t=2；

③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm,则AACB^APBN,

：.5P=（2r-6）cm,即2，一6=2,

解得：r=4；

④当点P在点8的右侧时，且满足8c=8P=6cm,则AACB/

BP=（2r-6）cm,即2/—6=6,

解得：t=6；

综上所述：当1=2或。或4或6秒时，A5G4与APBN全等.

故答案为。或2或4或6.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

2.（2021.贵州・北京市日坛中学贵阳分校七年级期中）如图，B,C都是直线3c上的点，点

A是直线BC上方的一个动点，连接AB,AC得到AABC,D,E分别为AGA3上的点，且

AD=BD,AE=BC,DE=DC.当线段AC与3C具有的位置关系时满足DE±AB.

【答案】AC1BC

【解析】

【分析】

利用“SSS，证明△AEZ）和△BC。全等，根据全等三角形对应角相等可得/AEZANC,再根据

垂直的定义证明即可.

【详解】

当AC_LBC时，DELAB-,

"：AC±BC,

.\ZC=90°,

AD=BD

,：在"西和△BCD中|AE=BC,

DE=DC

AAED咨ABCD（SSS），

：.ZAED=ZC=90°,

：.DE±AB.

故答案为：AC±BC.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题

的关键.

3.（2022・全国•八年级课时练习）如图，在AABC中，AB=AC,D为线段BC上一动点（不与

点、B、C重合），连接AD,作=且=连接CE,当CE11AB/BAD=36

时，/DEC=______度.

【答案】24

【解析】

【分析】

由“SAS'可证AAaDg/XACE,可得/8=NACE,可证zvlBC是等边三角形，可得/BAC=/

DAE=ZACB=ZACE=60°,即可求解.

【详解】

解：VZDAE=ZBAC,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,

即NBAD=NCAE,

AB=AC

在和AACE中I/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

/B=/ACE,

'JCE//AB,

ZBAC=ZACE,

:./BAC=/B,

：.AC=BC,

.♦.△ABC是等边三角形，

/BAC=NDAE=/ACB=/ACE=6。。,

.•.△D4E是等边三角形，

ZAED=60°,

：.ZD£C=180°-36o-60o-60o=24°,

故答案为：24.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明AABC是等边三角形

是解题的关键.

4.（2020・广西・桂林市田家炳中学八年级期末）如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，E、

厂分别为AD、BC的中点，P为对角线3。上的一个动点，则AP+EP的最小值的是

【答案】2君

【解析】

【分析】

连接CP,当点£,P,C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即

可.

【详解】

解：如图，连接CP,

由AO=CD,ZADP=ZCDP=45°,DP=DP,可得尸（SAS）,

：.AP=CP,

：.AP+PE=CP+PE,

，当点E,P,C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，

•.•四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD=AB=4,ZADC=90°,

是AD的中点，

：.ED=2,

由勾股定理得：CE=Jcr＞2+DE，="+2?=2遥，

故答案为：2石.

【点睛】

本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于2。的对称点C是解答此题的

关键.

二、解答题

5.（2020・全国•八年级课时练习）如图，在RfAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P、。是

边AC、8C上的两个动点，PDLA8于点。，于点E.设点产、。运动的时间是才

秒（/＞（））.若点P从C点出发沿C4以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后

立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点。从点B出发沿8c以每秒1个单位的

速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当t为何值时，△4PD和AQBE全等.

二

apc

【答案】2s或4s

【解析】

【分析】

Q

分两种情况：①时，点尸从C到A运动，贝UAP=AC-CP=8-3f,BQ=t,求得Z=2,

Q

②仑§时，点P从A到C运动，贝|AP=3f-8,BQ=t,求得仁4.

【详解】

Q

解：①0勺＜§时，点P从C到A运动，贝UAP=AC-CP=8-3t,BQ=t,

当AADPdQBE时，

则AP=BQ,

即8-3t=t,解得：Z=2,

Q

②仑3时，点P从A到C运动，贝qAP=3f-8,BQ=t,

当AADP0MBE时，

则AP=BQ,

即3t-8=3

解得：t=4,

综上所述：当/=2s或4s时，△ADPWLQBE.

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定，正确进行分类讨论，不要漏解以及找到全等三角形对应

边相等列出方程是解题的关键.

6.(2020•山东济南•七年级期末)如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,点。是射

线BC上一动点，过点8作BELA。，垂足为点E,交直线AC于点P.

图(1)

(1)如图(1),若点。在BC的延长线上，且点E在线段AO上，试猜想AP,CD,BC之

间的数最关系，并说明理由；

(2)如图(2),若点。在线段上，试猜想AP,CD,BC之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)BC=AP+CD,理由见解析；(2)AP=BC+CD,理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意可得根据“ASA”可证△ACE^ZiBCP,可得CD=CP,即可求

出AP,CD,BC之间的数量关系；

(2)由题意可得NB4E=NPBC,根据“ASA”可证△ACD四△BCP,可得C£)=CP,即可求出

AP,CD,BC之间的数量关系.

【详解】

解：(1)BC=AP+CD,

理由如下：VZACB=90°,BELAD,

：.ZD+ZDAC=90°,ZD+ZDBE=90°,

：.ZDAC=ZDBE,S.ZACB=ZACD,AC=BC,

AACD丝ABCP(ASA),

：.CD=CP,

'：BC^AC^CP+AP,

：.BC=AP+CD,

(2)AP=BC+CD,

理由如下：VZACB=90°,BELAD,

：.ZP+ZPAE^90°,ZP+ZPBC^90°,

；./PAE=NPBC,且/ACB=NBCP,AC=BC,

：.AACD^ABCP(ASA),

：.CD=CP,

VAP^AC+CP,

：.AP=BC+CD.

【点睛】

本题考查了直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判

定与性质解决问题是本题的关键.

7.(2022•江苏•八年级课时练习)"8C中，A8=AC,点O是射线CB上的一动点(不与点

B、C重合)，以A。为一边在的右侧作使AO=AE,ZDAE^ZBAC,连接CE.

DB

(D如图1,当点。在线段CB上，且NBAC=90。时，那么NQCE=________度；

⑵设NBAC=a,ZDCE=P.①如图2,当点D在线段上，NA4cM0。时，请你探究

。与夕之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3,当点。在线段C8的延长线上，Z

8AC切0。时，请将图3补充完整，写出此时。与月之间的数量关系并证明.

【答案】⑴90

⑵①a+夕=180。，证明见解析；②a=尸，证明见解析

【解析】

【分析】

(1)易证即可证明ABAD也可得/ACE=NB,即可解题；(2)

易证NBA£»=NC4E,即可证明△BAD注△CAE,可得NACE=NB,根据NB+/ACB=180。

-a即可解题；

(3)易证/BAO=NC4E,即可证明ABA。q△◎£,可得/ACE=N8,根据NADE+/

AED+a=180°,NCZ)E+/CED+2=180。即可解题.

(1)•：ZBAD+ZDAC^90°,ZDAC+ZCAE^90°,AZBAD^ACAE,在△24。和ACAE

AB=AC

中，lzBAD=ZCAE,：./\BAD^/\CAE(SAS),：.ZACE^ZB,VZB+ZACB=90°,

AD=AE

：.ZDCE^ZACE+ZACB^90°；故答案为90.

⑵①•.,/•BAO+NZX4C=a,ZDAC+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在△血!£）和ACAE

AB^AC

中，＜NBAD=NCAE,：.^BAD^/\CAE(SAS),AZACE=ZB,'：ZB+ZACB=180°

AD=AE

ZBAD+ZBAE=a,ZBAE+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在ABAO和ACAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,.♦.△BAO也△CAE(S4S),AZAEC=ZADB,'：ZADE+ZAED+a=

AD=AE

180°,ZCDE+ZCED+°=180°,NCED=ZAEC+ZAED,：.a=p.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证A54Z)之

△C4E是解题的关键.

8.(2022•云南・景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室八年级期末)如图1,点P,。分别是

等边AABC边AB,8C上的动点，点P从顶点A向点8运动，点。从顶点8向点C运动，

两点同时出发，且它们的速度都相同.

(1)连接AQ,CP交于点M则在P、。运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，

则说明理由，若不变，则求出它的度数；

⑵如图2,若点P、。在运动到终点后继续在射线AS8C上运动，直线A。、CP交点为M,

则NCMQ的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

【答案】⑴不变；60°

⑵不变；120°

【解析】

【分析】

(1)通过证明△ABQ名△(24P(&4S)得到ZBAQ=ZACP,再利用三角形外角的性质即可求

解；

(2)同样通过证明△AfiQ丝AC4P(&4S)得到ZBAQ=ZACP,再利用三角形外角的性质和

三角形内角和的性质进行求解即可.

(1)

解：(1)点P、。在运动的过程中，NCW不变.

ABC是等边三角形，

/.ZABQ=ZCAP=60°,AB^CA,

又：点尸、。运动速度相同，

/.AP=BQ,且NABQ=NC4P,AB=AC,

：.^ABQ^^CAP(SAS),

：.ZBAQ=ZACP.

•：ZQMC=ZACP+ZMAC,

ZQMC=ZBAQ+Z.MAC=ABAC=60°

(2)

点尸、。在运动的过程中，NCMQ不变.

由(1)可知：△ABQ=ACAP,

/.ZBAQ=ZACP,

ZQMC=NBAQ+ZAPM,

/.ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-APAC=180°-60°=120°,

...点P、。在运动的过程中，NCMQ不变.

【点睛】

本题考查了动点问题，涉及到了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质和三角形的内

角和是180。等知识，解题关键是正确找到全等三角形.

9.(2020・全国•八年级专题练习)如图，在AABC中，。为AB的中点，AB=AC^10cm,

BC=8cm.动点P从点8出发，沿BC方向以3c〃z/s的速度向点C运动；同时动点。从点C

出发，沿C4方向以3c机/s的速度向点A运动，运动时间是ts.

(1)在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出/的值；

(2)在运动过程中，当VBPZJWC。尸时，求出/的值；

(3)是否存在某一时刻入使ABPDJCPQ?若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

D.

Q

B^=TP--------1c

4

【答案】(1)t=2时，点C位于线段尸。的垂直平分线上；(2)，=1；(3)不存在，理由见

3

解析.

【解析】

【分析】

(1)根据题意求出8P,CQ,结合图形用含f的代数式表示CP的长度，根据线段垂直平分

线的性质得到CP=CQ,列式计算即可；

(2)根据全等三角形的对应边相等列式计算；

(3)根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可.

【详解】

解：(1)由题意得BP=CQ=3t,

则CP=8—3t,

当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，CP=CQ,

***8-3t=3t9

4

解得，/=

3

则当/=?4时，点。位于线段的垂直平分线上；

3

(2)•・・。为45的中点，A4Ag0,

JBD=5,

・.,NBPDKCQP,

・•・BD=CP,

8—3^—5,

解得，，=1,

则当VBPD2VCQ尸时，片1；

(3)不存在，VABPD^ACPg,

BD=CQ,BP=CP,

则3%=5,3/=8—3，

4

解得，

3

不存在某一时刻t,使ABPDg△CPQ.

【点睛】

本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形

的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.

10.（2019•内蒙古・赤峰市松山区大庙中学八年级阶段练习）已知：如图，4=90。，AB//DF,

AB=3cm,BD=8cm,点C是线段上一动点，点E是直线£）厂上一动点，且始终保持

ACLCE.

（1）证明：ZACB=NCED；

（2）若点C在线段3D上满足AC=CE时，求。E的长？

（3）在线段8。的延长线上，是否存在点C,使得AC=CE,若存在，请求出的长度;

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）5cm；（3）存在，11。"

【解析】

【分析】

（1）由题意易得ND=N3=90。，进而可证NECD+/CED=90。，ZACB+ZECD=90°,

然后问题得证；

（2）由题意可证AABC丝ACDE,则有AB=CD=3cm,然后根据线段的和差关系可求解;

（3）由题意易得NCDE=N3=90。，进而可证/后。。=N3AC,当CD=AB=3cm时，

AC=CE,则有AABC丝ACDE,最后根据线段的关系可求解.

【详解】

解：⑴VZB=90°,AB//DF,：.ZD=ZB=90°,

VACLCE,：.ZACE=90°,

NECD+ZCED=90°,ZACB+NECD=90°,

ZACB=NCED

ZACB=ZCED

(2)・・•在AABC和ACDE中｛/8=ND

AC=CE

：.\ABCACDE(A4S),AAB=CD=3cm,

DE=BC=8cm—3cm=5cm

(3)存在，理由如下：

VZB=90°,AB//DF,/.ZCDE=ZB=90°9

VACLCE,・・・ZACE=90。，

・・・NECD+ZACB=90。，ZACB+N胡C=90。，：.ZECD=ZBAC；

ZB=ZCDE

9：在\ABC和\CDE中<ZBAC=ZECD

AC=CE

：.AABC名ACDE(AAS),

・•・AC=CE,

*.*AB=3cm,BD=8cm

BC=BD+CD=BD+AB=8cm+3cm=11cm.

【点睛】

本题主要考查直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质及

全等三角形的性质与判定是解题的关键.

11.(2022•安徽•九年级期末)如图，RdACB中，ZACB=90°,AC^BC,E点为射线C2

上一动点，连结AE,作且AP=AE.

(1)如图1,过F点作见LAC交AC于。点，求证：FD=BC；

(2)如图2,连结8/交AC于G点，若AG=3,CG=1,求