图形的相似 知识归纳与题型突破（十一类题型清单） （解析版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记（北师版）

第四章图形的相似知识归纳与题型突破（十一类题型清单）

01思维导图

02知识速记

一、相似图形及比例线段

1.相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).

要点：

(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；

2.相似多边形

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形.

要点：

(1)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质.

(2)相似多边形对应边的比称为相似比.

3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:左c:d,

我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

要点：

(1)若a:左c:d,贝UadOc；(d也叫第四比例项)

(2)若a:6=6:c,则b?称为a、c的比例中项).

4.平行线分线段成比例：

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.

二、相似三角形

1.相似三角形的判定：

判定方法(一)：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法(二)：两角分别相等的两个三角形相似.

要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而

言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法(三)：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边

的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法(四)：三边成比例的两个三角形相似.

2.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

(2)相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

(3)相似三角形周长的比等于相似比；

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

(1)相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

(2)相似多边形的周长比等于相似比.

(3)相似多边形的面积比等于相似比的平方.

三、位似

1.位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

2.位似图形的性质：

(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

要点：

（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

03题型归纳

题型一成比例线段比例的性质

例题

i.下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）

A.4cm,5cm,6cm,7cmB.3cm,4cm,5cm,8cm

C.3cm,5cm,9cm,15cmD.1cm,3cm,4cm,8cm

【答案】C

【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键.如果其中两条线段的比（即它们的

长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段.根据比例性质对选项一一分析，排除错误答

案即可.

【解析】解：A、4X7H5X6,故选项不符合题意；

B、3x8w4x5,故选项不符合题意；

C、5x9=15x3,故选项符合题意；

D、1X8N4X3,故选项不符合题意.

故选：C.

巩固训练

2.下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）

A.。=1,6=2,c=3,d=4B.a=l,b='x/z,c=A/3,d=y/6

C.a=5,6=6,c=7,d=8D.a=4,b=6,c=6,d=8

【答案】B

【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大

的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断.

根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案.

【解析】解：A、•.♦Ix4w2x3,

:.ad力be,

，四条线段不成比例，故本选项不符合题意;

B、•；1xy/6=A/2x^/6>

ad=bef

，四条线段成比例，故本选项符合题意；

C、,.-5x8^6x7,

ad乎be,

・二四条线段不成比例，故本选项不符合题意；

D、•「4x4w6x6,

/.ad手be,

，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；

故选：B.

3.若？=:,则下列式子不正确的是（）

b3

Ab3°a+b5厂aba_2

D.

a2b323a-b3

【答案】D

【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.根据比例的性质判断即可.

【解析】解：A,B,C选项分别对应比例的反比性质、合比性质、更比性质,

只有D选项不正确.

故选D.

.32„,2a+b,,、r

4.若一=丁，则^—的值为一.

ab2a—b

【答案】2

【分析】本题考查比例性质，根据条件设〃=3左/=2左，代值化简即可得到答案，熟练掌握比例性质及相应

题型的解法是解决问题的关键.

32

【解析】解：

ab

2a+b2x3左+2左8k

设a=3左,。=2k,则

2a-b2x3k—2k薪

故答案为：2.

5.若士生3则台一

y-x4

【答案】y

【分析】本题主要比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.根据比例的性质计算即可.

【解析】解：由比例的基本性质，得4(x-2y)=3(y-x),

.,.7x=lly,

11

一广斤.

6.若3=营=京，且无+2>-2z=-l,则2元+3y-3z的值为_____.

3o10

【答案】0

【分析】本题考查比例的基本性质，根据g5,设X=3匕y=瓯z=103由等式代值解方程得到k=l,

3o10

进而代入所求代数式计算即可得到答案，熟练掌握比例的基本性质，设出X=3匕y=8%,Z=10左是解决问题

的关键.

【解析】解：•・•：=■=",

5o10

设％=3k,y=8k,z=10左，

•/x+2y—2z=—1,

「•3人+2x8%—2x10左=一1,解得左=1,贝iJ%=3,y=8,z=10,

2x+3y-3z=2x3+3x8-3x10=0,

故答案为：0.

题型二黄金分割

例题

7.如图，点P是线段A8的黄金分割点，且己4>尸3,若AB=2,则上4的长度是()

III

APB

A.V5-1B.3-75C.275-4D.1

【答案】A

【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义可得丝=叵【，由此可解.

AB2

【解析】解：•.•点P是线段AB的黄金分割点，且上4>PB,

,APA/5-1AP小-1

••---=-----,即Bn---=-----，

AB222

PA=>/5-l,

故选A.

巩固训练

8.已知点尸是线段A3的黄金分割点，且尸，AB=16,则AP=.

【答案】24-8君/-8君+24

【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金分割的概念、黄金比值为叵。是解题的关键.根据黄金

2

比值为避二1计算即可.

2

【解析】解：,点P是线段A3的黄金分割点，AP<BP,

BP=^^~AB=84-8,

2

.­.AP=AB-BP=16-（875-8）=24-8>/5,

故答案为：24-8^.

9.已知点尸是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,如果那么A8=_.

【答案】2

【分析】根据黄金分割的定义可得42=@二1A3,进而即可求解.

2

【解析】解：：点P是线段的黄金分割点，且AP>BP,

/.AP=J^^AB,

2

'：AP=y/5-1,

：.AB=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，掌握黄金分割点与黄金比的关系是解题的关键.

10.已知，点P、。是线段A3的两个黄金分割点，若AB=8,则PQ的长是.

【答案】8百-16/-16+86

【分析】先由黄金分割的比值求出BP=AQ=46-4,再由尸Q=AQ+BP-AB进行计算即可.

【解析】解：如图，,•,点尸、。是线段A3的黄金分割点，AB=8,

AP0B-BP=AQ=AB=445-4,

2

；.PQ=AQ+BP-AB=2（46-4）-8=84-16,

故答案为：8君-16.

【点睛】本题考查了黄金分割：把线段A3分成两条线段AC和BC（AC>8。，且使AC是AB和BC的比例

中项（即AB:AC=AC:8。，叫做把线段A3黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题

的关键.

11.点P是线段43的黄金分割点，且”＞尸3,则下列等式不成立的是（）

尸也芳一

ARAP#-I

AP2AB2

c.AP2^ABBPD.AB2=AP2+PB2

【答案】D

【分析】根据点P是线段A3的黄金分割点，^.AP＞PB,则理="=叵］，即可.

APAB2

【解析】：点尸是线段A3的黄金分割点，且针＞尸3

.PBAP_75-1

,・瓦一罚-2

AP2=PBAB

；.A、B、C等式成立，D等式不成立

故选：D.

【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金比例的公式.

题型三平行线分线段成比例

例题

12.如图，DE//BC,AD:DB=2:3,EC=6,则AE的长是（）

【答案】B

【分析】利用平行线分线段成比例定理得到当=A当F，然后利用比例的性质可计算出AE的长.

DBEC

【解析】解：・・・0£〃5C,

.ADAEAE2

••=,即Rn=一,

DBEC63

/•AE=4.

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理.掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键.

巩固训练

13.如图，己知AB〃CD,49=2,30=3,8=6,那么。。=（）

AB

CD

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由平行线分线段成比例定理，得到翳=博；利用A。、BO、C。的长度，求出。。的长度即可解

决问题.

【解析】-：AB//CD,

,BOAO

••布一而；

"：AO=2,CO=6,BO=3,

"6~DO'

解得：D0=4,

故选B.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例.

14.己知，如图，点/和E、G分别在VA3C的边A3、AC上，且OE〃产G〃3C,若">:£>尸：所=1:2:3,

则DE:FG:BC=.

【答案】1:3:6

【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平

行线截两条直线，所得的对应线段成比例.根据平行线分线段成比例定理得到AD:M:AB=1:3:6,于是

得到£>E:FG:BC=A£):AF:AB=1:3:6,即可得到结论.

【解析】解：•.♦DE〃FG〃BC,AD:DF:FB=1:2:3,

AD:AF:AB=1:3:6,

DE:FG:BC=AD:AF:AB=1:3:6,

故答案为：1:3:6.

15.如图，直线。〃/2〃，3，直线AC和。尸被乙，4，4所截，如果AB=EF=3,3c=2,则DE的长

是__________

ADDF

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到正二育，据此代

值计算即可.

【解析】解：・“〃。〃人

ABDE

,,沃一存'

•；AB=EF=3,BC=2,

3DE

一=9

23

解得=(9

9

故答案为：—.

16.如图，1.//12//13,AB=2,AC=5,PF=7.5,则。石=

【答案】3

【分析】根据已知平行线得到空=器，然后带入求值即可.

ACDF

【解析】解

ABDE

AC-DF

.2_DE

••一，

57.5

解得：DE=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线找到对应成比例线段是解答本题的关键.

题型四平行线分线段成比例的几何应用

例题

17.如图，点。是矩形ABCD的对角线AC的中点，。河〃AB交于点若OM=3,BC=10,则OB

【答案】用

【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理.先求出CD,后

求AB,然后用勾股定理求4c即可.

【解析】解：•••四边形48CD是矩形，

AB||CD,

0M||AB,

•••0M||CD,

.AM_AO

"MD~OC'

•••。为AC的中点，

AM=MD,

M是力。的中点，

OM是AaDC的中位线，

•••CD=20M,

■：OM=3,

CD=6,

•*.AB=CD=6,

•・•BC=10,Z.ABC=90°,

•••AC=V62+102=2V34,

•••乙ABC=90。,。为4C的中点,

OB=-2AC=V34.

故答案为：V34.

巩固训练

18.如图，已知VABC为等腰三角形，S.AB^AC,延长A3至，使得A5：BD=m.n,连接CD,E是BC

边上的中点，连接AE,并延长AE交CO与点F，连接fB,则3F：FD=.

【答案】+

【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准

对应关系是解题的关键.

如图：过点B作皿〃诙交CD于”，根据平行线分线段成比例定理得到空■=空=二，根据等腰三角形

HFABm

的性质得到根据线段垂直平分线的性质得到筋=c〃，再根据平行线分线段成比例定理解答即可.

【解析】解：过点3作皿〃AF交8于H,

:.^BDH^ADF

.PH_BDn

HFABm

*：AB=AC,E是3c边上的中点，

Z.AE上BC,

・・・AF是线段BC的垂直平分线，

:.BF=CF,

VEF//BH,CE=EB,gpBE=^CE

：.小CEFsqH,

.CFCECE1

^~CH~^C~2CE~2"

:.CF=；HF,SPCF=HF,

CF：FD=m(jn+n),

BF：FD=m[m+n).

故答案为："?：(〃?+〃).

19.如图，正方形A5CQ的边长为4,E是4。的中点，歹是射线距上一点(不与点8重合)，且NA。产=45。,

则BF的长为.

F

【答案】浮

3

【分析】延长。尸，BA,交点为。，过点A作AP〃BR,交直线。尸于点P,连接BD.由正方形的性质及

勾股定理得DQ=7AD?+A。？=40.再根据平行线分线段成比例证明尸为尸。的中点，尸为。尸的中点，

从而得DF=FP=PQ=^DQ=乎.最后利用勾股定理求得BD=7cD2+BC2=472，

BF=yjFD2+BD2=—.

3

【解析】解：如图，延长O/LBA,交点为。，过点A作AP〃瓦乙交直线。歹于点P,连接

・・•四边形ABCD是正方形,

AAB=BC=CD=AD=4,ZDAB=90°.

：.ZDAQ=90°,

ZADF=45°,

：.ZQ=A5Q=ZADQ,

：.AD=AQ=AB=4,

/•DQ=^AEr+AQ1=472.

VAP//FB,AB=AQ,

.怨="=]

"AB~PF~，

PQ=PF.

同理可证：尸为D尸的中点，

DF=FP=PQ=^DQ=.

为正方形ABC。的对角线，

ZBDC=ZBDA=45°,

：.NBDF=90。.

又BD=y/CD2+BC2=40,

BF=ylFD2+BD2=—.

3

【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定及性质，

熟练掌握勾股定理及正方形的性质是解题的关键.

题型五相似多边形

例题

20.下列说法中正确的是（）

A.各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形

B.各边成比例的两个多边形是相似多边形

C.边数相同的两个多边形是相似多边形

D.边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形

【答案】D

【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键.根据相似多边

形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可.

【解析】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正

确.

故选：D.

巩固训练

21.下列说法中，错误的是（）

A.全等图形一定是相似图形B.两面大小不等的标准国旗一定相似

C.两个等腰直角三角形一定相似D.两个直角三角形一定相似

【答案】D

【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”.根据相似图形的定义，

结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案.

【解析】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意；

B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意；

C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意；

D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意；

故选：D.

22.五边形ABCDEs五边形A'B'C'UE,相似比为1：3,若AB=2,则A'g=.

【答案】6

【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键.利

用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可.

【解析】解：：五边形ABCDEs五边形AB'C'D'E相似比为1:3.

,AB1

:.AB'=6.

故答案为：6

23.两个相似多边形的面积之比为1:4,则它们的对应边之比为（）

A.1：V2B.1:2C.1:4D.1:8

【答案】B

【分析】本题主要考查相似多边形的性质质.根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可.

【解析】解：两个相似多边形的面积之比为1:4,则它们的对应边之比为1:2,

故选：B.

24.如图，取一张长为a,宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与

原矩形纸片相似，则。:6=.

a

【答案】2:1

【分析】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键.根据相似

四边形的性质得出比例式，再求出答案即可.

【解析】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为4宽为%

小矩形纸片与原矩形纸片相似,

b

：.巴=「

b4a

又：a>0,b>0,

—=2,即a:6=2：1.

b

故答案为：2:1

题型六相似三角形的判定

例题

25.如图，下列条件中，不能判定AACDSAASC的是（）

-ACAD

A.ZADC=ZACBB.ZB=ZACDC.—=-D.-----=-----

BCACABAC

【答案】C

【分析】本题考查相似三角形，根据相似三角形的判定即可求出答案.

【解析】解：A,VZA=ZA,ZADC=ZACB,

：.故A能判定△ACQs；

B、；ZA=ZANB=ZACD,

：.^ACD^AABC,故3能判定AACD^AABC；

..ACAD

D、・---=---，NA=NA，

ABAC

^ACD^^ABC,故D能判定△ACDSAABC；

故选：C.

巩固训练

26.VABC和AAB'C'符合下列条件，其中使VA3C与AA'B'C'不相似的是（）

A.NA=NA'=45。，4=26。，ZBr=109°

B.AB=1,AC=1.5,BC=2,ABf=12,AC=8,BrC=16

153

C.ZA=N5，AB=1.5,AC=—,A8=—,B'C=2.1

142

D.BC=a,AC=b,AB=c,BC=8，=®A5'=五

【答案】D

【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可.

【解析】解：A、・・・/A=NA=450,4=26。，ZB'=109°,

ZC=180°-ZA-ZB=109°，

：.ZC=ZBr=109°,

・・・△ABCsAACE,故此选项不符合题意;

B、VAB=1,AC=1.5,BC=2,ABf=12,AC=8,5'C=16,

.A®ACB'C'

>•------=------=------=o

ACABBC

：.AABC-AAC'B',故此选项不符合题意;

153

C、VAB=1.5,AC=—,A'B'--,B'C'=2.1,

142

:•空=*.4,

ACA'B'

又•••ZA=ZB'，

/.VABC^VB'C'A,故此选项不符合题意；

D、三边对应比例不相等，故两个三角形不相似，故此选项符合题意;

故选D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角

形的判定条件.

27.如图，每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与图中VABC相似的是（）

BC

【答案】B

【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案.此

题考查三角形相似判定定理的应用以及勾股定理与网格.

【解析】

解：依题意，按小到大排序：==£BC=2,AC=Vl+32=-Jw

A、按小到大排序：1,V1+22=75，V22+22=272>

..忆2fM

十卢南

...三角形（阴影部分）不与图中VABC相似；

故该选项是错误的；

B、按小到大排序：1,71+1=72,71+22=V5-

...立=2=典

'1一也一右

，三角形（阴影部分）与图中VABC相似；

故该选项是正确的；

C、按小到大排序：VT+T=V2,V1+22=75,3，

..凡2

・《'忑'r

三角形（阴影部分）不与图中VA3C相似；

故该选项是错误的；

D、按小到大排序：2，V1+22=A/5,732+22=V13>

..忆2«回

.丁忑F

三角形（阴影部分）不与图中VA3C相似；

故该选项是错误的；

故选：B.

28.如图，在四边形A3CO中，已知NADC=N84C,那么补充下列条件后不能判定△AOC和4区4c相似

的是（）

D

A

C

B

A.AC2=BC-CDB.NDAC=ZABCC.C4平分/BCDD.—=—

ABAC

【答案】A

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角

形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键.

【解析】解：在AWC和4c中，ZADC^ZBAC,

如果需满足的条件有：

①ZDAC=NABC或CA平分/BCD；

„ADDC

②—=—；

ABAC

故选：A.

29.如图，若要=襄=机，请再添加一个条件，使得△ABCsaCBD,你添加的条件是_______.（写出

nCDD

一个即可）

【答案】ZABC=ZCBD（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例

的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三

角形相似.

【解析】解：添加条件=理由如下：

•*==m,Z.ABC=/CBD,

BCBD

：.AABC^ACBD,

故答案为：ZABC=NCBD（答案不唯一）.

30.如图，不等长的两条对角线AC、加相交于点O,且将四边形ABC。分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若

黑=黑，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有

【答案】乙和丁

【解析】—,ZAOB=NCOD,:.AAOBsMOD.

OCOD

【易错点分析】容易误认为△AODSABOC,条件祭=照中，_A_Opa._△__A_O__D_的__边_BOl=,的边

次正△BOC的边布飞△AOD的边'

不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定AAODSABOC.

题型七相似三角形的性质

例题

31.如果两个相似三角形对应边上的高之比是4:9,那么它们的周长之比等于

【答案】4:9

【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比,

由此可解.

【解析】解：•.・两个相似三角形对应边上的高之比是4:9,

,这两个相似三角形的相似比为4:9,

它们的周长之比等于4:9.

故答案为：4:9.

巩固训练

32.若两个相似三角形的面积比为1:3,则这两个三角形的周长比为

【答案】1:6

【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据两个相似三

角形的周长比等于相似比，则面积比等于相似比平方，据此即可得出答案.

【解析】解：•••两个相似三角形的面积比为1:3,

・•.三角形的相似比为1:宕,

•.•两个相似三角形的周长比等于相似比,

.•.两个三角形的周长比为1:6，

故答案为：

33.如果两个相似三角形的面积之比为1:9,那么这两个三角形一组对边上的中线之比为—

【答案】1:3

【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由面积比为1:9得到相似比为1:3,利用“相似三角形的对应中线

的比等于相似比”解本题是关键.

【解析】解：：两个相似三角形的面积之比为1:9,

,相似比是1:3,

又：相似三角形一组对边上的中线的比等于相似比，

.••中线的比为1:3.

故答案为：1:3.

34.已知VABC的三边长分别为2、3、4,ADE/与VABC相似，且ADE/周长为54,那么ADE尸的最短边

的长是.

【答案】12

【分析】先计算出VABC的周长，进而得出相似比为1：6,进而得出答案.

【解析】解：的三边长分别为2、3、4,

.•.VABC的周长为：9

,•，乩＞所与VABC相似，且ADEF周长为54,

.\VABC与ADEF的周长比为9：54=1：6,

VABC与QEF的相似比为1：6,

设AD斯的最短边的长是x,贝U：

2：x=l：6,

解得：x=12.

故答案为：12.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.

35.如图，已知点E分别是AB、AC边上的点，且AWEs△他C,相似比为1:3,AGL3C交DE于点

F,贝i|AP:AG=.

A

【分析】本题主要查了相似三角形的性质.根据△ADES^ABC,可得NB=NADE,从而得到OE〃3C,

进而得到AG,DE,再由相似三角形的性质，即可求解.

【解析】解：：AADES/\ABC,

ZB=ZADE,

：.DE//BC,

'：AGLBC,

：.AG±DE,

•.•相似比为1:3,

AF:AG=1:3,

故答案为：1:3

题型八相似三角形的判定与性质综合

例题

4n1

36.如图，D,E两点分别在VABC的边AB,AC上，MZAZ）E=ZC,—若VADE的面积是3,则

AC，

四边形8CED的面积是（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】B

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明AADES.CB,根据面积比等于相似比的平方，求出

VA3C的面积，进而求出四边形8CED的面积即可.

【解析】解：/ADE=/C,NA=NA,

AADES^ACB,

..AD_1

,AC"2；

LACB4

S=45=12,

AAzB>C△AUcA,DF

四边形BCED的面积=SLABC—S^ADE=9;

故选B.

巩固训练

37.如图，四边形WCE中，DE//BC,若S"SABOC=1：9,则08OE=

【答案】3：1

【分析】本题重点考查相似三角形的判定与性质，先由OE〃台C证明△EODs^BOC,根据相似三角形的

面积的比等于相似比的平方得到黑也=f—Y=-,则生=：，

即可求得OB：OE=3：1.

%℃VOB)9OB3

【解析】解：石〃3C,

:.AEODsABOC,

・.°AEOD_

Q^BOC阖

□AEOD

q

QMe

.OEJ

••=一,

OB3

OB：OE=3:1,

故答案为：3:1.

38.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,3C=9cm,点瓦厂分别在边AB,5c上，AE=2cm,5£),£F交于点G,

若G是跖的中点，则线段5G的长度是()

AD

c20八10-l

A.J5rcmB.—cmC.—cmD.3cm

【答案】D

【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm,ZABC=ZC=90°,AB//CD,从而可得NABZ)=N3£>C,

然后利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EG=3G,从而可得NBEG=NABD,进而可得

NBEG=/BDC,再证明利用相似三角形的性质即可求出所，利用勾股定理求出跖即

可解答.

【解析】解：：四边形MCD是矩形，

.-.AB=CD=6cm,NEBF=NC=90°,AB//CD,

:.ZABD^ZBDC,

AE=2cm,

/.BE=AB—AE=6—2=4cm,

•••G是EF的中点,

,\EG=BG=-EF,

2

:./BEG=ZABD,

:./BEG=NBDC,

:./\EBFsAz)CB,

.EB_BF

一而一百’

.4_BF

••一,

69

/.BF=6cm,

EF=JBF?+BE。=2如cm，

BG=-EF=y/i3cm.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练

掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

39.如图，在四边形ABC£>中，ZBCD=90°,AC,3。为对角线，若=AC=5,BC=6,ZADB=2NCBD,

则AA£)C的面积为.

C

【答案】4

【分析】延长BC、AD相交于点E,过点A作AF13C于点尸，由等腰三角形三线合一的性质求出C尸的

长，由勾股定理求出AF的长，由三角形外角的性质结合NAD3=2NCBD得出△DBE是等腰三角形，根据其

性质求出所的长，再证得即可求出8的长，最后根据三角形面积公式计算即可.

【解析】解：延长BC、A。相交于点E,过点A作于点尸，如图所示：

■,-AB=AC=5BC=6,

,-.BF=CF=3,

由勾股定理得AF=7AC2-CF2=552-32=4>

ZADB=NCBD+NCED,

又,：ZADB=2NCBD,

:.ZCBD^ZCED,

/.DB=DE，

・.・N5c0=90。，

BC=EC,

・・・BC=6,

/.EC=6,

.•.EF=CF+EC=3+6=9,

QAF1BC,ZBCD=9伊,

:.AF//CD,

.'.^ECD^^EFA,

.CDEC

,,赤一赤’

•CD_6

,,一，

49

，CD=-,

3

11Q

■■SAADC=-CD-CF=-X-X3=4,

故答案为:4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟

练掌握相关几何知识点是解题的关键.

题型九利用相似三角形的判定测高

例题

40.小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为L75米，他同学的身高为1.6米，则此时他

的同学的影长为米.

【答案】2.

【分析】在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可.

【解析】解：设他的同学的影长为xm,

•••同一时刻物高与影长成比例，

.L4一L6

••二,

1.75x

解得，x=2,

经检验，x=2是原方程的解，

他的同学的影长为2m,

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解

方程求出的影长，体现了方程的思想.

巩固训练

41.学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时，在旗杆

周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（）

A.4.8米B.8.4米C.6米D.9米

【答案】C

【分析】此题利用相似三角形测高，先找出对应的成比例线段空=要，再把数据代入计算即可.

EFAB

如图，根据题意得:AG=4.2米，AB=6.3米，EF=9米，

同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得^DFE与二GAB相似，

即里=空，

EFAB

DF42

代入得：

解得：树高=6米.

故选：C.

【点睛】此题考查利用相似三角形测高，主要利用线段成比例，找出对应边是关键，难度一般.

42.如图，晓波拿着一根笔直的小棍8C,站在距某建筑物约30米的点N处（即EN=30米），把手臂向前

伸直且让小棍BC竖直，BC//DE,晓波看到点2和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直

线上.已知晓波的臂长CM约为60厘米，小棍2C的长为24厘米，ANA.EN,CMLAN,DEYEN.求

这个建筑物的高度DE.

【答案】这个建筑物的高度OE为12米

【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键.过点A作AGLDE,交BC于点死

垂足为G,根据3C〃小，得到△/WCSAWE,根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案.

【解析】如图，过点A作AGLDE,交BC于点F,垂足为G,

由题意，得AF=CV=60厘米=0.6米，AG=E7V=3O米，3C=24厘米=0.24米，

QBC//DE,

AABC^AADE,

,BCAF

"~DE~^G'

.0.24_0.6

-30；

，DE=12米.

答：这个建筑物的高度DE为12米.

43.如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB,于是，他们带着测

量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退,

当退行0.9米到E处时,恰好在镜子中看到雕像顶端A的像,此时测得苏海眼睛到地面的距离DE为1.2米;

然后，苏海沿BC的延长线继续后退到点G,用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为45。，此时，测得EG=2.1

米，测倾器的高度/G=1.2米.已知点8、C、E、G在同一水平直线上，且A3、DE、尸G均垂直于3G,

求雕像的高度

BCEG

【答案】16.8

【分析】根据已知条件推出△ABCS^OEC,求得AB与2C的关系，再根据题意易得四边形HBED、四边

4

形DEGF、四边形H3G/均为矩形，得到AH=§x-I.2,根据/A77/=45。，得AH=HF,构造一元一次

方程，解方程即可得出结论.

【解析】解：设5C=x米，如图,

A

根据题意可得，ZACB=ZDCEf/B=ZDEC=90。,

Z\ABCs^DEC,

.ABBC

^~DE~~CE"

4

A.B=—x

3f

•1点B、C、E、G在同一水平直线上，且AB、DE、bG均垂直于5G,DE=FG=\2m,

・・・四边形83矶＞、四边形D£GV、四边形/ffiG/均为矩形，

4

AH=-x-1.2,

3

ZAFH=45°,

:・AH=HF,

4

—JV—1.2=x+0.9+2.1

3

解得x=12.6

4

Z.AB=-xl2.6=16.8（m）

答：雕像的高度为16.8米.

【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

题型十图形的位似

例题

44.如图，VABC与ADEF是位似图形，且位似中心为。，OBZ?£=23,若AOEF的面积为9,则VABC的

A.4B.6C.8D.9

【答案】A

【分析】本题考查的是位似图形.根据位似图形的概念得到AB//DE,证明△。山SAODE,

根据相似三角形的性质得到4I=器=],根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案.

DEOE3

【解析】解：•・•△ABC与△DEF是位似图形，

.△ABCSADEF,AB//DE,

.3_OB_2

…近一演一

5ARC4

V_9，

,J

4D£F7

•.•△DE尸的面积为9,

：.^ABC的面积为4,

故选：A.

巩固训练

45.如图，在平面直角坐标系中的两个矩形OEFG和矩形ABCD是位似图形，对应点C和尸的坐标分别为

(T4),(2,1),则位似中心的坐标是()

5|----------A

/----------D

A.(0,2)B.(0,2.5)C.(0,3)D.(0,4)

【答案】A

【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接c尸，交y轴于点尸，则点尸为位似中心，先根

据题意证明A/VBAPC。，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到PG=1,求出点P的坐标即可.解

决本题的关键是借助相似比求出线段长度.

【解析】解：连接CP,交y轴于点尸，则点尸为位似中心，

5i-A-----------

1D

c^--•.•矩形OERG与矩形ABCD是位似图形，C(—4,4),尸(2,1),

P

G

A

OEX

GFIICD,CD=4,GF=2,DG=3,OG=1,

,\ZPCD=ZPFGfZDPC=ZGPF

:.△PFBAPCD,

CDPD

FG-PG

3-PG

BP-=

2PG

:.PG=1,

故位似中心P的坐标为(0,2).

故选：A.

46.如图，VABC中A、8两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1,0),以点C为位似中心，在x轴的下

方作VABC的位似图形AAB'C',且AAB'C'与VABC的位似比为2:1.设点8的对应点B'的横坐标是。，则

点B的横坐标是()

A.—ciB.—(ci+1)C.—(f7—1)D.—(<7+3)

2222

【答案】D

【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等

于对应边的比列出方程是解题的关键.设点2的横坐标为x,则2、C间的水平距离为-L-x,B\C间的

水平距离为。+1,再根据位似变换的概念列式计算.

【解析】设点B的横坐标为x,则8、C间的水平距离为-1-X,B'、C间的水平距离为。+1,

:AA'B'C'与NABC的位似比为2:1,

2(—1—x)=a+l,

解得尤=-5（。+3）,

故选：D.

47.在平面直角坐标系中，已知点E（Y,2）,"-2,-2）,以原点。为位似中心，相似比为;，把