人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：3 1 2 第二课时 椭圆的方程及性质的应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第二课时椭圆的方程及性质的应用课标要求素养要求1.巩固椭圆的简单几何性质.2.会判断直线与椭圆的位置关系.3.能利用弦长公式解决相关问题.通过运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.自主梳理1.点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)>1.2.直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<03.弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)，所以|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（kx1－kx2）2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1－x2）2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)y1－\f(1,k)y2))\s\up12(2)＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1－y2）2)＝__eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.(√)(2)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线.(×)〖提示〗因椭圆中a>b>0，所以点P(b，0)在椭圆的内部，故无法作椭圆的切线.(3)直线y＝k(x－a)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的位置关系是相交.(√)(4)直线与椭圆的位置关系有：相离、相切、相交三种.(√)2.已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为()A.(－2，0) B.(0，1)C.(2，0) D.(0，1)或(0，－1)〖答案〗D〖解析〗由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，即P点坐标为(0，－1)或(0，1)时，取“＝”.故选D.3.过椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于()A.4 B.2eq\r(3) C.1 D.4eq\r(3)〖答案〗C〖解析〗因为eq\f(x2,4)＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为(eq\r(3)，0)，将x＝eq\r(3)代入eq\f(x2,4)＋y2＝1得，y＝±eq\f(1,2)，故|AB|＝1.故选C.4.已知点P(m，1)在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的外部，则实数m的取值范围是________.〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(6),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，＋∞))〖解析〗由题意可知eq\f(m2,4)＋eq\f(1,3)＞1，解得m＞eq\f(2\r(6),3)或m＜－eq\f(2\r(6),3).题型一直线与椭圆位置关系的判断〖例1〗当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点？解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,9x2＋16y2＝144))消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144，整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14400.(1)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；(2)当Δ>0时，得－5<m<5，此时直线l与椭圆有两个公共点；(3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点.思维升华判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.〖训练1〗若直线y＝x＋m与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1有两个公共点，求m的取值范围.解把直线方程y＝x＋m与椭圆方程eq\f(x2,4)＋y2＝1联立，消去y，得到关于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0，由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0，解得－eq\r(5)<m<eq\r(5).故m的取值范围为(－eq\r(5)，eq\r(5)).题型二直线与椭圆的相交弦问题〖例2〗已知椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.(1)当直线l的斜率为eq\f(1,2)时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.解(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝eq\f(1,2)(x－4)，即y＝eq\f(1,2)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,\f(x2,36)＋\f(y2,9)＝1))可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(（x1－x2）2＋\f(1,4)（x1－x2）2)＝eq\f(\r(5),2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(\r(5),2)×6eq\r(2)＝3eq\r(10).所以线段AB的长度为3eq\r(10).(2)由题意易知l的斜率存在.设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,9)＝1，,y－2＝k（x－4），))消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(32k2－16k,1＋4k2)，由于AB的中点恰好为P(4，2)，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(16k2－8k,1＋4k2)＝4，解得k＝－eq\f(1,2)，且满足Δ>0.所以直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－4)，即x＋2y－8＝0.思维升华研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.〖训练2〗在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2，1)且被这一点平分的弦所在直线的方程.解法一如果弦所在直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2，1)显然不可能为这条弦的中点.故可设弦所在直线的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得x2＋4〖k(x－2)＋1〗2＝16，即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.设弦的两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(16k2－8k,1＋4k2)＝4，解得k＝－eq\f(1,2)，满足Δ>0.∴弦所在直线的方程为x＋2y－4＝0.法二设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，故有xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵点M(2，1)是PQ的中点，故x1≠x2，两边同除以(x1－x2)得，(x1＋x2)＋4(y1＋y2)eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，即4＋8k＝0，∴k＝－eq\f(1,2).∴弦所在直线的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0(经检验符合题意).题型三最短距离问题〖例3〗在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,7)＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝eq\f(3,2)x＋m，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,7)＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0得m2＝16，∴m＝±4，故两切线方程为y＝eq\f(3,2)x＋4和y＝eq\f(3,2)x－4，显然y＝eq\f(3,2)x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝eq\f(3,2)x－4与椭圆的切点即为所求点P.故所求最短距离为d＝eq\f(|16－8|,\r(32＋（－2）2))＝eq\f(8,\r(13))＝eq\f(8\r(13),13).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,7)＝1，,y＝\f(3,2)x－4))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(7,4)，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(7,4))).思维升华本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.〖训练3〗已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.解设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0))消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.故所求最短距离为d＝eq\f(|4－3|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，\f(1,3))).1.一种思想——方程思想解决直线与椭圆的位置关系解决直线与椭圆的位置关系问题，一般采用代数法，即将直线方程与椭圆方程联立，通过判别式Δ的符号决定位置关系.同