2024年中考数学考试易错题：圆（原卷版）

专题09圆

易错点1：圆中的平行弦

易错点2:垂径定理

易错点3:弧、弦、圆心角关系

/

易错点4:圆心角

易错点5:圆周角

易错点6:点与圆位置关系

易错点7:直线与圆位置关系

易错点8:三角形的外接圆

易错点9:三角形的内切圆

易错点10：切线的性质与判定

易错点11：圆内接四边形

易错点12:正多边形与圆

易错点13:弧长和扇形面积

易错点14:圆与三角形结合

易错点15:圆与四边形结合

易错点16:圆与一次函数结合

易错点17:圆与反比例函数结合

易错点18:圆与二次函数结合

易错点19:圆与相似结合

易错点20:圆与三角函数结合

易错点21:圆的新定义

易错点22:圆的无刻度尺作图

易错点23:阿基米德折线定理

易错点24:阿氏圆

易错点25:秦九韶一海伦公式

易错点26:托勒密定理

圆专题

易错点：

1.对圆的定义理解不清：学生可能会混淆圆的定义，认为所有的曲线都是圆，或者认为圆只能由圆心和一

个点确定。实际上，圆是由一个固定点（圆心）和所有到该点距离相等的点组成的集合。

2.对圆的性质理解不透彻：例如，学生可能不理解为什么圆的周长和面积与半径有关，或者为什么直径是

圆内最长的弦。

3.对圆的对称性和旋转性理解不足：学生可能无法正确理解和应用圆的对称性和旋转性，这会影响他们解

决与圆相关的问题。

4.计算错误：在进行圆的周长、面积、圆弧长度等计算时，学生可能会出现计算错误。这可能是由于对公

式理解不清，或者计算技能不熟练导致的。

5.忽视单位：在进行圆的计算时，学生可能会忽视单位的问题，导致计算结果错误。例如，他们可能会将半

径的单位误认为是厘米，而实际上应该是米或毫米。

6.对圆与其他几何图形的关系理解不清：例如，学生可能无法理解为什么圆与直线、其他圆、三角形等几

何图形之间的关系会影响圆的性质。

7.对圆心角与弧长的关系理解不足：学生可能会混淆圆心角与弧长的关系，无法正确地将它们联系起来。

实际上，弧长与圆心角之间的关系是通过圆的半径来建立的，弧长等于圆心角（以弧度为单位）与半径的

乘积。

8.对圆的切线理解不清：切线是与圆只有一个交点的直线。学生可能会对切线的性质感到困惑，例如切线

与半径垂直、切线长定理等。

9.对圆的内接和外接多边形理解不足：在学习多边形与圆的关系时，学生可能会对内接多边形和外接多边

形的概念感到混淆，无法正确理解它们的性质。

10.忽视图形的动态变化：在处理与圆相关的动态问题时，如滚动圆、旋转圆等，学生可能会忽视图形的动

态变化，导致解题错误。

易错点1：圆中的平行弦

例：0。的半径是10,弦4B=16,CD=12,则弦与CD的距离是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

变式1：在圆中两条平行弦的长分别6和8,若圆的半径为5,则两条平行弦间的距离为

变式2：如图，在。。中，AB是。。的直径，AC^AD,48交CD于E,直径CM交/。于N,连接

DM.

⑴求证：AB//DM；

⑵若。£=4,ON=2,求。。的半径.

易错点2：垂径定理

例：如图，为的直径，弦CD交AB于点E,BC=BD,NCDB=3Q。，AC=2日则。£=()

变式1：如图，为。。的弦，。为。。上一点，于点。.若=丽，AB=6,则

cosZAOD=

变式2：如图，正方形48C。内接于O。，点E为的中点，连接CE交AD于点尸，延长CE交。。于点G,

连接8G.

(1)求证：FB-=FE-FG

(2)若/8=10,求必和EG的长.

易错点3：弧、弦、圆心角关系

例：如图，在。。中，是。。的直径，ND4c=20。，弦CD=CB,则乙4DC=(

B.110°C.120°D.150°

变式1：如图，在O。中，AB=AC,点尸为直径2。上一点，连接CF并延长交45于点G,交。。于点£,

^AG=AF,BG=4,GF=6,则NB的长为.

变式2：如图，在中，ZC=90°,DM=DE,DEJ.4D交AB于点E,/E为。。的直径，DFLAB.

⑴求证：ACAD=ADAB；

⑵若DW平分/4DC,求/C4D的度数；

(3)若ND=3Z)=6cm,求图中阴影部分的面积.

易错点4：圆心角

例：如图，/BCD是。。的弦，延长/BCD相交于点£,已知NE=30。，ZAOC=100°,则防的度数

C.40°D.30°

变式1：已知N/PE,有一量角器如图摆放，中心。在尸N边上，CM为0。刻度线，08为180。刻度线，角

的另一边PE与量角器半圆交于C,。两点，点C,。对应的刻度分别为160。，68°,则

变式2：如图，已知A8是。。的直径，点。是半圆中点，点C是劣弧曲上的一点.

JT

(1)在图①中，ZDAC=15°,劣弧8c长为求48的长；

(2)在图②中，点C是应)中点，与/C交于点E,点尸在弦/C上，S.AF=DF,若DC=2,求ZC的

长.

易错点5：圆周角

例：如图，已知是OO的直径，点C、。分别在两个半圆上，若过点C的切线与N8的延长线交于点E,

则/。与/£的数量关系是（）

A.ZD+ZE=90°B.ND+2NE=180°

C.2ND-NE=90°D.2N£)+N£=180°

变式1:如图，AASC内接于OO,/ABC=70。，过点A的切线与CO的延长线交于点。，则ND=

变式2：如图，内接于O。，AB=AC,。是衣上一点，过点C作CE〃/。，交BD于点、E.

⑴求证：DC=DE；

(2)若/8=10,BC=4小,BE=6.

①求4D的长；

②CD的长为.

易错点6：点与圆位置关系

例：如图，在Rt^ABC中，NB=90°,AB=4,BC=7,点D在边BC上,且50=3,连接/D.以点。为

圆心，以r为半径画圆，若点/,B,C中只有1个点在圆内，则r的值可能为()

A

A.3B.4C.5D.6

变式1：在平面直角坐标系xOy中，我们定义点/(xj)的“关联点”为8(x+y,x-y).如果已知点A在直线

＞=x+3上，点3在。。的内部，OO的半径长为3亚(如图所示)，那么点A的横坐标x的取值范围

变式2：在平面直角坐标系xQy中，。为原点，对于两个图形X,y和直线＞=加，若在图形X上存在点/,

在图形y上存在点瓦使得点/和点B关于直线＞="，对称，就称图形X和y互为机关联图形.

⑴已知点尸的坐标为（0,3）,

①点P与点。互为-1关联图形，则点。的坐标为」

②若。。的半径为1,点P与。。互为〃?关联图形，则加的值为」

⑵己知点“（3,4）,射线04与线段/：>=-2（74x42）互为/关联图形，求才的取值范围.

（3）已知。。的半径为2,直线y=gx-l与x轴，y轴分别交于C,D,若。。关于了=加对称的图形S与点

C互为2m关联图形，直接写出m的值及点。与图形S的位置关系.

易错点7：直线与圆位置关系

例：在中，ZC=90°,4=60。，BC=4.若0c与相离，则半径为厂满足（）

C.0<r<2D.0<r<273

变式1：如图，直线AB、5相交于点O,ZAOD=30°,半径为2cm的。尸的圆心在直线4g上，且位于

点。左侧的距离6cm处.如果。尸以Icm/s的速度沿由/向8的方向移动，那么秒钟后。尸

与直线CD相切.

变式2：在平面直角坐标系无Oy中，点尸（演,九）到直线及+与+。=0（1+5230）的距离公式为:

d=|/x+为,例如，求点打1,3）到直线4x+3y-3=0的距离.解：由直线4x+3y-3=0知：A=4,

+32

|4xl+3x3-3|

B=3C=一3所以P（L3）到直线4x+3y-3=0的距离为:d二=2根据以上材料，解决下列

A/42+32

问题:

3

（2）己知：0c是以点C（2,l）为圆心，1为半径的圆，0c与直线＞=-^^+方相切，求实数6的值；

（3）如图，设点尸为问题2中OC上的任意一点，点A,B为直线3x+4y+5=0上的两点，且48=2,请求

出尸面积的最大值和最小值.

易错点8：三角形的外接圆

例：如图，已知E是“3C的外心，P、0分别是48、NC的中点，连接EP、交BC于点RD,若BF=5,

DF=3,CD=4,则的面积为（）

A.18B.24C.30D.36

变式1：如图，AD是AJBC的外角N48E的平分线，外接圆的圆心。为的中点，延长。8,/C交

于点?若NA4C=30。，BF=6,则AABC的周长为

变式2：如图，已知三角形。8C中，AB=AC,。是23C的外接圆劣弧/C上的点（不与点/,C重合）,

延长3。至E.

A

E

（1）求证：ND的延长线平分NCDE

（2）若NA4c=30。，28C中8C边上的高为2+VJ,求外接圆的面积

易错点9：三角形的内切圆

例：如图，已知中，ZC=70°,45=10,内切圆。。半径为3,则图中阴影部分面积和是（）

“25

71C.20-----JiD.20——兀

44

变式1:如图，“3C的内切圆OO与AB,3c分别相切于。，E两点，连接。£,40的延长线交DE于点

F,若N4C2=70。，则N4TO的大小是

变式2：学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三

角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切.小聪用A,B,C表示三角

形纸片的三个顶点（如图1）.请你按要求完成:

c

图1

⑴尺规作图：在图1中找出圆心点o(要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法)；

(2)若纸片三边长分别是：BC=8,AC=6,23=10,O。与边N3,BC,C4分别相切于点。，E,F(如

图2),求小聪截得的圆形道具的面积.

图2

易错点10：切线的性质与判定

例：如图，在直角坐标系中，以点。为圆心，半径为4的圆与y轴交于点8,点/(&4)是圆外一点，直

ACAD=22.5°,AB=2亚,则。E的长为.

c

变式2：如图，在。O中，AABC内接OO,连接08,作/B4D=/C交03延长线于点D.

(1)求证：为。。的切线；

(2)若tanC=；,OB=45,求8。的长.

易错点11：圆内接四边形

例：如图，四边形4BCD内接于。。，/C为。。的直径，。为弧/C的中点，过点。作DEL3C于点E,

若BE=CCE,则NR4。等于()

A.100°B.120°C.135°D.150°

变式1:如图，四边形48co为。。的内接四边形，。8平分44。。,4。为0。的直径，若/。4。=60。,/5=2,

则AD的长为

D

AC

O

B

变式2:如图，圆内接四边形4BCD的对角线/C,8。交于点E,BD平分/ABC,NBAC=NADB.

(1)求证：DB平分NADC,并求/氏4。的大小;

(2)过点C作CF〃/。交48的延长线于点尸.若/C=4D,BF=2,求此圆半径的长.

易错点12：正多边形与圆

例：我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形O/3CD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，N在x

轴负半轴上，固定边4。，将正五边形向右推，使点aB,C共线，且点C落在了轴上，如图2所示，此

时的度数为()

A.108°B.120°C.135°D.150°

变式1：如图，点。是正五边形48cDE和正三角形/FG的中心，连接4D,E尸交于点P,则//PE的度

数为______

A

⑴若尸是函上的动点，连接8P,尸P,求/AP厂的度数;

(2)已知AADF的面积为26.

①求b的度数；

②求O。的半径.

易错点13：弧长和扇形面积

例：如图，在平行四边形/BCD中，AD=6,以/。为直径的。。恰好经过点3,交.BC于点、E,当点E为

丽的中点时，下列结论错误的是(

_973-71

B.

»阴影_2

D.而的长为2兀

变式1：如图，扇形/O3中，NAOB=9Q°,点、C,。分别在04部上，连接BC,CD,点、D,。关于直线8c

对称，益的长为兀，则图中阴影部分的面积为

变式2：如图，在RtZ\/3C中，ZC=90°,平分/A4C,交3C于点。，。是边上的点，经过点A,

。的O。交于点E.

⑴求证：BC是。。的切线;

（2）若N5=30。，BDf.

①求OE的长；

②求阴影部分的面积.

易错点14：圆与三角形结合

例：如图，已知直线歹=^1—3,与X轴、y轴分别交于A、3两点，。是以。（0,1）为圆心，1为半径的圆

上一动点，连接尸4、PB,贝鼠尸45面积的最大值为（）

A.11.5B.11C.10.5D.10

变式1：如图，线段45是的直径，弦于点“，点〃是弧上任意一点（不与3,C重合），AH=\,

CH=2.延长线段9交DC的延长线于点E,直线MH交。。于点N,连结BN交CE于点F,则

OC=,HE,HF=

E

变式2：如图，在“3C中，AB=AC,以ZC为直径的。。交3C于点。，交A4的延长线于点E,连接

AD,CE,DE.

(1)求证：NBAD=NCED；

24

(2)若C0=2O,tan/CDE=^-,求的长.

易错点15：圆与四边形结合

例：如图，正方形N3C。中，E为AB上一点、,4FLDE于点、F,已知。尸=4斯=4,过C、D、尸的O。

与边AD交于点G,则。G=()

A.2B.y/5C.V6D.V7

变式1：如图，在矩形48。中，点E在N。边上，AE=4ED,AB的中垂线分别交BE,8c的延长线于点

N.MBC=CN,。。为△2NH■的外接圆，CF//BE,交。。于点尸，于点M(FAICBC),若FM=20,

则；矩形/BCD的周长为

变式2：圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.

⑴如图1,四边形为等邻边圆内接四边形，AD=CD,ZADC=6Q°,则：

(2)如图2,四边形/BCD内接于OO,为OO的直径，4B=10,AC=6,若四边形48co为等邻边圆

内接四边形，求C。的长;

(3)如图3,四边形/BCD为等邻边圆内接四边形，BC=CD,为OO的直径，且48=48.设8C=x,

四边形/BCD的周长为了，试确定了与x的函数关系式，并求出了的最大值.

易错点16：圆与一次函数结合

3

例：如图，。加的圆心M在一次函数y=1X+3位于第一象限中的图象上，。”与y轴交于C、。两点,

若。M与x轴相切，且CD=2而，则。河半径是()

变式1：如图，在平面直角坐标系xQy中，一次函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于43两点,

点尸在线段上，。尸与x轴交于/、C两点，当。尸与y轴相切时，/C的长度是.

变式2：如图，一次函数y=+6的图像与X轴的负半轴交于点/卜26,0）,与V轴的正半轴相交于点8,

△CUB的外接圆的圆心为点C.

（1）求点B的坐标，并求NR4。的大小；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）.

易错点17：圆与反比例函数结合

例：如图，平面直角坐标系中，以43为直径的O。与x轴交于点C,连接8C交V轴交于点。（0,1）,

ZCBO=30°,反比例函数y=4的图象经过点8,则左的值为（）

X

A.--B.--C.--D.-1

444

变式1：如图，一次函数>=2x与反比例函数>=幺（4>0）的图象交于A,8两点，点M在以C（4,0）为圆心,

半径为2的OC上，N是线段5M的中点，已知ON长的最大值为3,则左的值是.

变式2：如图，点尸是反比例函数y="(x<0)图象上一点，P4_Lx轴于点/,点/在y轴上，G>M过点/,

x

与y轴交于2、D,已知/、3两点的坐标分别为-6,0)，5(0,2),总的延长线交。M于另一点C.

⑴求。M的半径的长；

⑵当N4PB=45。时，试求出左的值；

(3)在(2)的条件下，请求出线段PC的长.

易错点18：圆与二次函数结合

例：如图，AB=5,。是的中点，尸是以点。为圆心，Z8为直径的半圆上的一个动点(点尸与点/,B

可以重合)，连接B4,过P作尸于点设4P=x,AP-AM^y,则下列图象中，能表示y与x

的函数关系的图象大致是()

p.

AMOB

A.二次函数B.一次函数C.正比例函数D.以上都不对

变式1:如图，二次函数了=/-4与x轴交于43两点(点A在点3左边)，与N轴交于C点，若点。坐标

为(0,2),以。点为圆心，R为半径作圆，P为。。上一动点，当面积最小为5时，则7?=.

变式2：如图，二次函数夕=-3/+6无+。与x轴的一个交点/的坐标为(-3,0),以点N为圆心作圆/,与

该二次函数的图象相交于点5,C,点8,。的横坐标分别为-2,-5,连接N3,AC,并且满足N8工/C.过

点3作无轴于点过点C作CNLx轴于点N.

(1)求该二次函数的关系式；

(2)经过点2作直线2。，在/点右侧与x轴交于点。，与二次函数的图象交于点E,使得乙4DB=N4BM,

连接ZE,求证：AE=AD

⑶若直线了=履+1与圆/相切，请求出发的值.

易错点19：圆与相似结合

例：如图，内接于。。，且/C=3C,/。的延长线交3C于点E,若“BE与"8C相似，则乙13C=

().

变式1:如图，AB、OE是。。的直径，点。在。。上，448c=20。，点。从点。出发沿顺时针方向绕圆心

。旋转1°(0<a<180),当&=时，直径。E在“3C中截得的三角形与相似.

变式2：如图1,在“3C中，CD为高,/8=10,8c=2而，BD=2,E,厅线段4D,C。上的两个

动点，且AE=DF,连接EF.

⑴/C=；

(2)在£、厂的运动过程中，当△NDC与△£)斯相似时，求。£的值；

⑶如图2,若以点。为圆心，的长为半径作半圆D.

①当半圆。与NC边相切时，求/E的长；

②当半圆。与线段8C只有一个公共点时，直接写出/E长的取值范围.

易错点20：圆与三角函数结合

例：如图，已知4(1,0),8为双曲线y=9(x>0)上的一点，cos/l=YZ,C为y轴的正半轴上一动点，当

x2

352

变式1：如图，在正方形48C。中，N分别是48,CD的中点，尸是线段ACV上的一点，8P的延长线交4D

于点E,连接尸2PC,将绕点尸顺时针旋转90。得AGEP,则下列结论：①CP=GP,②tan/CG尸=1；

③BC垂直平分尸G；④若=4,点£在/。边上运动，贝1]£),尸两点之间距离的最小值是3VL其中结

2

论正确的序号有.

变式2：如图，线段AS是。。的直径，弦CDLNB于点〃，点M是改上任意一点，AH=2,CH=4.

(2)求sin/CMD

(3)直线由/交直线CD于点E,直线V交。。于点N,连接3N交CE于点尸，求AE-HF的值

易错点21：圆的新定义

例：定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作

“等弦圆”•现有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为（）

/y

A.—B.2—5/2C.y/2—1D.2V2—2

2

变式1：对于。尸及一个矩形给出如下定义：如果。月上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称。尸

是该矩形的“等距圆”.如图，在平面直角坐标系工帆中，矩形的顶点A的坐标为（4,6）,顶点。、。在

x轴上，&OC=OD.若矩形45CQ的“等距圆”。尸始终在矩形内部（含边界），则O尸的半径一的取值范

围是_.

舛

B6

5

4

3

2

1

,ClD.

-6-5-4-3-2-\O-56x

变式2：在平面直角坐标系X。、中，对于任意三点凡S,〃给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值

的差我们称为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”：若三点的横距与纵距相等，

我们称这三点为“等距点

已知：如图，点力（T2）,点5（1,-1）.

⑴在£（3,4）,尸（2,—4）,G（-3,-2）中,与点45为等距点的是

⑵点P（f,o）为X轴上一动点，若4B,尸三点为等距点，求f的值；

（3）已知点。（3,0）,有一半径为1,圆心为（0,相）的。若。M上存在点。，使得4D,。三点为等距点,

直接写出用的取值的范围.

易错点22：圆的无刻度尺作图

例：在A43C中，//=50。，/8=60。，根据以下圆规作图的痕迹，只用无刻度直尺能正确找到A48c的

外心的是（）

变式1：在边长为1的网格中，C、B、。在格点上，5。与圆交于/、B,请按下面要求完成解答:

（1）DB=.

（2）请用无刻度直尺，画出4?弧的中点E,保留作图痕迹，并写出画法.

变式2：如图，在12x9正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.5,C为格点，以线段3C为直径的。。

交纵向格线于/点，连接NAAC,仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画

图结果用实线表示.

(1)在图1中作出圆心。;

(2)在图1中作AD平分ZBAC交。。于。点:

(3)在图1中作48绕。点顺时针旋转90。后的线段;

(4)在图2的。。中作弦=48.

易错点23：阿基米德折线定理

例：阿基米德折弦定理：如图1,NB与3C是的两条弦(即折线43C是圆的一条折弦)，4B>BC,点、

M是有的中点，MNLAB于■点、N,则点N是折弦/8C的中点，即4N=BN+BC.如图2,半径为4的

圆中有一个内接矩形/BO/8>8C,点M是疵的中点，MNLAB于点、N,若矩形ABC。的面积为

图1图2

A.娓B.2^2C.y[26—y/6D.—

变式1：阿基米德折弦定理：如图1,和3c是OO的两条弦(即折线/3C是圆的一条折弦)，BC>AB,

W是弧48C的中点，则从〃■向8c所作垂线的垂足。是折弦A8C的中点，即CD=/8+8。.请应用阿基

米德折弦定理解决问题：如图2,已知等边“BC内接于。0,48=10,。为。。上一点，ZABD=45°,

AELBD于点、E,则ABDC的周长是

A

A

图1图2

变式2：综合运用：

【问题呈现】阿基米德折弦定理:如图1,N8和8C是。。的两条弦（即折线是圆的一条折弦），BC>AB,

点M是％芯的中点，则从M向BC所作垂线的垂足。是折弦48c的中点，即下面是运用

“截长法”证明CD=3D+A4的部分证明过程.

证明：如图2,在CD上截取CG=48,连接M4、MB、和MG,

是方心的中点，

-"-MA=MC>

：.MA=MC（相等的弧所对的弦相等），

又=NC（同弧所对的圆周角相等），

AMAB^AMCG,：.MB=MG,

又，：MDLBC,：.BD=DG,：.AB+BD=CG+DG,^CD=BD+BA.

MMA

C

DG7B

（1）【理解运用】如图1,AB、BC是OO的两条弦，48=8,BC=12,点M是％前的中点，Affl,3c于

点。，则8。的长为;

（2）【变式探究】如图3,若点M是公的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、BD、A4之间存

在怎样的数量关系？并加以证明；

（3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：

如图4,8c是。。的直径，点4圆上一定点，点。圆上一动点，且满足/CUC=45。，若A8=12,的

半径为10,求/。长.

易错点24：阿氏圆

例：如图，矩形/BCD中，AB=4,AD=2,以B为圆心，以为半径画圆交边于点E,点P是弧CE

上的一个动点，连结尸。,取，则!工尸+。尸的最小值为（）

2

A.VioB.Vilc.V13D.V14

变式1：已知：等腰Rt4/BC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。是48上一点，以。为圆心的半圆与/C、

均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB,如图，贝|尸。+交P3的最小值是

2

变式2：阅读以下材料，并按要求完成相应任务.阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga）,古希腊人（公元前262-190

年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波

罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题.一动点P与两定点A,8的距离之比等于定比〃?：〃，则点尸的轨迹

是以定比机：〃（相："*1）内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称

“阿氏圆”.

PAvyt

如图1,点A,5为两定点，点尸为动点，满足==—，点M在线段45上，点N在的延长线上且

PBn

MANAmm,

一wl，则点尸的运动轨迹是以儿w为直径的圆.

n

下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：

过点8作8。///尸交尸M的延长线于点D.

=ZABD,ZAPM=ZBDM.

：.AAPMsABDM.

.PA_MA

"BD~MB'

..MAmPA

*MB~n~PB1

.PAPA

••而一而.

BD=BP.

・•・/BPD=ZBDP.

JNAPD=/BPD.

NAPA

如图2,在图1（隐去A®,BD）的基础上过点B作BE〃尸N交NP于点E,可知——=——，

NBPE

任务：

(1)判断尸N是否平分/8PC,并说明理由；

(2)请根据上面的部分证明及任务(1)中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；

(3)应用：如图3,在平面直角坐标系尤Oy中，/(-2,0),5(1,0),PA=2PB,则点尸所在圆的圆心坐标为

易错点25：秦九韶一一海伦公式

例：《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a,b,c求面积

的公式S=&.若三角形的三边诙3c分别为7,6,3,则这个三角形内切圆的半

径是()

.45RV5RA/TOnVio

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