《等腰三角形的轴对称性（1）》参考课件1

2.5等腰三角形的轴对称性（1）等腰三角形的性质等腰三角形生活情境有两边相等的三角形是等腰三角形.

等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰底边顶角底角底角新知探究剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？等腰三角形的性质11新知探究ABCAB=AC等腰三角形新知探究折一折：△ABC

是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ACDB折痕所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.新知探究找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角

ACBDAB与AC

BD与CD

AD与AD∠B

与∠C∠BAD

与∠CAD∠ADB

与∠ADC猜一猜：

由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.新知探究性质1

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.ABCD已知：△ABC

中，AB=AC.求证：∠B=∠C.证法1：作底边BC边上的中线AD.在△ABD与△ACD中，AB=AC（已知），BD=DC（作图），

AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.应用格式：∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角）.新知探究证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.∵AD平分∠BAC

，

∴∠1＝∠2.在△ABD与△ACD中，AB＝AC（已知），∠1＝∠2（已证），

AD＝AD（公共边），∴△ABD

≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C.ABCD((12新知探究证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D.∵AD⊥BC，

∴∠ADB

＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD与Rt△ACD中，

AB＝AC（已知），

AD＝AD（公共边），∴Rt△ABD

≌Rt△ACD（HL），∴∠B＝∠C.ABCD新知探究如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x分析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠BDC与∠C、∠ABC呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.（2）设∠A=x，请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴x+2x+2x=180°.例1典例解析解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.典例解析方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.典例解析【练习】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.设∠C=x，则∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.典例解析等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.A例2典例解析方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．典例解析建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?等腰三角形的性质22新知探究

想一想：

刚才的证明除了能得到∠B＝∠C,

你还能发现什么?重合的线段重合的角

ABDC

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD∠B

＝∠C∠BAD

＝∠CAD∠ADB

＝∠ADC=90°新知探究性质2

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.ABCD((12

填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空.在△ABC中，

AB=AC时.

（1）∵AD⊥BC,∴∠_____=∠_____，____=____.（2）∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____.（3）∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.122BDCDADBCBD1BCADCD新知探究画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？三线合一新知探究1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形.

4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（X）（X）（X）（X）（√）（√）辨一辨新知探究已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.（1）如图1，若AD＝AE，求证：BD＝CE；（2）如图2，若BD＝CE，F为DE的中点，

求证：AF⊥BC.图2图1例3典例解析证明：（1）如图1，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.（2）∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.图2图1G典例解析方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．典例解析2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40°B．30°C．70°D．50°A1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°B当堂练习3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_____________；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为_______________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_

_______________.75°,30°72°,72°或36°,108°30°，30°当堂练习4.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．ABCABC70°或20°注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.当堂练习5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，

∠B=30°，求∠BAD

和∠ADC的度数.ABCD解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，

∴

∠C=

∠B=30°，∠BAD=∠DAC，∠ADC=90°.

∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∴=60°.当堂练习6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，∴当堂练习探索拓展A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．