2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷附答案解析

-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（）A. B. C. D.2.已知数列的前项和，则的值为（）A. B. C. D.3.在等差数列中，，则的值为（）A.7 B.14 C.21 D.284.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.5.设为数列的前项和，若，则的值为（）A.8 B.4 C. D.6.若点在圆的外部，则的取值一定不是（）A. B. C. D.7.已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（）A.公差 B.C.使成立的n的最小值为20 D.8.已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（）A.12 B. C.6 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程可能为（）A. B.C D.10.已知数列的前n项和为，则下列说法中正确的是（）A.若，则是等差数列B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则D.若是等比数列，且，则11.已知圆和圆，则下列结论中正确的是（）A.圆与圆相交B.圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为C.圆与圆的公共弦AB的垂直平分线方程为D.若AB为圆与圆的公共弦，P为圆上的一个动点，则△PAB面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线的方向向量为，且直线经过点，则直线的一般式方程为________．13.圆C：，Px0,y0为圆C上任意一点，则14.已知等比数列前n项和，，则a＝________；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线，，且满足，垂足为.（1）求的值及点的坐标.（2）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程.16.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.17已知圆C：，点．（1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程；（2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围．18已知数列满足：，数列满足.（1）求数列通项公式；（2）求的值；（3）求的值.19.已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．（1）证明：数列是等比数列；（2）证明：；（3）若，求数列的前n项和2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据数列的规律及通项可得数列的项.详解】由已知数列，，，，，…，，…，即，，，，，…，，…，则数列的第项为，第项为，故选：A.2.已知数列的前项和，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数列的前项和，可得数列的项，进而可得值.【详解】由已知数列的前项和，则，故选：C.3.在等差数列中，，则的值为（）A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】【分析】由等差中项的性质计算即可；【详解】因为在等差数列中，，所以，所以，故选：B4.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角.【详解】由题意可得直线的斜率为，设其倾斜角为，则，又，所以，故选：B5.设为数列的前项和，若，则的值为（）A.8 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.【详解】当时，，∴，当时，，则，∴，即数列是首项，公比的等比数列，即，∴故选：D.6.若点在圆的外部，则的取值一定不是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解.【详解】因为点在圆：的外部，所以，解得，又方程表示圆，则，即，所以，结合选项可知，的取值一定不是.故选：D.7.已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（）A.公差 B.C.使成立n的最小值为20 D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，由，得，即，即，又，所以，所以；故AD错，，故B错因为，，所以，，所以成立的n的最小值为20.故C正确.故选：C8.已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（）A.12 B. C.6 D.【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出的轨迹方程为，设到直线的距离为，由此可得，将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解.【详解】根据已知有，圆心O0,0，半径，因为弦，所以圆心到所在直线的距离，又因为为的中点，所以有，所以的轨迹为圆心为O0,0，半径为的圆，的轨迹方程为；令直线为，则到直线的距离为，则，即，所以当最大时，也取得最大值，由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的2倍，设圆心O0,0到直线的距离为，则，所以，所以的最大值为6.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程可能为（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由题意知直线过点，所以根据直线是否存在斜率进行分类讨论，结合等腰三角形等知识，即可求解.【详解】设为点A，易知点在直线上，直线与轴的交点，当直线的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线的方程为，与轴的交点为；此时，，，所以不是等腰三角形，故直线存在斜率；设关于轴的对称点为，当直线过，两点时，，是等腰三角形，同时直线的斜率为，倾斜角为，所以是等边三角形，所以，此时直线的方程为，化简得，设直线与轴相交于点，如图所示，若，则，所以直线，即直线的斜率为，此时方程为，整理得；所以直线l的方程可能为：或故选：AD.10.已知数列的前n项和为，则下列说法中正确的是（）A.若，则是等差数列B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则D.若是等比数列，且，则【答案】AC【解析】【分析】利用和的关系即可判断A，B选项；利用等差数列的求和公式即可判断C选项；通过举例即可判断D选项.【详解】对于A，若，则当时，，当时，，符合，故，则是等差数列，故A正确；对于B，若，则，，，故，不是等比数列，故B错误；对于C，若是等差数列，则，故C正确；对于D，若，符合是等比数列，且，此时，，不满足，故D错误.故选：AC11.已知圆和圆，则下列结论中正确的是（）A.圆与圆相交B.圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为C.圆与圆的公共弦AB的垂直平分线方程为D.若AB为圆与圆的公共弦，P为圆上的一个动点，则△PAB面积的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】根据圆的一般方程确定圆心、半径，判断的关系判断A，两圆方程相减求相交线方程判断B；应用点斜式写出公共弦AB的垂直平分线方程判断C；数形结合判断使△PAB面积最大时点的位置，进而求最大面积判断D.【详解】由题设，则，半径，，则，半径，所以，两圆相交，A对；两圆方程相减，得公共弦所在直线为，B对；公共弦AB的垂直平分线方程为，即，C对；如下图，若与重合，而到的距离，且，要使△PAB面积最大，只需到的距离最远为，所以最大面积，D错.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线的方向向量为，且直线经过点，则直线的一般式方程为________．【答案】【解析】【分析】根据点斜式求得直线方程，并化为一般式.【详解】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线方程为.故答案为：13.圆C：，Px0,y0为圆C上任意一点，则【答案】##【解析】【分析】设，则直线与圆有公共点，联立方程消元后，利用判别式即可得解.【详解】设，则，联立，消元得，由，解得，所以的最大值为.故答案为：14.已知等比数列的前n项和，，则a＝________；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】①.1②.【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合，有，即可求值，进而有即，结合对恒成立求的范围即可.【详解】由等比数列an的前n项和知，，所以，所以，而，，∴，即，由上知：，则，∴Tn即，当时，的最小值为，所以.故答案为：1；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线，，且满足，垂足为.（1）求的值及点的坐标.（2）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程.【答案】（1）；.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标.（2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解.【小问1详解】解：显然，可得，，由，可得，即，解得，所以直线：，直线：，联立方程组，解得，所以点．【小问2详解】解：由直线：，直线：，可得，，所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心1,0，半径，所以的外接圆方程是．16.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程可求出，，代入通项公式，即可求出结果；（2）分组求和，分别求出和的前项和，加起来即可求出结果.【小问1详解】设公差为，公比为，因为，则由可得，，即，由可得，，解得，则.所以有，整理可得，解得或（舍去）.所以，则，解得（舍去负值），所以.所以有，.【小问2详解】由（1）知，，，则..17.已知圆C：，点．（1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程；（2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）对直线l的斜率是否存在讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算；（2）要使圆C上存在到点P的距离为1的点，则圆心C到的距离满足，，运算得解.【小问1详解】因为，所以圆C方程为①当l的斜率不存在时，l的方程为，与圆C相切，符合题意；②当l的斜率存在时，设l的方程为，即，圆心C到l的距离，解得，则l的方程为，即，综上可得，l的方程为或．【小问2详解】由题意可得圆C：，圆心，半径，则圆心C到的距离，要使C上存在到P的距离为1的点，则，即，解得，所以m的取值范围为．18.已知数列满足：，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列an的通项公式.（2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；.（3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解.【小问1详解】由数列an满足：，当时，可得，两式相减，可得，所以，当，可得，所以，适合上式，所以数列an的通项公式为.【小问2详解】由数列bn满足，则.【小问3详解】由（2）知，可得，则，两式相加可得，所以.19.已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．（1