人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：1 1 1 第1课时 空间向量及其线性运算

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1§1.1空间向量及其运算1．1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．导语国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？一、空间向量的有关概念知识梳理1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)向量不能比较大小．(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A．单位向量都相等B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，则eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同〖答案〗D〖解析〗A中，单位向量长度相等，方向不确定；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小．(2)(多选)下列命题为真命题的是()A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝bB．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝pD．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c〖答案〗BC〖解析〗A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行．反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．(1)试写出与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)试写出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．解(1)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3个．(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(|AC|2＋|CC1|2)＝eq\r(|AB|2＋|BC|2＋|CC1|2)＝3.二、空间向量的加减运算问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？〖提示〗共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．知识梳理加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．例2(1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))〖答案〗AB〖解析〗A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故选AB.(2)化简(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________.〖答案〗0〖解析〗方法一(转化为加法运算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0．方法二(转化为减法运算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0．反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，如图中向量eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，如图中向量eq\o(AF,\s\up6(→)).三、空间向量的数乘运算知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ<0λa与向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．(3)向量λa与向量a一定是共线向量．例3如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋c.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.延伸探究1.例3的条件不变，试用a，b，c表示向量eq\o(PN,\s\up6(→)).解因为P，N分别是D1C1，BC的中点，所以eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝－a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.2．若把例3中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且eq\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)”，其他条件不变，如何表示eq\o(AP,\s\up6(→))？解eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))1＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(2,3)b.反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).解(1)由图可知，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.1．知识清单：(1)向量的相关概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．(3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列命题中，真命题是()A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等〖答案〗ABC〖解析〗容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．化简eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的结果是()A.eq\o(PM,\s\up6(→)) B.eq\o(NP,\s\up6(→))C．0 D.eq\o(MN,\s\up6(→))〖答案〗C〖解析〗eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))＝0．3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形〖答案〗A〖解析〗∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各