辽宁省大连市沙河口区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年辽宁省大连市沙河口区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）1．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．有最小值2 D．顶点坐标是（1，2）2．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）3．（3分）平面内，若⊙O的半径为，OP＝2，则点P在（）A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆内或圆外4．（3分）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣（x+2）2+2 C．y＝﹣（x﹣2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）25．（3分）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大6．（3分）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB＝55°，则∠ADC的度数是（）A．25° B．55° C．45° D．27.5°7．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣a+1的顶点在x轴上，则a的值是（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．18．（3分）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（）A． B．6cm C．8cm D．8.4cm9．（3分）如图是嘉淇某次实验中的情形，左侧每个钩码的质量均为2kg，杠杆总长30cm，其余数据如图所示，此时杠杆处于平衡状态，则y与x的函数图象可能是（）A． B． C． D．10．（3分）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（）A． B．12cm C． D．14cm二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）新学期开始时，有一批课本要从A城市运到B县城已知两地路程为500千米，车速为每小时x千米，若从A城市到B县城所需时间为y小时，则y与x的函数关系式是．12．（3分）若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为．13．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为cm．（结果保留π）14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y＝2，与二次函数y＝x2和y＝ax2分别交于A、B和C、D四个点，若CD＝2AB，则a的值是．15．（3分）如图是二次函数y＝x2+bx﹣1的图象，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是．三、解答题（本大题含8道小题，共75分）16．（10分）如图，反比例函数（k为常数，且k≠0）与一次函数y＝x+1的图象相交于点A（2，m）、B两点．（1）求m和k的值；（2）求点B的坐标．17．（8分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点为A，与x轴的一个交点为B，直线y2＝kx+b（k≠0）与抛物线交于A，B两点．（1）写出不等式kx+b＞ax2+bx+c中x的取值范围；（2）若方程ax2+bx+c＝m有两个不相等的实数根，求m的取值范围．18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，BC∥x轴，AB＝1，，AD＝2．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形A'B'C'D'，求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．20．（8分）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长．21．（8分）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上．击球方案：扣球羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C1：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m．吊球羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C2，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米．高远球羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C3：y＝a（x﹣n）2+h，且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间．探究：（1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式；（2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少；②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；（3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围．22．（12分）【背景素材】预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．x…0.511.522.53…y…2.533.543.22.…【解决问题】（1）求y关于x的函数表达式．（2）求“药熏消毒”的有效消毒时间．（3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足m≤x≤3m，其中m为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．23．（13分）抛物线，直线l的解析式为y2＝（k﹣1）x+2m﹣k+2．（1）若抛物线经过点（0，﹣3），求抛物线的顶点坐标；（2）探究抛物线y1与直线l的交点情况并说明理由；（3）若抛物线经过点（x0，﹣4），且对于任意实数x满足两个条件：①不等式x2+（2m﹣1）x﹣2m≥﹣4都成立；②当k﹣2≤x≤k时，抛物线的最小值为2k+1．求直线l的解析式．

2024-2025学年辽宁省大连市沙河口区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）1．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，a＝﹣3＜0，∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；当x＝1时取得最大值2，故选项C不符合题意；顶点坐标为（1，2），故选项D符合题意；故选：D．2．【解答】解：将点（﹣1，4）代入y＝，∴k＝﹣4，∴y＝，∴点（4，﹣1）在函数图象上，故选：A．3．【解答】解：∵点P到圆心的距离2，大于圆的半径，∴点P在圆外．故选：C．4．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+2．故选：C．5．【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，故选：D．6．【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，∴弧AC＝弧AB（垂径定理），∴∠ADC＝∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB＝55°，∴∠ADC＝27.5°．故选：D．7．【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣a+1＝a（x﹣1）2﹣2a+1，∵抛物线顶点在x轴上，∴﹣2a+1＝0，解得a＝．故选：B．8．【解答】解：∵OA＝OD＝5cm，CD＝2cm，∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），∵OD⊥AB，∴AC＝CB＝＝＝4（cm），∴AB＝2AC＝8（cm）．故选：C．9．【解答】解：∵左侧每个钩码的质量均为2kg，杠杆总长30cm，∴xy＝5×2×3＝30，∴y＝（0＜x＜15），故y与x的函数图象可能是C选项，故选：C．10．【解答】解：如图，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意得：A（﹣2，0），B（2，0），E（﹣，6），F（，6），设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，将B（2，0），F（，6）代入，得，解得，∴y＝x2﹣4，当y＝12时，12＝x2﹣4，解得x1＝4，x2＝﹣4，∴C（﹣4，12），D（4，12），根据题意可知，∠DCE＝∠BAF＝30°，设BE与y轴的交点坐标P，CD与y轴交于点Q，在Rt△CPQ中，CQ＝4，∠PCQ＝30°，∴PQ＝4cm，∴PO＝8cm，∴P（0，8），∴直线CE的解析式为：y＝kx+m，将C（﹣4，12），P（0，8），代入，得，解得，∴直线CE的解析式为：y＝x+8，令x2﹣4＝x+8，解得x＝或x＝，∴点E的横坐标为，当x＝时，y＝×+8＝5，∴E（，5）．∴CE＝＝14（cm），故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．【解答】解：由路程等于速度乘以时间得：xy＝500∴y＝（x＞0）故答案为：y＝（x＞0）．12．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12πcm2．故答案为：12πcm2．13．【解答】解：如图所示，连接OC，OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，由四边形内角和为360°可得，∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．∴的长＝＝2π．故答案为：2π．14．【解答】解：把y＝2代入y＝x2中得，x2＝2，∴∴A的横坐标为，B横坐标为∴把y＝2代入y＝ax2得，ax2＝2，∴∴C的横坐标为，D横坐标为∴∵CD＝2AB，∴∴故答案为：．15．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x﹣1＝2；当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣1＝7，当﹣1＜x＜4时，﹣2≤y＜7，而关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解可看作二次函数y＝x2﹣2x﹣1与直线y＝t有交点，∴﹣2≤t＜7．故答案为：﹣2≤t＜7．三、解答题（本大题含8道小题，共75分）16．【解答】解：（1）将点A（2，m）坐标代入一次函数y＝x+1得：m＝2+1＝3，∴A（2，3），∵点A（2，3）在反比例函数的图象上，∴k＝2×3＝6．∴m＝3，k＝6；（2）由（1）可知，反比例函数解析式为y＝，联立方程组得：，解得或，∴B（﹣3，﹣2）．17．【解答】解：（1）由图象可得，y2＞y1时，x＜1或x＞4，∴不等式kx+b＞ax2+bx+c中x的取值范围为x＜1或x＞4．（2）∵抛物线的顶点为A（1，3），设y1＝a（x﹣1）2+3（a≠0），将（4，0）代入y1＝a（x﹣1）2+3，得9a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y1＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+，∴方程﹣x2+x+＝m有两个不相等的实数根，即方程﹣x2+x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（）2﹣4×（﹣）×（﹣m）＝4﹣m＞0，解得m＜3，∴m的取值范围为m＜3．18．【解答】证明：连接OA、OD，过点O作OE⊥AC于E，∵AB＝AC，O是底边BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO，∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB，∵∠BAO＝∠CAO，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∵OD为⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．19．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝2．又∵点A的坐标为（），AD∥x轴，∴B（），C（），D（）．（2）由平移可知，点A′的坐标为（﹣3+m，），点C′的坐标为诶（﹣1+m，）．∵点A′和点C′都在反比例函数的图象上，∴＝，解得m＝4，即矩形ABCD的平移距离是4，则A′的坐标为（1，），∴k＝1×，∴反比例函数的解析式为y＝．20．【解答】（1）证明：连接OD，∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC，∴△DOC≌△BOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，又OD为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：设CB＝x，∵AE⊥EB，∴AE为⊙O的切线，∵CD、CB为⊙O的切线，∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO，∴BD⊥OC，过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4，∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2，解得x＝9，∴CB＝9，∴OC＝＝，∵＝，∴BF＝．21．【解答】解：（1）∵y＝﹣0.4x+b，直线经过点（1，2.4），∴﹣0.4+b＝2.4．解得：b＝2.8．∴扣球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y＝﹣0.4x+2.8．∴点P的坐标为（0，2.8）．吊球时，设y＝a（x﹣1）2+3.2．∵抛物线经过点（0，2.8），∴2.8＝a（0﹣1）2+3.2．解得：a＝﹣0.4．∴吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2．（2）①当x＝3时，y＝﹣0.4×3+2.8＝1.6．答：球网AB的高度为1.6米．②当y＝0时，0＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2．解得：x1＝1+2，x2＝1﹣2（不合题意，舍去）．∴羽毛球落地点到球网的距离为1+2﹣3＝（2﹣2）米．（3）①接球点为（6，2.8）．若最大高度为5.8，那么a的值最小．∵点P的坐标为（0，2.8），∴n＝3．∴y＝a（x﹣3）2+5.8．∴2.8＝a（6﹣3）2+5.8．解得：a＝﹣．②接球点为（8，2.8）．若最大高度为4.8，那么a的值最大．∵点P的坐标为（0，2.8），∴n＝4．∴y＝a（x﹣4）2+4.8．∴2.8＝a（8﹣4）2+4.8．解得：a＝﹣．∴a的取值范围为：﹣≤a≤﹣．22．【解答】解：（1）由题意，观察图象AB过点（0.5，2.5），（1，3），设AB解析式为y＝mx+n，∴，∴，∴AB解析式为y＝x+2．设BC所在反比例函数为y＝，又过点（2.5，3.2），∴k＝2.5×3.2＝8．∴BC所在反比例函数为y＝；（2）∵AB为y＝x+2，又令y＝，∴x＝，又AB所在函数y随x的增大而增大，∴x≥，∵BC所在反比例函数为y＝，令y＝，∴x＝3．又BC所在反比例函数y随x的增大而减小，∴x≤3，∴有效消毒时间段为≤x≤3．（3）由题意，m≤2≤3m时，（即≤m≤2），①把x＝m，y＝代入y＝x+2，得＝m+2，解得m＝，把x＝3m＝2