导数中利用构造函数解决题型-2025年高考数学一轮复习（新高考）

专题突破卷04导数中利用构造函数解决题型

朦题生颗嵬

V构造新函数匕喈交大小

构造新函数利用单调性解不等式

导数中利用构造函数解决题型

构造新函数证明不等式

构造新函数研究方程的根

亳题生各小击破

题型一构造新函数比较大小

971--

1.已知Q=—,6=cos—,c=e97,贝lj()

987

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】构造函数/(x)=cosx-「一；1xe]o,l]和g(x)=e'-(x+l),(x>0),利用导数

求解函数的单调性，即可求解.

【详解】令/(X)=cosx-11-'],xe[o,|J,则/''(x)=x-siiu,

令夕(x)=x-sinx,xe]o,1^,则“(x)=1-cosx>0,°(x)即/''(x)单调递增，所以

/(司>/(0)=0,故〃x)为增函数，所以/()>〃0)=0,可得cos；>!|,故”6.

令g(x)=e"-(x+l),(x>0),则g〈x)=e£-l>0,故g(x)为增函数，所以g]jj>g(0)=

-L92--L97

0,即e97——>o.所以e97<_,故c<〃，所以c<Q<b

9798

故选：B.

43

2.已知〃="；~~-b=~~,c=e,则下列大小关系正确的是()

ln4m3

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】c

【分析】构造函数/(x)=m(xte),通过导数判断单调性，进而利用单调性判断函数值的

Inx

大小.

【详解】由题，c=3.令〃无)=4(xNe),贝1]/(》)=芈二，

IneInxmx

因为x?e,所以广(x)=*Uo,所〃x)=A在卜,+巧上单调递增，

又。=/(4),6=/(3),c=/(e),e<3<4,故c<b<a.

故选：C.

3.己知定义域为火的偶函数“X)的导函数为了'(X),当x<0时，矿(x)-/(x)<0,若

〃二出力=94,0=犯，则。，b,c的大小关系是()

eIn23

A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b

【答案】D

【解析】构造函数g(x)=£<2,根据奇偶性及导数确定单调性，利用单调性即可求解.

X

【详解】令g(x)=&,由偶函数〃X)知，

X

当》€(-8,0)口(0,+(»)时，g(-x)=-g(x),

故g(x)=△唠为奇函数，

当XV。时，g，(x)=、'(x)；"x)<0

则g(x)为减函数，

由奇函数知，g(x)在(0,+°°)上为减函数，

而ln2<l<e<3,

所以g(3)>g(e)>g(ln2),

即c<a<b,

故选：D

4.设。=10$足0.1,6=(：05-^-,。=205皿工，贝！J()

2020

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】构造函数，根据三角函数的性质、利用导数判断单调性，作商比较大小即可得解.

【详解】解：由题意a=10sin(M=10sin'=20sin-l-cosL,

20sin—cos—<20sin—,即有Q<C.

202020

20sin—]兀

又因为・=——符=20tan—,设f(x)=tanx-x,0<x<—,

b120-2

cos一

20

.、'2•2112•2

sinxj[cosx+sinx1I〔I-cosxsinx

-1-21—21—2-2一°'

COSXJCOSXCOSXCOSXCOSX

当且仅当x=0时等号成立；

二函数〃x)=tanx-x在0段)上单调递增，

.•.当时〃x)2〃0)=0,即有tanx，，当且仅当x=0时等号成立;

c11

—=20tan——>20x——=1,即有b<c.

b2020

2“0sin—1cos—1]

又因为2=--------——=20sin—,设/(%)=sinx—x,0<x<—,

bcos—202

20

则/'(%)=(sinx)-1=cosx-lW0，当且仅当x=0时等号成立；

・•・函数/(x)=sinx-x在0,鼻上单调递减，

.••当0Wx<5时/(x)W/(0)=0,即有sinxWx,当且仅当x=0时等号成立;

.---=20sin—<20x—=1,即有

b2020

综上知，a<b<c.

故选：D.

5.设a*,6=In(1+sin0.02),c=21n|^,则0,b,c的大小关系正确的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】分别构造函数/(x)=sinx-x,xe，，m,g(x)=tax-%+l,%e(O,l),A(x)=ex-(1+x)2,

利用其单调性判断.

【详解】解：设/仁)=5也》7速€(0,2，贝I]-(x)=cosx-lW°,

所以/(x)在xe(0，m上递减，所以〃x)<〃0)=0,即sinx<x,

设g(x)=lnx-x+l,xe(0,l),贝I]g[x)=!一1>0,g(x)递增，

贝1Jg(x)<g(l)=0,即lnx<x-l,

所以b=In(1+sin0.02)<sin0.02<0.02=a,

令〃(x)=e*-(l+x/，则“(x)=e*—2(l+x),/(x)=e*-2,

当x<ln2时，〃'(x)<0,则"(x)递减，又〃(ln2)=-21n2<0,，(0)=-l<0,

所以当xe(0,ln2)时，/z,(x)<0,递减，

则A(x)<M0)=0,即eyi+x)、

因为0.02e(0,ln2),则A(0.02)<0,

所以eRi02-呜，BPa=-^-<C=21nf^,

e-e5050

i^b<a<c,

故选：D

2111

6.设。=5，Z?=sin—,c=In—,则下列正确的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】B

【分析】

根据题意，由时，sinx<x,cosx>l-y,然后构造函数求导，即可判断.

【详解】

对工£(0,'］,因为)=sinx-x,则V=cosx_l<0,即函数>=sinx—x在［0,^］单调递减,

且x=0时，>=0,贝Usinx—x<0,即sinx<x；

当工时，"(x)=cosx—1+5,贝I」d(x)=—sinx+x,且当XE］。,野时，sinx<x,

贝Ij0'(x)>o,所以函数°(x)在(0，鼻单调递增，贝1」。(％)>。(0)=0,即

X2

cosx〉1-----,

2

先考虑函数〃x)=sinx-ln(l+x),xe[0,l],则

12(l+x)+2x(x-l)(x+2)

/r(x)=cosx->0

1+x21+x2(l+x)2(l+x)

故/hy>〃°)=0,从而b*

再考虑函数g(x)=lnx-坐U，

XG[1,+OO),

『一，(；：

贝Ug〈x)=g-4(x+lxl)0

(x+l『x(x+l)x(x+l)

故gm>g(l)=°,=lnH_A

>0故0>Q.

1021

综上，b>c>a,

故选：B.

7.已知a=21n3-2,6=ln5-G+l,c=31n2-2&+l,则a,b,c的大小关系是()

A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】构造〃x)=lnx-«+l,贝丑=〃9)、b=f⑸、c=〃8),利用导数研究其单调

性，即可判断a,b,c的大小.

【详解】a=21n3-2=ln9-囱+1，6=ln5—退+1=ln5-石+1,

c=31n2-2V2+l=ln8-A/8+l,

令〃%)=InX-4+1且定义域为(0,+8),则r«=--—U=与反,

x2、x2x

所以在(4,+8)上/'(x)<0,即/(%)递减,故/⑸>〃8)>/(9),^b>c>a.

故选：A

32।

8.己知a=ln],6=§,c=e^，则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】

构造函数〃x)=x-lnx-g(x)=e=x-l(x>0),利用导数分析这两个函数的单调

性，可得出。、；的大小，J，1的大小，利用不等式的基本性质可得出e^、；的大小关

系，由此可得出。、b,c三个数的大小关系.

【详解】令/(x)=xTnx-l,其中x>l,

1r_1

则/(%)=1——=——>0,所以，函数/⑺在(1,+8)上为增函数,

XX

331

故当x>l时，/(x)>/(l)=0,则lnx<x—1,所以QMln'V'—ln',

二11

因为0〈五<2,贝!Jc=e2=—j=>—,

当x>0时，证明e，>x+l,令g(x)=e、-x-l,其中x>0,则g<x)=e*-1>0,

所以函数g(x)在(0,+e)上为增函数，故当x>0时，g(x)>g(O)=O,

11a7

所以当x>0时，e">x+l,贝lJ/〉±+l=±,所以e5<±,

223

31--2

所以In—<—<e2<—,因此avc<6.

223

故选：D.

9.若。=sin—,b=—,c=In1.1,则()

1111

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】根据。也c的形式，分别构造函数/(x)=x-sinx(x>0)和

g(x)=x+ln(l-x)(O<x<l),利用导数求得函数单调性后，通过比较x=［和x=0时的函

数值可得大小关系.

【详解】令/(x)=x—sinx(x〉O),贝U/'(x)=l—cosxNO,

.•./■(X)在(0,+8)上单调递增，.>/(0)=0,即5>sin，.•)>.；

…111110if,n

c=In1.1=In—=-In—=-In1---,

1011I11J

i丫

令g(x)=x+ln(l-x)(O<x<l),贝=————<0,

l—xl-x

.•.g(x)在(0,1)上单调递减，一(5卜8⑼=。，即，<-ln，一\，:.b<c-,

综上所述：a<b<c.

故选：B.

2023[

10.设0=声,6=——,c•=ln—,贝I()

20242024

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】构造函数“x)=x-ln(x+l)(0WxWl),利用导数研究单调性，即可比较6,c,由

2023

Ce词〉D,-—1,可比较。，b,从而得到答案

1丫

【详解】构造函数/(x)=xTn(x+l)(0<x<l),所以“x)=l-—=1_>0,即/⑸在(0,1)

1+X1+X

上单调递增，

所以/(击)>〃0)=0,1112025

即------ln(l+-----)>0,gp-——所以b〉c,

2024202420242024

又因为「丽、p0__所以。>八则a>b>c,

故选：B

11.已知4,b满足aea=61nb-6=e3(e是自然对数的底数)，贝！J()

A.ea+i<bB.ab<e123

513723

C.—<a<QD.—e<b<—Q

223

【答案】D

【分析]由题知3_Q_lnQ=0,2_(lnb_l)Tn(lnb_l)=0,^2-c-lnc=0,进而构造函数

/(x)=2-x-lnx,再根据函数〃无)的单调性得c+l=ln6,a>c,再与2-c=lnc求和整

理即可判断A、B,再由零点存在性定理判断C、D.

【详解】因为ae"=/,所以a=e""，即lna=3-(z,也即3-a-lnq=0,

即2-a-lna=-1,

令2-。-lnc=O,

由61n6-6=e3,BP6(ln/)-l)=e3,所以lnb+ln(lnb-1)=3,

即=0,

令/(x)=2-x-lnx,XG(0,+OO),/，卜)=_1一,<0在(0,+力)恒成立，

所以函数/(x)=2-x-lnx在定义域(0,+”)上单调递减，

由/(。)=/(1昉-1)=0,/(^)=-1<0,

所以c=lnb—l,a>c,所以c+l=lnb,贝！J〃+l〉lnb,所以故A错误；

又因为lnc=2—。，得2—lnc+l=Inb,所以lnc+lnb=lncb=3,解得c6=e，

所以必>加=/,故B错误；

令g(x)=3-x-lnx,则g(x)在定义域(0,+向上单调递减，

Xg(e)=3-e-lne=2-e<0,g(2)=3-2-ln2=l-ln2>0,

⑸々5।51।5—।5i2e：4八

2—=3------In—=—In—=Ine2-In—=In-----<In—<0'

⑴2222255

则g(x)在上存在唯一零点，又g(〃)=3-〃-lna=0,所以2<q<g,故C错误；

因为/(2)=2-2-ln2=-ln2<0,

(n2:

因为2e2=4e>2x2.5=10>9,所以2丁〉3，所以巨>1，

k)3

.3।31.3,i.3,2e7

f—=2------In—=—In—=Ine2-In—=m----->0n'

UJ222223

所以/(X)在仁,21上存在唯一零点，即：<c<2,则又cb=e',

<2)22c3

3],

贝i」b=上，所以彳e3<6<；e3,故D正确.

c23

故选：D

12.已知机=2「°2,〃=用心7?=2.04,则巾，小0的大小关系为（）

A.m<p<nBn<m<p

Q_p<n<mD.m<n<p

【答案】A

【分析】将0.02换成x,分别构造函数/(x),g(x),,利用导数分析其在。的右侧包括0.02

的较小范围内的单调性，结合/(0)=0,g(0)=0即可得出m,n,p的大小关系.

【详解】令x=0.02,则m=2102=21+0-02=21+Sn=7424=74+0.24=j4+12x，

p=2.04=2+0.04=2+2x,

当0<x<；,0<12x<4,j4+12x<J4+5

设〃x)=2+2x-j4+12x,贝ijf'(x]=2-.6=,

''j4+12xj4+12x

,f'__6.2V^m-62V475-6_

'(x]=2J4+12尤j4+12x<j4+12x0；

/(x)=2+2x-j4+12x在，J单调递减，A/(O)=0>/(0.02)=(2+0.04)-J4+0.24,

.­.0>(2+0.04)-V4+0.24nJ4+0.24>2+0.04n7424>2.04,

p<nf

当0<x<g,.-.0<12x<4,j4+12x<j4+12

设g(x)=2+2x—2,+x,

则g'(x)=2-2『n2=2(l-21n2)>0,

g(x)=2+2x-21+I在(0。单调递增，：.g(O)=0<g(0.02)=2+0.04-21+0-02,

.21+002<2+0.04,:.m〈p,

故选：A.

题型二构造新函数利用单调性解不等式

13.定义在R上的函数〃x)导函数为/'(x),若对任意实数x,有且

/卜)+2024为奇函数，则不等式/(x)+2024e，<0的解集为()

A.(一8，0)B.(0,+a)C.-JD.^-,+ooj

【答案】B

【分析】构造g(x)=Z(d，根据导数研究g(x)单调性，结合已知将问题化为g(x)<g(0),

e

再根据g(x)的单调性即可求出结果.

【详解】设g(x)=要，则g'(x)=:(x)一/(X),

ee

对任意实数X,有/(x)>_T(x),

所以g'(x)<0,则以x)在R上单调递减.

因为/(“+2024为奇函数，且人工)的定义域为R,

所以〃0)+2024=0,所以〃0)=-2024,所以g(0)=-2024.

因为e、>0,所以求不等式/(x)+2024e，<0的解集，

即求学<-2024的解集，即求g(x)<g(0)的解集，

e

因为g(x)在R上单调递减，所以g(x)<g(0)的解集为x>Q,

所以不等式/(x)+2024^<0的解集为(0,+动.

故选：B

14.定义在R上的可导函数/(x)满足若则他的取值范

围是()

A.(-℃,-!]B.(-00，；】C.[-1,+(»)D.[；，+◎

【答案】B

【分析】构造函数，并求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于加的不等式，解出即

可.

【详解】令g(x)=/(x)-x,贝ljg(x)=/(x)-1<0,故g(x)单调递减，

/(»0-/(I-2m)3m-1gpg(m)>g(l-2m),得加V1-2%,解得：

故选：B.

15.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,且

(x-l)[r(x)+/(x)]>0,/(2-x)=/(x)e2jc-2,则不等式空到的解集是()

ex

A.(0,e2)B.(l,e2)C.(e,e2)D.(e2,+(»)

【答案】B

【分析】构造函数g(x)=e"(x),根据已知讨论导数符号可得单调性，由

〃2-x)=〃x)e2-可得名⑵=且⑼，将不等式/驾<型转化为g(Ex)<g⑵，然后

ex

利用单调性可解.

【详解】记g(x)=e，/(x),则g，(x)=e，〃x)+<f(x)=e，[〃x)+/(x)],

因为(xT)[/'(x)+/(x)]>0,

所以当x>l时,r(x)+/(x)>0,则g'(x)>0,g(x)在(1,+。)上单调递增;

当x<l时，r(x)+/(x)<0,则g'(x)<0,g(x)在(-8,1)上单调递减.

又/(2-X)=f(x)e2x-2oe2-x/(2-x)=e"(x),即g(2-x)=g(x),

所以g(2)=g(0),

因为坐1<q1。e-/(lnx)<e2/(2)=g(lnx)<g(2),

所以0<lnx<2,解得Ice?.

故选：B

16.已知定义在R上的函数〃x)满足且当X2>xgl时，恒有

一”*)<。则不等式〃x7)>〃2x+l)的解集为()

/—X]

A.(-2,0)B.C.(一8,-2川(|',+8)D.(-<»,-2)u(0,+<»)

【答案】C

【分析】先根据〃2-x)=〃x)得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解.

【详解】由"2-x)=〃x)得，〃x)的图象关于直线x=l对称，

令g(x)=〃x+l),则g(x)是偶函数，又当%>再21时，恒有/(马)-/(不)<0,

故〃x)在［1,+动上单调递减，所以g(x)在［0,+力)上单调递减,

则/（》-1）>/（2丫+1）=8（"2）>8（20=>卜-2|<|2X,

即得(X-2)2(4/,3/+4X-4〉0,(3X-2)(X+2)>0

2

解得xV-2或x>］.

故选：C.

17.已知定义在R上的函数/(%)的导函数为了'(%),且满足八力-2/(力>0,/(1012)=e2024,

则不等式的解集为()

A.(0,2024)B.(O,e2024)C.(2024,+⑹D.(e2024,+«)

【答案】B

【分析】令仁;Inx,不等式转化为$<1,构造函数8⑺二誓，求导得到单调性，结

合g(1012)=空%=1,得到g⑺<g(1012),根据单调性解不等式，求出解集.

e

【详解】令t=(lnx,则x=e”，

2

所以不等式/glnx)<x等价转化为不等式<e,即岁<1,

构造函数g(f)=誓，则g，

由题意，g«)『⑺>0,所以g⑺为R上的增函数，

又〃1012)=e2。"，所以g(ioi2)="孕=1,

e

所以g«)=gjl<l=g(1012),解得t<1012,即:lnx<1012,

所以0<x<e2叫

故选：B

18.m知定义域均为R的函数/(无),g(x)的导函数分别为了'(x),g'(x),且

g（x）>0,/（5）=g（5）,<0，则不等式/(x)<g(x)的解集为(

加卜甘）

A.B.（5,+oo）C.（-8,1）D.（1,+（»）

【答案】B

/(x)g(龙)-/(x)g'(x)

【分析】运用函数导数的四则运算构造新〃口)=笳,〃(x)<0

[g(x)T

则用新函数的单调性解题即可.

【详解】令人X=一",则〃(x)=1g(x)j<°，所以〃(x)单调递减.

由/"⑺缶⑴名⑺加/⑸二名⑸，

得“村=坐<//(5)=噜=1,所以x>5.

g⑺g⑸

故选：B.

19.已知函数“X)及其导函数/'(无)的定义域均为R,"0)=0且〃x)+/'(x)>0,则不等

式/(*+4x—5)>0的解集为()

A.(-co,-5)U(l,+<»)B.(-co,-l)U(5,+co)

C.(-5,1)D.(-L5)

【答案】A

【分析】根据题意，构造函数g(x)="/(x),判断g(x)的单调性，将所求不等式进行同解

变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得.

【详解】设g(x)=e"(x),则g'(x)=e'[/(x)+/'(x)]>0,故g(x)单调递增.

又g(0)=e°/(0)=0,故/(x2+4x—5)>0可转化为e'+4x-5/(x2+4x—5)>0,即

g(x2+4x—5)>g(0),

由g(x)单调递增可得X2+4X-5>0,解得X<-5或X>1,

即不等式/(/+4x—5)>0的解集为(一'-5)U(1,+8).

故选：A.

20.已知可导函数/⑴的定义域为(-叫。)，其导函数/‘(X)满足切'(x)+2/(x)>0,则不等

式(x+2024)L/(x+2024)-/(-l)<0的解集为()

A.(-2025-2024)B.(-2024,-2023)C.(-巴-2024)D.(^>,-2023)

【答案】A

【分析】构造函数g(x)=Y/(x)(x<0),利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为

g(x+2024)<g(-l),结合函数的单调性解不等式即可.

【详解】令g(x)=/f(x)(x<o),JU!)g'(x)=x[xf\x)+2/(x)]<0,

故g(x)在(-8,0)上单调递减，

不等式(x+2024)2./(X+2024)-/(-1)<0可变形为

(x+2024)2./(x+2024)<(-1)2-/(-1),

即g(x+2024)<g(-l),

所以x+2024>-l且X+2024<0,解得-2025<%<-2024.

故选：A

21.已知函数J=/(X)的定义域是(T»,0)U(0，+00),对任意的国，%€(0,+8),x^x2,

都有x,H)-Z〃xj<0,若函数了=/(2x+l)的图象关于点对称，且〃2)=2,

X。一%\2)

则不等式/的解集为()

A.(-2,0)u(0,2)B,(-2,0)u(2,+oo)

C.(―℃,—2)u(0,2)D.(―oo,—2)u(2,+co)

【答案】C

【分析】构造函数△2，结合题目给的对任意的孙X2E(0,+OO),X^X2,都有

%了㈤一团叫)＜o,得出血的单调性，再利用j=/(2x+l)的图象关于点对称,

力一再xV2J

得到了(%)的奇偶性求解最后的不等式.

【详解】因为任意的孙々£(0，+。)，石都有玉)(0

/(尤2)/(再)

所以———匚＜0,令3＞为＞0,贝IJ小)＜检1,

flX2演

xxx2

4g«=-＞则g(x)在(o,+s)单调递减，

X

又函数V=/(2x+l)的图象关于点，;,0卜寸称,

则，(x)关于(o,o)对称，即为奇函数，

所以g(x)=Z12为偶函数，

X

则g(x)=△2在(-8,0)上单调递增，

由/(x)>x,

可得当x>0时，£区>1,

X

又"2)=2,则与=1,

所以当x>0时，。<%<2,

当、<。时，且上1=组=1,

x-22

所以x<-2,

则解集为印-2或0<x<2}

故选：C.

22.已知函数〃x)及其导数广⑺的定义域均为R,对任意实数x,/(%)=/(-%)-2%,且

当xNO时，/'(x)+x+l>0.不等式/(2x-2)-/(x)〈一言+3x的解集为()

A.(-=0,2)B.1|,2)03'+0°)D-(一°°，g[u(2,+co)

【答案】B

【分析】构造函数g(x)=〃x)+g/+x,从而结合导数与所给条件得到函数g(x)的单调性

与对称性，在将所给不等式中“X)化为g(x)即可得解.

【详解】令g(x)=/(x)+；x2+x,则g〈x)=r(x)+x+l,

由题意可得，当X20时，r(x)+x+l>0,即g(x)在(0,+8)上单调递增,

由/(x)=/(_工)_2尤,则g(x)_]x2-x=x2+x-2x,

即g(x)=g(-x),故g(x)为偶函数，故g(x)在(-8,0)上单调递减，

则不等式y(2x-2)-/(X)〈一程+3x可化为：

iIo2

g(2x-2)-—(2x-2)2-(2x-2)-g(x)+—x2+x<——1-+3x,

即g(2x_2)<g(x),则有|2x—2|<国，BP(2X-2)2<X2,

即(2x—2+x)(2x—2—x)<0,即(3x—2)(x—2)<0,

解得x€《,2]

故选：B.

23.已知函数/(x)的导函数为/'(x),且〃l)=e,当x>0时，r(x)<：+e"则不等式

/口)一12>1的解集为()

e

A.(0,1)B.(0,+动C.(1,+ao)D.(O,l)u(l,+(»)

【答案】A

【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.

【详解】不等式―'>1等价于/(x)>e*+lnx,即/(x)-e*+lnx>0,

ex

构造函数g(x)=/(x)-e'+lnx,x>0,所以g'(x)=/'(x)-e*,

因为x>0时，r(x)<|+e\所以g'(x)<0对於e(0,”)恒成立，

所以g(x)在(0,+8)单调递减，

又因为g⑴=/■⑴-e-lnl=0,

所以不等式/(X)-e'+lnx>。等价于g(x)>g(l),所以0<xvl,

即/3一、>1的解集为(0,1).

e

故选：A.

24.已知定义在R上的奇函数〃x),其导函数为/''(X),/(-3)=0,当x>0时，

3/(x)+矿(x)<0,则使得/(x)<0成立的x的取值范围是().

A.(-<x>,-3)u(O,3)B.(-3,0)。(3,+8)

C.(一8,-3川(3,+⑹D.(-8,-3)5-3,0)

【答案】B

【分析】设g(x)=x3/(x),根据题意可得函数g(x)为偶函数以及其单调性，再分x>o以及

x<0讨论即可得出答案.

【详解】设g(x)=x»(x),则g'(x)=3x2/(x)+x3/(x)=x2[3/(x)+矿(切，

由于当x>0时，3/(x)+矿(x)<0,

则当x>0时，g'(x)<0,g(x)在(0,+co)单调递减，

又“X)为奇函数，/(x)=一/(一x)，贝Ig(-x)=(-x)3/(-%)=?/(%)=g(x),则函数g(x)为偶

函数，

可得函数g(x)在(-*0)上单调递增，

又〃-3)=0,则g(-3)=g(3)=0,

当x>0时，由/(x)<0,可得g(x)<0,即g(x)<g⑶，解得x>3；

当x<0时，由〃x)<0,可得g(x)>0,即g(x)>g(3),解得一3<x<0；

综上，不等式/«<0的解集为(-3,0)0(3,+功.

故选：B.

题型三构造新函数证明不等式

25.若贝I]()

X2X1X2%1

A.e+liUj>e+lnx2B.e+iwcx<e+lnx2

%1X2%1X2

C.x2e>x1eD.x2e<xxe

【答案】C

【分析】根据选项构造两个函数〃x)=e=lnx,g(x)=?，再利用导数思想，来研究在

(0,1)上是否是单调函数，即可作出选项判断.

【详解】令〃x)=e-lnx,则广(x)=e::,令7z(无)=e，-：,贝叫(x)=e'+：>0恒成

立，

即r(x)=e"—在定义域(0,+动上单调递增，且J=e-l〉o,

因此在区间F上必然存在唯一看,使得/'(%)=0,

所以当xe(O,x°)时〃x)单调递减，当xe(x0,l)时〃x)单调递增，故A,B均错误;

令gG）=£,g，（x）=e'（；J）,当0＜无＜1时，g，（x）＜0,

；心（无）在区间（0,1）上为减函数，

x

e>e"2

0<再</<1,，—>—，即〉再©々，.,.选项C正确，D不正确.

国x2

故选：C.

26.若则()

e

A.ba<bb<aa<ahB.ba<aa<bb<ab

C.ab<aa<bb<baD.ab<bb<aa<ba

【答案】C

【分析】根据指数函数的性质结合〃X)=xlnx(-<X<1)的单调性分析判断.

e

【详解】因为y=a'd<a<D在R上递减，且

ee

所以M〉Q"〉/〉q，

11

因为歹="(—<6<1)在R上递减，且一

ee

所以加

令/W=xlnxd<x<1),则f\x)=lnx+1,

e

因为」v%vl,所以/'(x)>0,

e

所以/(X)在上递增，

因为！<。<6<1,所以/'(a)</(6),

e

所以alna<61nb,所以lna"<lnbJ

所以a"<bb,

所以d(优<bb<ba.

故选：C

27.已知k)g〃2021>log“2021>0,则下列结论正确的序号是()

①0.2"<0.2",②二>」，③ln6+a>lna+b,④若加>0,贝［‘<f

abbb+m

A.①②B.①③C.①④D.②④

【答案】B

【分析】推导出利用指数函数的单调性可判断①，利用作差法可判断②④，利用

函数〃x)=x-lnx在(1,+8)上的单调性可判断③.

【详解】因为1陶2021>log.2021>0,即绊手>半空>0,则lna>lnb>0,得

Inb\na

a>b>\.

对于①，因为指数函数y=0.2'为R上的减函数，则0.2”<0.2J①对;

11b2-a2伍一。)伍+。):0则"

对于②,②错;

a2b2a2b2a2b2

1r_1

对于③，构造函数/(x)=x-lnx,其中x>l,则=l--=—>0,

XX

所以，函数/(X)在(1,+8)上为增函数，则/⑷>/9)，即"lnq>6-Inb,

故lnb+Q〉lnQ+b,③对;

a+mab[a+m)-a(b+m)m(b-a)

nIaa+m

对于④，,/m>0,<0,则④错.

b+mbb(b+m)b[b+m)bb+m

故选：B.

28.下列不等式中不成立的是()

A.e0081-1>coslB.itIn4<4Init

20233+1〉20234+1

cD.log2021<log2023

'2023?+120233+120222024

【答案】C

【分析】由不等式e'之x+1可得A正确，构造函数/(%)=三，利用单调性可得B正确,

作差之后化简可得C错误，构造函数g(x)=[n(x+i)，利用单调性可得D正确.

【详解】由e-zcosl-1+1：令y=e'—X—1,则了=炉一1,

所以(-8,0)上了'<0,»递减，(。,+8)上y'>0,»递增，故出e°-0-l=0,

所以1之工+1,而cos1-1^0,所以ecos1-1>cos1-1+1=cos1,所以A正确；

»In4InTtAZ./\Inx讪_•x—Inx,1.

由兀l1n4〈41n兀知，——<---：令/(%)=---，贝_1-Inx,

x

471''xJ\)--%2

令/'(x)<0得:X>e,所以〃x)在(e,+s)上递减，所以〃4)<〃兀),

即*竽所以小―所以B正确;

20233+120234+1(20233+1)(20233+1)-(20234+1)(20232+1)

?20232+1-20233+1~(20232+1)(20233+1)

(2023。+2x20233+1)-(20236+20234+20232+1)-20232x20222

-2：-------------------------L_1---------------------------------L=-----------------------------<0

(20232+1)(20233+1)(20232+1)(20233+1)

20233+120234+1

即nn----\—<----；—，所以C错误:

20232+120233+1

黑H令g(x)J(x