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文档简介
第2章三角形专题训练2【专项整合】利用等腰三角形的性质求角度和线段长
等腰三角形与垂直平分线结合求线段长1.
如图，在△
ABC
中，∠
ABC
＝∠
C
，
AB
＝15，
AB
的垂
直平分线
DE
交
AC
于点
D
，交
AB
于点
E
，连接
BD
，若
△
DBC
的周长为23，求
BC
的长.2345671解：∵
DE
是线段
AB
的垂直平分线，∴
AD
＝
BD
，∴
AC
＝
AD
＋
CD
＝
BD
＋
CD
.
∵△
DBC
的周长为
BD
＋
CD
＋
BC
＝23，∴
AC
＋
BC
＝23.∵∠
ABC
＝∠
C
，∴
AC
＝
AB
＝15，∴
BC
＝8.2345671
2345671解：由作图可知，
EF
垂直平分线段
AC
，∴
AD
＝
DC
.
∵∠
B
＝∠
C
，∴
AB
＝
AC
＝4.∵△
ABD
的周长为10，∴
AB
＋
AD
＋
BD
＝
AB
＋
DC
＋
BD
＝
AB
＋
BC
＝4＋
BC
＝10.∴
BC
＝6.2345671
等腰三角形与垂直平分线结合求角度3.
如图，在△
ABC
中，∠
ABC
＝30°，∠
ACB
＝50°，
DE
，
FG
分别为
AB
，
AC
的垂直平分线，则∠
DAF
的度
数为
.20°
2345671思路导航：由
DE
，
FG
分别为
AB
，
AC
的垂直平分线，可得
AD
＝
，
AF
＝
，然后根据等边对等角可得∠
ABC
＝∠
，∠
ACB
＝∠
，根据三角形内角和定理得出∠
BAC
的度数，进而得解.BD
CF
DAB
CAF
2345671
[2024·广州月考]如图，在△
ABC
中，∠
BAC
＝80°，边
AB
的垂直平分线交
AB
于点
D
，交
BC
于点
E
，边
AC
的垂直平
分线交
AC
于点
F
，交
BC
于点
G
，连接
AE
，
AG
.
求∠
EAG
的度数.2345671解：∵
DE
为边
AB
的垂直平分线，
GF
为边
AC
的垂直平分线，∴
AG
＝
CG
，
AE
＝
BE
，∴∠
C
＝∠
CAG
，∠
B
＝∠
BAE
，∴∠
BAE
＋∠
CAG
＝∠
B
＋∠
C
＝180°－∠
BAC
＝100°，∴∠
EAG
＝∠
BAE
＋∠
CAG
－∠
BAC
＝100°－80°＝20°.2345671
等腰三角形与折叠结合求角度4.
如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，∠
A
＝50°，将△
ABC
折叠，使点
A
与点
B
重合，折痕为
DE
，则∠
EBC
的度数
是(
A)A.
15°B.
20°C.
65°D.
100°A23456715.
[2023·青岛市南区期中]如图，将等腰三角形纸片
ABC
沿
DE
折叠，使点
B
与点
A
重合，且
AC
＝DC
，求∠
BAC
的度数.解：∵
AB
＝
AC
，∴∠
B
＝∠
C
.
由折叠的性质，得∠
BAD
＝∠
B
，∴∠
BAD
＝∠
B
＝∠
C
，∠
ADC
＝2∠
B
.
∵
AC
＝
DC
，∴∠
ADC
＝∠
DAC
＝2∠
B
.
∵∠
B
＋∠
BAD
＋∠
DAC
＋∠
C
＝180°，∴5∠
B
＝180°，∴∠
B
＝36°，∴∠
BAC
＝∠
BAD
＋∠
DAC
＝3∠
B
＝108°.2345671
等腰三角形与动点结合求线段长6.
[2024·北京月考]如图，△
ABC
中，
AB
＝
BC
＝
AC
＝12
cm，现有两点
M
、
N
分别从点
A
、
B
同时出发，沿三角
形的边运动，已知点
M
的速度为1
cm/s，点
N
的速度为2
cm/s.当点
N
第一次回到点
B
时，
M
、
N
同时停止运动.(1)当
AM
的长为
时，
M
、
N
两点重合；12
cm
23456716.
[2024·北京月考]如图，△
ABC
中，
AB
＝
BC
＝
AC
＝12
cm，现有两点
M
、
N
分别从点
A
、
B
同时出发，沿三角
形的边运动，已知点
M
的速度为1
cm/s，点
N
的速度为2
cm/s.当点
N
第一次回到点
B
时，
M
、
N
同时停止运动.(2)当
AM
的长为多少时，△
AMN
是等边三角形？2345671解：由题意得，当△
AMN
是等边三角形时，点
M
在
AC
上，点
N
在
AB
上.设运动时间为
t
s，则
AM
＝
t
cm，
BN
＝2
t
cm，∴
AN
＝(12－2
t
)
cm.要使△
AMN
是等边三角形，只需满足
AM
＝
AN
.
∴
t
＝12－2
t
，解得
t
＝4.∴
AM
＝4
cm.∴当
AM
的长为4
cm时，△
AMN
是等边三角形.23456717.
[2024年1月德州期末]在边长为9的等边三角形
ABC
中，点
Q
是
BC
上一点，点
P
是
AB
上一动点，以每秒1个单位的
速度从点
A
向点
B
运动，设运动时间为
t
s.(1)如图①，若
BQ
＝6，
PQ
∥
AC
，求
AP
的长；2345671点击跳转几何画板解：
(1)∵△
ABC
是等边三角形，
PQ
∥
AC
，∴∠
BQP
＝∠
C
＝60°，∠
BPQ
＝∠
A
＝60°，∠
B
＝60°，∴△
BPQ
是等边三角形，∴
BP
＝
BQ
，由题意可知
AP
＝
t
，则
BP
＝9－
t
，∴9－
t
＝6，解得
t
＝3，∴
AP
的长为3.23456717.
[2024年1月德州期末]在边长为9的等边三角形
ABC
中，点
Q
是
BC
上一点，点
P
是
AB
上一动点，以
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