高三数学一轮复习：利用导数研究函数的零点讲义

第三课时利用导数研究函数的零点

题型一数形结合法研究函数零点

例1(2024・南昌模拟节选)已知函数火x)=(x—a)2+0e%a,b^R),若。=0时，函

数y=Ax)有3个零点，求人的取值范围.

解函数y=/(x)有3个零点，即关于x的方程<%)=0有3个根，

也即关于x的方程》=一?有3个根.

X2X2

令g(x)=一下，则直线y=b与g(x)=—：的图象有3个交点.

x(X—2)

g'(x)=最，

由g，(x)<0解得0<x<2；

由g'(x)>0解得x<0或x>2,

所以g(x)在(一8,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

4

g(0)=0,g(2)=一/，

当x>0时，g(x)<0；

当x-十8时，g(x)-0；

当Xf—8时，g(x)f—8,

作出g(x)的大致图象如图所示，作出直线

4

由图可知，若直线y=b与g(x)的图象有3个交点，则一二<。<0,

即6的取值范围为(一0).

感悟提升含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可

将参数分离出来后，用X表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求

参数的范围.

训练1设函数外)=lnx+5,机©R,讨论函数g(x)=/(x)—1零点的个数.

解由题意知

g(x)=/(x)-|=^-^-1(x>0),

令g(x)=O,得m=一夕+耳》)。).

设夕(X)=—53+x(x>0),

则(p\x)=-^+1=-(X-1)(%+1).

当x©(0,1)时,(p'(x)>0,研X)在(0,1)上单调递增；

当x©(l,+8)时,(p'(x)<0,矶x)在(1,+8)上单调递减.

**.x=l是e(X)的唯一极值点，且是极大值点，

：.x=l也是矶X)的最大值点，

...0(X)的最大值为

2

^(1)=3-

结合丁=夕。)的图象(如图)可知，

2

①当机＞)时，函数g(x)无零点；

2

②当机=1时，函数g(x)有且只有一个零点；

2

③当0＜机时，函数g(x)有两个零点；

④当机W0时，函数g(x)有且只有一个零点.

2

综上所述，当机时，函数g(x)无零点；

2

当机=)或根W0时，函数g(x)有且只有一个零点；

2

当0＜机＜9时，函数g(x)有两个零点.

题型二利用函数性质研究函数零点

例2已知函数H的uQa+Df—Zflnx—%e是自然对数的底数，Vx＞0,ex＞x+l.

(1)求人防的单调区间；

(2)记p：危)有两个零点；q-a＞ln2.求证：尸是q的充要条件.

要求：先证充分性，再证必要性.

⑴解V»=(2a+l)x2-2x2lnx-4,

的定义域为(0,+°°),/(x)=4x(a—In%).

当0<x<e。时，/(x)>0,

.,.於)在(0,e。)上单调递增;

当x>e。时，/(x)<0,

.♦.於)在(巴+8)上单调递减.

.•优x)的单调递增区间为(0,e。)，单调递减区间为(e。,+8).

(2)证明先证充分性.

由(1)知，当x=e。时，五x)取得最大值，

即fix')的最大值为y(ea)=e2a—4.

由人x)有两个零点，得e2。-4>0,

解得a>ln2.

tz>ln2.

再证必要性.

*.*a>ln2,e2a>4.

.,../(ea)=e2a—4>0.

<7>ln2>0,Vx>0,eY>x+1,

e2a>2iz+l>2a.

_4a+l4tz+1111

(2a

..八ye,°)=e('4a+l7)-4=~e~。2—a—4=2a^-2<T21;n~22=;~In~4T—2<0.

.,.3xi£(e^,e。)，使於i)=0；

*.*y(ea+x)=—e2a+2—4<0,

A3^e(ea,efl+1),,X2)=0.

•.贝x)在(0,e。)上单调递增,在(e。,+8)上单调递减,

.,.VxG(0,+°°),xWxi且xWx2,易得/(x)W0.

・•.当a>ln2时，Xx)有两个零点.

感悟提升利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最

值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合

的方法确定函数存在零点的条件.

训I练2(2022.全国乙卷节选)已知函数火x)=ax—Ji(a+l)lnx,若五x)恰有一个零

点，求〃的取值范围.

解由fix)=ax——x—(6z+l)lnx(x>0),

,,1a-\~1(ox—1)(x—1)

a=

侍/(%)=Q+x福(x>0).

11---JQ

①当。=0时，fix)=--—hix,/(x)=-

当%e(0,1)时,/(x)>0；

当%e(l,+8)时，/(x)<0,

所以1Ax)WHl)=—1<0,

所以不存在零点；

a(龙一一)(x—1)

②当。<0时，/(%)=------，-------，

当go,1)时，/(1)>0,於)单调递增;

当X©(1,+8)时，/(x)V0,於)单调递减,

所以Y(x)max=投1)=0—]<0,

所以兀V)不存在零点；

a(九一一)(x—1)

③当。>0时，/(%)=------，-------，

(i)当。=1时，/(x)>0,兀0在(0,+8)上单调递增，因为五1)=。—i=o,

所以函数兀0恰有一个零点；

(ii)当a>\时，故«c)在(0,1),(1,+8)上单调递增，在(十，1)上单

调递减.

因为汽1)=。-1>0,

所以大1>火1)>0，

当X-0+时，1X)一—8,由零点存在定理可知

1%)在(0,$上必有一个零点，

所以。>1满足条件；

(iii)当0<。<1时，^>1,故人x)在(0,1),(；,+8)上单调递增，在(1,；)上单

Ct-C4-L4-

调递减.

因为火1)=。一1<0,

所以<%勺(1)<0，

当天—+8时，五X)一+8,由零点存在定理可知“X)在(!，+8)上必有一个零点，

即0<。<1满足条件.

综上，若1%)恰有一个零点，则a的取值范围为(0,+°°).

题型三构造函数法研究函数零点

例3已知函数火》)=&'—l+ax(aGR).

(1)当x》0时，五x)》0,求。的取值范围；

⑵若关于x的方程1——£----=lnx+a有两个不同的实数解,求a的取值范围.

解(1)由题意，得了(x)=ex+a

若a三一1,则当x©[0,+8)时，/(x)20恒成立，

二人)在[0,+8)上单调递增,

...当x©[0,+8)时，。了)2犬0)=0,符合题意;

若a<一1,令f(x)<0,得x<ln(—a),

.•优x)在(0,ln(—a))上单调递减，

.•.当x©(0,ln(—a))时，火沙勺(0)=0,不符合题意.

综上，a的取值范围为[—1,+°°).

、,,f(x)~ax-\-1

(2)法一由-=lnx+a,

得ex~a=lnx+a.

=

x—6/lnt9

令尸4=’,则<

Inx~\~a=t.

.e.x+lnx=r+lnt.

易知y=x+lnx在(0,+8)上单调递增，

=

••tx9得a=x—Inx.

则原问题可转化为方程。=x—lnx有两个不同的实数解.

x—1

令(p(x)=x~\nx(x>0),则(pr(x)—,

x

令9<%)<0,得0Vx<1；

令〃(x)>0,得x>l,

.•.矶X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

♦♦9(X)min=0(l)=1,••<7^-1.

当。=1时，易知方程l=x—Inx只有一个实数解x=l,不符合题意.

下证当a>l时，a=x—lnx有两个不同的实数解.

令g(x)=j;—Inx—a(a>l),

则g(x)=0(x)—a,易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

Vg(e-o)=e-fl>0,g(l)=l—a<0,

...g(X)在(「。，1)上有一个零点.

易知g(ea)=ea—2a,

令h(a)=ea—2a,

则当a>l时，"(a)=e。一2>0,

.,.//(a)在(1,+8)上单调递增，

.•.当a>\时，7z(a)>/z(l)=e-2>0,

即g(e")=e"—2a>0,

.,.g(x)在(1,e。)上有一个零点.

...当a>l时，a=x—lnx有两个不同的实数解.

综上，a的取值范围为(1,+8).

,f(X)—<7X+1

法二由"一一~=Inx+a,

得e*=e"(lnx+Q),

xex=xea(lnx+Q),

即xex=e^+lnx(lnx+d).

令M(%)=xe\则有u(x)=u(a+\nx).

当x>0时，M(x)=(x+l)e%>0,

・・・以%)=犹*在(0,+8)上单调递增，

=

••xx9即ct—x-Inx.

下同法一.

感悟提升涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间

和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数

值与0的关系，从而求得参数的取值范围.

训练3(2021.全国甲卷节选)已知a>Q且aWl,函数於)=会>0).若曲线y=f(x)

与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.

解曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，

可转化为方程W=l(x>0)有两个不同的解，

即方程号=乎有两个不同的解.

-XCi-

设g(x)=¥(x>0),

I11—Inx

则g'(x)=~人-2-(X>O),

人1—Inx旧

=

令(?'(%)=J1i20,付％=e,

当OVxVe时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增；

当x>e时，gr(x)<0,函数g(x)单调递减，

故g(X)max=g(e)=3，

且当x>e时，g(x)©(0,J),

又g(l)=O,所以0<乎V：,

ClC

所以a>\且aWe,

故a的取值范围为(1,e)U(e,+°°).

■课时分层精练

【A级基础巩固】

1.已知函数Hx)=x—ae\aGR,讨论函数兀0的零点个数.

V

解f(x)=O等价于x-aex=O,即云=〃.

e

x1—x

设纵》，则勿(%)=二^，

x)=CC

当xVl时,h'(x)>0,以龙)单调递增;

当x>l时，h'(x)<0,入。)单调递减,

〃(%)max=/7(1)=

又当xVO时，/z(x)<0；

当x>0时，A(x)>0,且x-+8时，力(乃一0,

，可画出/i(x)大致图象，如图所示.

...当aWO或。=；时，火》)在R上有唯一零点;

当时，八》)在R上无零点；

当0<a<；时，段)在R上有两个零点.

七八e「j一、吐,lnx-\~ax

2.(2024•青岛调研)已知函数/(%)=------〃

x,£R.

(1)若。=0,求兀¥)的最大值；

(2)若求证：火的有且只有一个零点.

(1)解若。=0,则人功=一，其定义域为(0,+8),.•./(x)=1L

A%

由/(%)=。，得x=e,

当0<x<e时，/(力>0;

当x>e时，/(x)<0,

.,.心)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

...«¥)max=y(e)=­.

:+a}-In

if*

(2)证明/(%)=

%2=—

由(1)知，_/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

*.*0<a<l,

.,Inx-\-ax,Inx

/.当x>e时，八工)==a+>0,

故兀¥)在(e,+8)上无零点；

,,,lnx-\~ax

当0<x<e时，火%)=------,

x

e<0,1Ae)=a+/>0,

且五x)在(0,e)上单调递增，

.\/(九)在(0,e)上有且只有一个零点，

综上，当0<〃<1时，«x)有且只有一个零点.

3.(2024•太原模拟节选)已知函数於)=瞪一九一1,讨论方程段)=lnx+加一2的实

根个数.

解由火光)=ln%+加一2,

得xex—%—Inx+1=m,x>0,

令/z(x)=xex—%—lnx+1,

e].1(x+1)(xex-1)

则/zr(x)=ex+xex—1—­=-----------------(x>0),

令m(x)=xe%—l(x>0),

则mr(x)=(x+1)-ex>0,

・••加(x)在(0,+8)上单调递增，

又弱|=坐一1<0,机⑴=e—1>0,

・•.存在xo©g,1),使得加(xo)=O,

即.=5,从而lnx°=—xo.

当xG(0,xo)时，m(x)<0,h'(x)<0,

则/z(x)单调递减；

当xW(xo,+8)时，m(x)>0,h'(x)>0,

则〃(x)单调递增；

•*./l(x)min=/l(xo)=xoe*o—无0-Inxo+1=X0•:—xo+xo+1=2,

又易知，当X-0十时，"(X)―十8；

当工一+8时，力(%)—+8.

当机<2时，方程兀r)=lnx+/n—2没有实根；

当m=2时，方程五x)=lnx+加一2有1个实根；

当m>2时，方程五x)=lnx+m一2有2个实根.

【B级能力提升】

4.(2024•郑州模拟节选)已知函数八x)=ln(x+1)-%+1,g(x)=aex-x+lna,若函数

R(x)=Xx)—g(x)有两个零点，求实数a的取值范围.

解函数R(x)=/(%)—g(x)有两个零点，

即用力)=gQ)有两个实根，

即ln(x+l)—x+1=6zex—x+lna有两个实根，