2024-2025学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示素养作业提技能含解析新人教A版必修第二册

PAGE第六章6.36.3.4A组·素养自测一、选择题1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(C)A．－eq\r(2) B．eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0[解析]本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等.由a∥b知1×2＝m2，即m＝eq\r(2)或m＝－eq\r(2).2．已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，则实数y的值为(C)A．5 B．6C．7 D．8[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，y－1)，又eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7．3．已知向量a＝(eq\f(3,2)，sinα)，b＝(sinα，eq\f(1,6))，若a∥b，则锐角α为(A)A．30° B．60°C．45° D．75°[解析]∵a∥b，∴sin2α＝eq\f(3,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，∴sinα＝±eq\f(1,2).∵α为锐角，∴α＝30°.4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λA．－6 B．6C．2 D．－2[解析]a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6．5．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则mA．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．2 D．－2[解析]2a＋ba－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,∵(2a＋b)∥(a－mb∴－1＝(1＋3m)×2∴6m＝－3，解得m＝－eq\f(1,2).二、填空题6．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为__eq\f(1,2)__.[解析]a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)∵(a＋λb)∥c，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝eq\f(1,2).7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3).若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为__λ＝u__.[解析]∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u).又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0．∴λ＝u.8．已知a＝(1,1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，则实数λ的最小值是__－eq\f(1,4)__.[解析]因为a∥b，所以x2－x－λ＝0，即λ＝x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4).三、解答题9．已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，在直线AB上求一点P使|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|.[解析]设点P的坐标为(x，y)，①若点P在线段AB上，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(x－3，y＋4)＝eq\f(1,2)(－9－x,2－y).解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2).②若点P在线段BA的延长线上，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(x－3，y＋4)＝－eq\f(1,4)(－9－x,2－y).解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6).综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6).10．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1).(1)求3a＋b－2(2)求满意a＝mb＋nc的实数m和n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[解析](1)3a＋b－2(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))∴m＝eq\f(5,9)，n＝eq\f(8,9).(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2).又∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0．∴k＝－eq\f(16,13).B组·素养提升一、选择题1．(多选)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么(AD)A．k＝－1 B．k＝1C．c与d同向 D．c与d反向[解析]∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝－λ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,k＝－1.)).∴c＝－d，∴c与d反向.2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数xA．－2 B．0C．1 D．2[解析]因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝(C)A．{(1,1)} B．{(1,2)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)} D．∅[解析]设a∈M∩N，则存在实数λ和μ，使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4μ－3λ＝3,5μ－4λ＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝0，))∴a＝(－2，－2).4．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满意的条件是(C)A．k＝－2 B．k＝eq\f(1,2)C．k＝1 D．k＝－1[解析]因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1．二、填空题5．(北京高考)已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3)).若a－2b与c共线，则k＝__1__.[解析]a－2b＝(eq\r(3)，3).因为a－2b与c共线，所以eq\f(k,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，解得k＝1．6．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且|eq\o(P1P,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(PP2,\s\up6(→))|，则求点P的坐标为__(eq\f(4,5)，eq\f(3,5))__.[解析]设点P的坐标为(x，y)，由于点P在线段P1P2上，则有eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，又eq\o(P1P,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(PP2,\s\up6(→))＝(－1－x,3－y)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝\f(2,3)－1－x，,y＋1＝\f(2,3)3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5)，,y＝\f(3,5)，))∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))).三、解答题7．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).(1)求E、F的坐标；(2)推断eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))是否共线.[解析](1)设E(x1，y1)、F(x2，y2)，依题意得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2,3).由eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))可知(x1＋1，y1)＝eq\f(1,3)(2,2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝\f(2,3),y1＝\f(2,3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(1,3),y1＝\f(2,3)))，∴E(－eq\f(1,3)，eq\f(2,3)).由eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))可知(x2－3，y2＋1)＝eq\f(1,3)(－2,3).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3＝－\f(2,3),y2＋1＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(7,3)，,y2＝0.))∴F(eq\f(7,3)，0)，即E点的坐标为(－eq\f(1,3)，eq\f(2,3))，F点的坐标为(eq\f(7,3)，0).(2)由(1)可知eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝(eq\f(7,3)，0)－(－eq\f(1,3)，eq\f(2,3))＝(eq\f(8,3)，－eq\f(2,3))，(O为坐标原点)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(4，－1)＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线.8．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D、M、B三点共线.[解析]如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，令|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2．∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形.∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0).(1)∵eq\o(ED,\s\up6(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(ED,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，又