2025年高考数学一轮复习专项突破：平面向量的数量积（学生版）

考点32平面向量的数量积(3种核心题型+基础保分练+综合

提升练+拓展冲刺练)

D1【考试提醒】

1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.

2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题

dl【知识点】

1.向量的夹角

已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作=OB=b,则

伏OWGWTI)叫做向量a与b的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0,我们把数量___________叫做向量a与b的数量

积，记作.

3.平面向量数量积的几何意义

设。，力是两个非零向量，它们的夹角是ae是与6方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,

过N2的起点/和终点3,分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为小，Bi，得到我们

称上述变换为向量。向向量b,/山1叫做向量a在向量6上的.记为.

4.向量数量积的运算律

(1)«7>=.

(2)(2〃)•〃==.

(3)(〃+方)•c=.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi，乃)，b=(X2,g)，。与A的夹角为。

几何表示坐标表示

数量积atb=\a\\b\cos0a・b=__________

模|«|=_______|«|=_________

夹角cos6=_____cos0=___________

alb的充要条件ab=0

,的十为了2年J(行+贯)(送+次)

•臼与同网的关系依方丹同网

【常用结论】

1.平面向量数量积运算的常用公式

(i)(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)(a±by=a2±2a-b+b2.

2.有关向量夹角的两个结论

(1)若。与分的夹角为锐角，则〃力＞0；若a力＞0,则"与6的夹角为锐角或0.

(2)若"与b的夹角为钝角，则.为＜0；若“为＜0,则。与6的夹角为钝角或兀

■【核心题型】

题型一平面向量数量积的基本运算

计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义:a-6=|a||6|cos(a,b〉.

(2)利用坐标运算，若a=(xi,%),b=(X2,y2)＞则^'b=x\X2~^~y\y2-

(3)利用基底法求数量积.

(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义

【例题1】(2024,陕西西安,模拟预测)已知平行四边形/BCD中,

AB=4,AD=3,ZBAD=60°,DP=ADC(A>0),APB?=9,则4的值为()

【变式1](2024•浙江金华•三模)已知同=4,问=3,归+4=5-可，则小(”B)=()

A.-16B.16C.-9D.9

【变式2](2024•陕西西安・模拟预测)已知向量，石的夹角为60°,若(4@-3)石=-8,|初=1,

则出|=.

【变式3](2024,辽宁丹东,一模)记内角N,B,C的对边分别为a,b,c,已知A48c

面积为S,S.a2+b2-c2=443S.

⑴求c；

⑵若。=2百，BA-BC=6<求S.

题型二平面向量数量积的应用

(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用同=及(〃士〃)2=|砰±2〃力+回2；

②几何法：利用向量的几何意义.

(2)求平面向量的夹角的方法

ab

①定义法：COS0=---;

同创

②坐标法.

(3)两个向量垂直的充要条件

.，〃0〃力=0台|。一〃=|〃+"(其中0WO,bWO)

命题点1向量的模

【例题2】(2024•江苏扬州•模拟预测)已知向量G,B满足同=1,忖=百，且日与B的夹

角为乎,则恒一步()

611

A.yB.V13C.1D.13

【变式1](2024•河北三模)已知非零向量屋3的夹角为(",孚口，|力|=1，则

卜+，=()

A.1B.也C.V2D.y/3

2

【变式2】2024・河南•三模)已知“BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,C=60。,

c=1,若a-b=3,O为22中点，则8=.

【变式3](2023•福建福州•模拟预测)在“8C中，角4式。的对边分别是。，瓦且

27r

tzsinC=csinB,C=.

⑴求B;

(2)若。3C面积为迈，求3c边上中线的长.

4

命题点2向量的夹角

【例题3】（2024•北京•三模）若同=1,⑻=2,（ZR），Z，则向量&与C的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【变式1】（2024,江苏南通•三模）已知三个单位向量£花,工满足£=♦+）,则向量员工的夹角

为（）

71-2%一5万

A.—B.—C.—-D.——

6336

1一

【变式2］（2024•江西•模拟预测）已知平面内非零向量方在向量B上的投影向量为-且

同=3问，则3与B夹角的余弦值为.

【变式3】Q024•江西•模拟预测）如图，在正三棱柱/BC-4耳G中，P是棱4月的中点，。

是棱/C上一点，且坐=1,AB=2BBi=2.

AC3

(1)求证：BP1B.C.

（2）求平面尸。片与平面2尸片的夹角的余弦值.

命题点3向量的垂直

【例题4】（2024•江苏连云港•模拟预测）若向量玩，亢满足同=1,同=2,且（应V），而,

则同-司=（）

A.1B.V3C.41D.2

【变式11Q024・重庆•模拟预测）己知@=1,板1=2,且方与B不共线，若向量）+而与a-防

互相垂直，则实数上的值为（）

11,1

A.--B.-c.±-D.±2

【变式2］（2024•宁夏银川•三模）已知3是单位向量，且7与1+B垂直，3与B的夹角为

135。，则2+B在B上的投影数量为.

【变式3】（2023高三・全国・专题练习）四面体48cD中，AB2+CD2=AD2+BC2,求证：

AC1BD.

题型三平面向量的实际应用

用向量方法解决实际问题的步骤

【例题5】Q024•广东梅州•二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子42上.已知物体M

的重力大小为20牛，且N/（W=150。，在下列角度中，当角6取哪个值时，绳08承受的

拉力最小.（）

M

O

A.45°B.60°C.90°D.120°

【变式1］（2020•宁夏中卫•二模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部

分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每只

胳膊的拉力大小均为400N,则该学生的体重（单位：kg）约为（）

（参考数据：取重力加速度大小为g=10机/s,,百处1.732）

A.63B.69C.75D.81

【变式2］（2024•全国•模拟预测）如图，某物体作用于同一点。的三个力与工，F3使物体

处于平衡状态，已知耳=1N,工=2N,片与鸟的夹角为120。，则月的大小为.（牛

【变式3］（2022•内蒙古赤峰•三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30。的斜面上，物

体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力不，垂直斜面向上的弹力耳，沿着斜面向

上的摩擦力耳.已知：同=806N,同=160N,则瓦的大小为.

30°

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2024・山西太原•模拟预测）已知单位向量心B满足（1-3）刀=；，则@一26与B的夹角

为（）

7C兀2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

2.（2024•四川眉山,三模）已知向量痴忑满足同=问=1,同=6且a+b+c=0>贝I

3.（2024・安徽合肥•模拟预测）记AA8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若6=2,

cosBcosA+cosC

2AM=MC，则忸7川可能是（

4.（2024,重庆•模拟预测）如图，圆。内接边长为1的正方形/BCQP是弧8C（包括端点）

上一点，则赤.刀的取值范围是（）

4+V22+V21+V2

4，2

二、多选题

5.（2024•江西宜春•模拟预测）已知向量2=（-1,2）,9=（6,-2）,则

A.(2a+b)±aB.\a-b\=V65

c.Z与3的夹角为:D.Z在行上的投影向量为

6.（2024•浙江温州•模拟预测）己知单位向量共面，则下列说法中正确的是（）

A.若卜+q=卜-可，则£/区B,若卜+可=|\a-b\,则

c.若Z+B+"=6,则《,。〉=三D.若£+3+)=0,则(礴=与

三、填空题

7.（2024•辽宁丹东•二模）设向量入3的夹角为60。，且同=1,W=2,则

a+2b^-b=

8.（2021•云南昆明•三模）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则耳与巴大

B满足同=2间,（a+b\vb,则向量N与B的夹

角为_____•

四、解答题

10.（23-24高三下•山东荷泽,阶段练习）记。8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,

c,向量7=(b,siiL4+sinC),v=(sirt4+sia5,«-c)//±v.

（1）求角C的大小；

⑵若AABC的面积为cosAcosB=-,求C.

44

11.（2024•江苏南通•模拟预测）在AA8C中，角A,B,C所对的边分别为。，6,c,已

知a=2,c2=BA-BC-243S,其中S为A/8C的面积.

（1）求角A的大小；

⑵设。是边8c的中点，若48：。，求40的长.

【综合提升练】

一、单选题

1.（2024•宁夏固原•一模）已知向量,=（1,-1）,B=（OJ）,若），（3+2可，则网=（）

A.—B.1C.72D.2

2

2.（2024•福建泉州•模拟预测）已知|口=2,b=（l,42）,\a-2b\=2,则向量汗与B的夹角

为（）

7L7C27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

3.（2024•吉林长春•模拟预测）已知两个向量用B满足33=网=1，b-*6,则同=

（）

A.1B.C.573D.2

4.（2024•浙江绍兴•二模）已知,，％是单位向量，且它们的夹角是60。，若4=26+6，

b-九］_4，且a_LB，则4=()

24

A.-B.一C.1D.2

55

5.（2024•河北衡水•模拟预测）在“5。中,

Z.BAC-60°,|^45|=6,|24C|=3,AM-2MB^CN=NM,则.c月=()

A.-9B.—C.9D.18

2

6.（2024•河南•模拟预测）已知向量。力满足同=陷=1%=2,又非零向量c满足

c-a=c-b，则B与3的夹角为（）

7L71兀_.2兀兀_二57r

A.—B.—C.一或1s一D.一或一

633366

7.（2024•湖北黄冈•二模）已知3为单位向量，向量万满足抑止=3,国一同=1,则同的最大

值为（）

A.9B.3C.VioD.10

8.12024•云南曲靖二模）已知。是“8C的外心,益+%=2万，网=画，则向量正

在向量前上的投影向量为（）

A.--BCB.--5CC.-BCD.—BC

4444

二、多选题

9.（2024•全国•模拟预测）已知向量0=（1,一1）,办=（2㈤,a_L、c=a-正.若卜,，=（瓦，,

则（）

A.同=纲

B.b-c=4

（55

C.B在京方向上的投影向量为己D.与B反向的单位向量是二,二

10.（23-24高三下•山东荷泽•开学考试）已知单位向量口，B的夹角为。，则下列结论正确

的有（）

A.(a+b')X.(a-b)

B.汗在B方向上的投影向量为（万彳田

C.右|a+6|=1,贝U6=60'

D.若他+5）5=（@-5）方，贝i]G〃3

n.（2024•贵州黔东南•二模）抛物线。:/=一2°武2>0）的焦点尸到准线的距离为：1,经过

点尸（加,0）的直线/与C交于48两点，贝|（）

C/y石、

A.当m=l时，直线/斜率的取值范围是_:三

\22

\1c

B.当点尸与点尸重合时，南+同=2

C.当〃?=-2时，拓与丽的夹角必为钝角

D.当加=-2时，为定值（。为坐标原点）

三、填空题

12.（2024•辽宁沈阳•三模）己知向量落B满足同=2,战+孙彼=4,则忸+可=.

13.(2020•河北张家口•二模)如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，

两只胳膊的夹角为60。，拉力大小均为尸，若使身体能向上移动，则拉力厂的最小整数值为

N.(取重力加速度大小为g=10m/S?,1.732)

14.2024•吉林长春•模拟预测)在AABC中，已知4=m，8C=2G,当边2c的中线4D=近

时，工8。的面积为.

四、解答题

15.(2024•贵州•模拟预测)在中，AB=A，AC=2,NC==,N为48的中点,

/工的角平分线MW■交CN于点O.

⑴求CN的长；

(2)求。。C的面积.

16.(22-23高三上•河南安阳•阶段练习)己知o=(sinx+cosx,2cos61),B=(2sin6>,；sin2x

⑴若)=(-3,4)且x=：,0e(0,7t)时，Z与工的夹角为钝角，求cos。的取值范围；

(2)若。=［，函数/(x)=7B,求/(x)的最小值.

17.(2024・全国•模拟预测)在。8C中，内角4瓦。所对的边分别为

cosB-cosA

⑴试判断的形状，并说明理由;

___3

(2)若°=屈，点尸在内，PAPC=Q，tanZPCB=-,^tanZAPB.

18.（2024•福建宁德•三模）在AABC中,角48,C的对边分别为a,6,c.已知

tz2+c2=9+laccosB»且sin8=V^sin/sinC.

(1)若8。L/C,垂足为。，求AD的长；

⑵若丽・前=3，求a+c的长.

19.(2024•湖北•二模)已知。8c的内角/,B,C的对边分别为a,b,c(a<b),

c=2acosAcosB-bcos2A.

⑴求/;

（2）者前=g前，54=2,求6+c的取值范围.

【拓展冲刺练】

一、单选题

1.（2024•江苏•模拟预测）已知向量2B满足同=1,W=25。（2£词=-18,贝壮与刃

的夹角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.（2024•浙江•三模）已知单位向量Z］满足屋刃=0，贝"os（3Z+4&£+力=（）

A.0B.-^1C.—D.1

1010

3.（2024•陕西•模拟预测）已知两个向量方=（2,-1）,彼=（6,"?）,且伍+B）_L®-B）,则加的

值为（）

A.±1B.+V2C.±2D.±273

22

4.（2023高三・全国•专题练习）已知椭圆-%---J1----=1,片，丹为两个焦点，。为原点，尸为椭

96

3

)

圆上一点，cosZFiPF2=-,贝/月。|=（

A.2B.叵iD.叵

C.

5