2023年高考数学二轮复习试题汇编：解三角形含解析

专题04解三角形

一、核心先导

二、考点再现

【考点1］正弦定理

nhc

砧=而芯=封=2氏(氏为AABC外接圆的半径).

⑴。=2RsinA,/?=27?sinB,c=2HsinC;

正弦定

.a.bc

(2)sinA=2R,sinB=?R,sinC=2R；

理的常

见变形(3)i:b:c=sinA:sinB\sinC;

_____q+Z?+c________a

⑷sinA+sinB+sinLsinA

【考点2】余弦定理

a2=b2+c2—2/?ccosA；

b2=c2-\-a2—2cacosB；

c2=a2+b2—2abcosC.

余弦定理的常见变形

b2+c2-a2

(l)cosA-2bc；

c^+c^—b2

⑵cos8-2ca；

(3)cosC-2ab-

【考点3］三角形的面积公式

(1)S“BC=T〃兀(①为边。上的高)；

(2)Sz\A5c='〃bsinC^'bcsinA=］〃csinB；

(3)5=5a+匕+，)&为三角形的内切圆半径).

三、解法解密

解法1.正、余弦定理的适用条件

(1)“己知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.

(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.

解法2.求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之

积，代入公式求面积.

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积.总之，结合图形

恰当选择面积公式是解题的关键.

解法3.已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解.

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.

解法4.以平面几何为载体的解三角形问题

解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多

个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形

中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于多确定角或边的范围。

四、考点解密

题型一:正、余弦定理的应用

例1.(1)、(2022•全国•模拟预测(文))在一ABC中，sin2A-sin2B+sin2C+sinBsinC,贝hosA=()

A.1B.--C.在D.

2222

【答案】B

【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解.

【详解】因为sin?A=sin?B+sin?C+sin8sinC,由正弦定理得〃=〃+/+*，

故选：B.

(2)、(2019•全国高考真题)△ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知asinA-Z?sin3=4csinC,

1、

cosA=——，则一二()

4c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】由已知及正弦定理可得片—02=4/,由余弦定理推论可得

/72+c2-a2C2-4C23c1h3

——=cosA=一,「.一=—x4=6,故选A.

42bc2bc42b4c2

【变式训练1-1］、在AABC中，角A，B,C的对边分别为"，b,。，若a=l,

A/3sinAcosC+(A/3sinC+b)cosA=0,则角A=()

27^TCTC5TC

A.—B.—C.—D.—

3366

【答案】D

【解析】a=1,^3sinAcosC+(A/3sinC+/?)cosA=0,

A/3sinAcosC+石sinCcosA=-bcosA，

6sin(A+C)=A/3sinB=-AcosA,

^3asinB=-Z?cosA，

由正弦定理可得：V3sinAsinB=-sinBcosA,

*.*sinB>0,A5/3sinA=-cosA,即：tanA=-^^,

3

5〃

•.•Ae(0,»),；.A=—.故选：D.

6

【变式训练1-2】、(2022•山东济南•模拟预测)ASC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

(2Z?-a)cosC=ccosA,c是a,b的等比中项，且ABC的面积为2若，则a+》=.

【答案】4&

【分析】由正弦定理统一为三角函数可得cosC,再由三角形面积公式得出必，再由等比中项及余弦定理即

可求出4+〃，即可得解.

【详解】(2b-a)cosC=ccosA

由正弦定理得，2sin3cosC-sinAcosC=sinCcosA,

即2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

又sin3wO,所以cosC=1,得sinC=1,

22

由SABC=LbsinC=2g,得LbxW=2/，得"=8.

222

又c是a,b的等比中项，所以，=必=8.

由余弦定理，=cr+b2-2abcosC得ab=a2+b~-ab.

22

Aa+b=2ab=l6,即4+尸=16,

则(a+6)2=a2+b2+2a6=16+16=32,即a+b-Ay/l-

故答案为：472

例2、(2020届山东省潍坊市高三上期中)在AA6C中，内角A，B,C所对的边分别为。，b,c.已

知a+b=10,c=5,sin2B+sinB=0.

(1)求a,b的值：

(2)求sinC的值.

【答案】(1)a=3,6=7；(2)地.

14

【解析】

(1)由sin25+sinjB=0,得2sin5cosjB+sin5=0,

因为在AABC中，sinBw0,得cosB=—,

2

由余弦定理Z?2=a2+c2—2accos3，^b2=a2+52-2xax5x

因为Z?二］0_Q,所以(10—a)?=a?+52_2xqx5x

解得a=3,所以b=7.

(2)由cosB=—,得sinB—

22

由正弦定理得sinC=£sin3=』x@=±®.

b7214

方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式.在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，

要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，

则要考虑两个定理都有可能用到.考查基本运算能力和转化与化归思想.

【变式训练2-1】、（2022•北京师范大学第三附属中学模拟预测）已知ABC的内角AB,C的对边分别为。，4c,

且V§"sin15+=-cos[5+YJ.

⑴求的值；

(2)给出以下三个条件:条件①:片-/+/+3c=o；条件②:0=粗功=1；条件③:SAABC=苧.这三个条件中

仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：

(i)求sinA的值;

(ii)求/ABC的角平分线5D的长.

【答案】⑴子

(2)①③正确，(i)sinA=m；(ii)BD^—

148

【分析】⑴将原式直接利用辅助角公式溶易求出sin，+/O,结合3«0㈤则易知2=/；

O-TT

(2)结合，此时。是三边最大，而条件②中6=1<a=6与已知矛盾，故条件①③正确，再结合面积公式,

余弦定理以及三角形内角平分线的性质即可求解.

【详解】(1)解:由题意知坏sin[B+/J=-cos(B+,

/.若sin(B+f+cos(B+m=0,

即2sin[3+=0

B+三=兀,

故2=g；

(2)由(1)得B=(

b>a,故条件②不成立，即条件①③正确,

在.ABC中，由余弦定理可得：

a2+c2-2accos^-=b2,

3

即［2+一〃2+=o,

对于条件①:a2-b2+c2+3c=0,

与上式结合可得a=3,

对于条件③:—acsinB=ac=15a,

244

故ac=15,所以。=5,

将a=3,c=5代入/+/一〃+〃c=o可得：b=7,

(i)在，ABC中，由正弦定理可得：

a_b

sinAsin5'

3_7

即sinA.2〃，

sin——

3

..3A/3.13

1414

(ii)Q5D是/ABC的角平分线，

.\ZABD=ZCBD,

八八—AB-BD-sinZABD<

.Sc,ABD=S_2=—=l

CDBC3

SBCD-BCBDsinZCBD

2

35

AC=7,AD=—,

8

在△AB。中，由余弦定理可得

35j.2x5x当”二些

=25+

8।81464

故AD=丁

O

综上:条件①③正确，sinA=^,BD=^-.

题型二:判断三角形的形状

例3.(1)>12.(2021•黑龙江・哈尔滨市第三十二中学校高三期中(理))在ABC中，二sinC+sinB

b-csinA

则ABC是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此确定三角形的形状.

【详解】由正弦定理得二==，即。2=/一/+/=/,

b-ca

所以三角形ABC是直角三角形.

故选：C

(2)、(2022•浙江省江山中学模拟预测)非直角一ABC中，内角A,B,C所对的边分别为,c,则“a>6”

是“tanA>tan3”的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】D

【分析】分析由““冷”能否推出“tanA>tan3"，再分析由“tanA>tan3”能否推出““>叶，根据充分条件与

必要条件的定义判断.

【详解】若ABC满足AB=AC=1,ABAC=120,

由余弦定理可得BC=^AB2+AC2-2AB-ACcosA=石，

止匕时，a>b,XtanA=-y/3<tanB=,

3

所以“a>b”不能推出“tanA>tan_B”，

所以不是“tanA>tanB”的充分条件，

若,ABC满足NC48=ZAC3=30,AB=BC^1,

则NA5C=120,所以tanA>tan3,

又b=y/a2+c2-2accosB=6,所以，

所以“3人4皿夕不能推出“。〉/',

所以不是“tanA>tanB”的必要条件,

故选：D.

【变式训练3-1】、(2018•广东・珠海市第二中学高二期中(理))在ABC中，若咽4=则ABC为

tanBb2

()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】将已知等式化边为角，化切为弦，结合二倍角公式，得到sin2A=sin23,再由A,B角的范围，即

可得出结论.

【详解】由正弦定理得，4=

b2sin2B

-z-.tanAsinAcosBsin2A

再由----=-----；—=.2，

tanBcosAsinBsinB

A(0,^),sinA>0,sinB>0,

所以sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,

2A=23或24+28=万，

TT

即A=5或A+2=—.

2

故选：D.

【变式训练3-2】、（2022•山西大附中高一阶段练习）在ABC中，若acos3+bcosA=a,则ABC的形状

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出sinC=sinA,进一步求得a=c,

即可得解.

【详解】解：由acos3+bcosA=a,结合正弦定理可得：sinAcos/?+sinBcosA=sinA,

sin（B+A）=sinA,可得：sinC=sinA,

■-a=c,则MC的形状为等腰三角形.

故选：A.

题型三:三角形中的范围与最值问题

例3.（1）、（2022・安徽•合肥市第八中学模拟预测（理））己知在3ABe中，ncosj?+&cosA=csinC.若

NBAC与—A3C的内角平分线交于点/,ABC的外接圆半径为1,则△AB/面积的最大值为（）

A.1+V2B.1+^/3

C.V2-1D.73-1

【答案】C

【分析】由正弦定理结合已知条件可求得。=方，可得出〃+从=4,再利用等面积法可得出一ABC内切圆

半径的表达式，结合基本不等式可求得△,面积的最大值.

【详解】由acosB+Z7cosA=csinC及正弦定理可得sir?C=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+3)=sinC,

Ce(O,万)，所以，sinC>0,贝i]sinC=l,所以，C=g

所以，ABC的外接圆直径为AB=2,

设内角A、B、C的对边分别记为。、b、c,则c=2,所以，a2+b2=c2=4

设,ABC的内切圆半径为“贝"+所以,'

1abab^a+b-2)ab[a+b-2)a+b]

因此，SAAB/

2Q+Z?+2(Q+/?+2)(Q+〃-2)a?+/—4+2oZ?2

因为2（〃2+）=（〃2+人2）+（〃2+人2）之（〃2+）+2砧=（〃+〃「

所以，S△3等_］72（72）当且仅当°=6=近时，等号成立，

因此，△AB/面积的最大值为0-1

故选：C.

（2）、已知在锐角AA5C中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,若2〃以》。=。855,则

----------------1------------------1----------------的最小值为（）

tanAtanBtanC

A.—B.V5C.近D.2A/5

33

【答案】A

［解析］2Z?cosC=ccos5,/.2sinBcosC=sinCeosB?

tanC=2tan5.又A+5+C=»,

/.tanA=tan［^--（B+C）］=-tan（B+C）=-tanB+tanC3tanB3tanB

1-tanBtanCl-2tan2B2tan2B-l*

12.D7

,------=-tanBH-------.

tanAtanBtanC3tan3tanB2tan336tan3

又；在锐角A4BC中，tanB>0,；.2tanB+」-N2、RtanBx〉=空,当且仅当

36tanBv36tanB3

tan八日时取等号，・•.（意+熹+京1=孚，故选A.

（3）、（2022.全国.模拟预测（理））如图，在平面四边形ABC£>中，ZBAD=45°,Z.BCD=135°,NBDC=15°,

CD=后,则四边形A8CD面积的最大值为.

［答案］岛2昌］

2

【分析】在△D3C中，由正弦定理得到BD=2；用面积公式求出△D3C的面积，在》。%中，由余弦定理

|AB|2+|AD2-|BD|2_V2

得cosABAD=再由基本不等式得到情斗|A。方，继而求出QR4面积的最

2|AB|-AD\F，

大值，然后可得出结果.

【详解】在△皿中‘"33。‘凝=1—2；S.即.|C小m15=与；

|AB|2+|AD2-|BD|2V2

在，DBA中,cos/BAD=

2|AB|-AD\2

化简得：|AB「+|AD『=4+夜|A4|AT)1221A5卜|4£)|,BP：\AB\-\AD\<-j=,

V24

=||AB|-|AZ)|-sin45<__x______=y/2+l；

°ABD42-V2

..•四边形的面积最大为：啦心+及+1=6+2拒+1；

22

故答案为：岳2岳］.

2

【变式训练4-1】、（2022.安徽省舒城中学三模（文））我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求

三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,贝IJ“三斜求

积”公式为S=；+,若〃sinC=2sinA,（a+c^=6+b2,则用“三斜求积”公式求得

ABC的面积为()

A.BB.百C.±D.1

22

【答案】A

【分析】根据因为片sinC=2sinA,（a+cf=6+b2,利用正弦定理得到/+/一从，代入体积公式求解.

【详解】解：因为a?sinC=2sinA,(ti+c)2=6+Z?2,

所以ac=2,a2+c2—b2=6—2ac=29

故选：A

43

【变式训练4・2】、已知AABC的面积为&+1,且满足——+——=1,则边AC的最小值为.

tanAtanB

【答案】2君

43,cosA-cosB1

【解析】V--+—^-=1,.・・4------+3-------=l,/.4cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB,

tanAtanBsinAsinB

3cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB-cosAsinB,

即3sin(A+B)=sinB(sinA-cosA),即3sinC=sinB(sinA-cosA),

口口/?(sinA-cosA)

3c=b(sinA-cosA)即c=

3

MABC的面积总……一;…A

b2b2

——(sin2A-cosAsinA)——(1-sin2A-cos2A)=J2+1，

612一

12(a+1)_12(0+1)

b2=1-sin2A-cos2A./r.V3c=b(sinA-cosA)>0,且0<A<兀,

1-V2sinl2A+—I

71人3»_A万9)、“cA%3万口「5TI„,C口口―12(夜+1)

1<A<7T,—<2A+—<—，・••当2A+—=—即A=—时，b?取得取小值-----——12,

44444281+72

Ab的最小值为2拓,即AC最小值为2框.

故答案为：26.

【变式训练4-3】、(2022•江苏•苏州外国语学校模拟预测)在锐角ABC中，角A2,C所对的边分别为”,瓦c,S

b

为ABC的面积，且2s=/-(人4,则士的取值范围___________.

【答案】用

【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得2cosA=2-sinA,再根据同角关系式可得sinA,cosA,tanA,

4

然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得6一5,3出，结合条件可得tanC的取值范围，进而即

ctanC5

得.

01

【详解】因为2s=〃一仅一。),且Su'bcsinA,

所以bcsinA="一。一0)2,即b2+c2-a2=bc(2-sinA),

由余弦定理得：cosA,

2bc

所以2cosA=2—sinA,Xcos2A+sin2A=1,

所以sin'A+asinA)2=l,

4

解得：sinA=w或sinA=0,

因为ABC为锐角三角形，

所以sinA=—,cosA=Jl-sin2A=Jl—~，

sinA4

所以tanA=

cosA3

因为A+3+C=7l,

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

bsin3sinAcosC+cosAsinC

由正弦定理得:

sinCsinC

4

-cosC+-sinC

55

sinCtanC5

因为ABC为锐角三角形,

71

0<B<-A+唱

2

所以，即

0<C<-

2

所以台AvC苦,

71

^〜W…ta〃nOt(an^八-Acosj^A=3-

14

所以0<----<一

tanC3

44

所以5<16,35+3<5,

tanC155tanC53

故答案为:

【变式训练4・4】、（2022.黑龙江•大庆实验中学模拟预测（文））在三角形A5c中，角A,B,。所对的边

分别为a,b,C,若包工=32=正，则该三角形周长的最大值为

b2

【答案】平

【分析】利用正弦定理化简式子，求出tanB的值，进而求出8的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求

出a+c4庭，即可求出三角形周长的最大值.

【详解】由正弦定理变形有：甄2=半，又因为包工=6COS8=，2,所以6cosB=sinB,则

abab2

tanB=&.B=Z,又因为走您0所以2百cosB_2gx/_#,

3b2

2

a+cI1/、2

又因为〃=a2+c2-2accosB=(«+c)2-3ac>^a+c^-3--=a(〃+c)，

4

所以（a+c）2（462=4*：=6=＞。+。＜而，当且仅当“a=c”时取等.

则该三角形周长的最大值为a+人+°=后+如=亚.

22

故答案为：巫.

2

题型四:解三角形的实际应用

例5.（1）、（2022.吉林长春.模拟预测（文））如图，从高为〃的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）

的长，如果测得桥头（B）的俯角是a,桥头（C）的俯角是夕，则桥BC的长为。

阴COS(6Z-/7)

A,3/B-------------Lh

sinasin(3sinasin/3

sin(a-£)cos(a-Z?)7

C.一—"hD.--------------n

cosacos0cosacos0

【答案】A

【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出8与3D,由CD-即求出BC的长即可.

【详解】解：如图所示:

由题意得：ZACD=0,AD=h,ZABD=a,

ATJ卜

在RtAkACD中，tanX.ACD=，即tan/?=，

h

整理得：8=丽;

AZ)h

在RtZXABD中，tanZABD=——,gptana=——,

BDBD

整理得：BD=——,

tana

则⑶=。-加=---=(人-+M

tanptanasin§sina

_sinacos0-cosasin尸〃_sin(a-夕)〃

sinasin/3sinasin,'

故选:A.

（2）、（2019・陕西・安康市教学研究室二模（理））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A

处时测得公路北侧一山顶。在西偏北45°（即44c=45。）的方向上，行驶1公里后到达8处，测得山顶

。在西偏北75。的方向上，仰角为60。，则此山的高度8=____________m.

【答案】1000指

【分析】由已知结合正弦定理求出3C,然后结合锐角三角函数定义，求出DC.

【详解】在，ABC中，ZBAC=45°,ZBCA=75°-45°=30°,AB=1000m.

A3BC

由正弦定理，得

sinN3cAsinZBAC

1000BC

所以丁

2

所以3C=10000,

因为NCBD=60。，所以tan6(F=g|=b,

BC

所以。C=7530=10000x6=1000面.

故答案为：1000".

【变式训练5-1】、（2022•全国•模拟预测（文））某学习小组的学习实践活动是测量图示塔AB的高度.他

JT1T

们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C,D,测得NBCZ）=w，ZBDC=~,且基点C,。间的

距离为C£>=（30+10/）m,同时在点C处测得塔顶A的仰角为:，则塔高A3为（）

A.20mB.20gme.40mD.15也m

【答案】A

【分析】设A8=x，则BC=后，利用正弦定理即得解.

【详解】解：设48=无，则BC=®

冗冗S

由题得NC3O=〃—上一上二二万.

3412

sin"=si*+&L"+也走=^1

126422224

30+10百可

在^BCD中，由正弦定理得几+0=QF，X=2。

4^2

所以塔高20m.

故选：A

【变式训练5-2】、（2022.浙江•镇海中学模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史,

为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后

摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,阳光照射

抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60）,若伞柄底正好位于该椭圆

的焦点位置，则该椭圆的离心率为.

【答案】2-回#-指+2

【分析】根据左焦点到右顶点距离可得。+c；在,ABC中，利用正弦定理可求得。，由此可得。，进而求得

离心率.

【详解】如图所示，

伞柄底端应该位于椭圆的左焦点，且左焦点到右顶点的距离为2&，即a+c=2后;

2a4

在，ABC中,由正弦定理得：W60+45）=丽，

76+72372+76

2

用「还卢，该椭圆的离心率为干一曰=2-6

故答案为：2-百.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解，解题关键是能够提炼出基本图形，结合正弦定理可求

得椭圆的“，*由此可得离心率.

五、分层训练

A组基础巩固

1.（2022.河北.模拟预测（理））已知.ABC的内角48,C所对的边分别为a,6,c,"C的面积为38,6=2,

2

c=acosB-l,贝!]〃=()

A.不B.V19C.2A/5D.276

【答案】B

【分析】设三角形ABC外接圆半径是R,根据正弦定理和余弦定理即可求解.

【详解】设三角形ABC外接圆半径是R,

因为c=acosB—l,所以sinC=sinAcos5--—,

2R

sinBcosA=———,即bcosA=-1,

2R

i2

因为6=2,所以cosA=，因为A«0,兀），解得A=?7r,

q,小亩4=走，=述,解得c=3,

°ABC222

—,即「工4+0—/72，解得加।—

又cosA=

2bc2

故选:B.

2.(2023•江西景德镇•模拟预测(理))已知MBC中，设角A、B、C所对的边分别为。、b、c,ABC的

面积为S,若3sii?5+2sin2C=sinA(sinA+2sin3sinC),则记的值为()

A.-B.4c.ID.2

42

【答案】B

【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：3〃+2c2=“2+2AsinA,通过余弦定理可将等式化简

整理为2+W=sinA_cosA=&sin(A-M，通过三角函数图像可知,同时通过基本不等式可知

2+三20,即得2+三=&,通过取等条件可知A=与，c=回，将其代入问题中即可求解答案.

c2bc2b4

【详解】已知Bsin?B+2sin2C=sin2A+sinA-(2sinBsinC)

222

由正弦定理可知：3b+2c=a+2bcsinAf

/.3b2+2c2-a2=2Z?csinA，

整理得：(&2+c2-a2)+2ft2+c2=2Z?csinA,

两边同除2bc得：、+、-。2+2〃+02=血4,

2bc2bc

根据余弦定理得：cosA+-+^-=sinA,即%W=sinA-cos4=0sin(A-1，

c2bc2bV4J

b>0,c>0,"十三22屋3当且仅当2即c=®时等号成立.

c2b\c2bc2b

又々+£=sinA_cosA=&sin(A-当且仅当4时，等号成立.

c2bI4J4

综上所述：2+三之应且。+三《0,

c2bc2b

故得:1+三=0，此时°=夜〃且A=与，

c2b4

..3472S垃be插c母'

Sc=—PCsin——二——b7e,•,•「？=---T=--=--72=—.

244/,24Z?24Z?42

故选：B

3.(2022・全国•武功县普集高级中学模拟预测(理))在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,

ii31

若一-+-—―,且sin(C—5)=7sinA,则=()

tan3tanCbe-sinA2

35

A.IB.—C.2D.一

22

【答案】B

【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变换公式，把已知条件转化为各边的关系式，即可得出

答案.

113化简得鬻

【详解】--------1--------=------;----

tanBtanCbe-sinA

a2+c2-b1a2+b2-c2

由正弦定理、余弦定理，得一,^2alT_3，化简得。=后,

bcabc

由sin(C—5)=gsinA=gsin(C+3),展开整理得5111。以)53=35111385。,

贝|Jc./+/-/=3b,即2(/=。2=3,

laclab'7

所以02一片=|,

故选：B.

4.（2022・四川•模拟预测（文））在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知三个向量m=\,cos日

"=’,cosm]p=[c,cosg]共线，则ABC的形状为O

A.等边三角形B.钝角三角形

7T

C.有一个角是7的直角三角形D.等腰直角三角形

0

【答案】A

RA

【分析】由向量共线的坐标运算可得acos5=6cos],利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可

AR

得sin]=sin],结合角的范围求得4=3,同理可得8=C,则答案可求.

ABBA

【详解】向量机=(〃,cos—),"=S,cos—)共线，acos—=〃cos—,

2222

由正弦定理得:sinAcos—=sinBcos—

22

.,2s1n^cos^cos^=2sin^cos^cos^则sin.sing,

222222

A7TB71AB

0<—<—,0<—<—即A=5.

2222了一5

同理可得8=。.

ABC形状为等边三角形.

故选：A.

5.（2021.山东・日照神州天立高级中学）在AABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则丁ABC的形状是（）.

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理的边角关系可得〃=62+02,即可知△ABC的形状.

【详解】由正弦定理得，a2^b2+c2,

.、△A3c为直角三角形.

故选：A

6.（2022•吉林市教育学院模拟预测（理））在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若合一次=c?一也be

且bcosC=asin3,贝UABC是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】A

【分析】由"-加=02-四儿结合余弦定理可求得4=],由bcosC=osin3结合正弦定理可求得C=:,从

而可判断出三角形的形状

【详解】由/—/=d2—,得b2+d—a2=也儿,

所以由余弦定理得cosA="+°2—J=，亚=交,

2bc2bc2

因为AEQJT）,

所以A=9，

4

因为bcosC=asinB,

所以由正弦定理得sinBcosC=sinAsinB,

因为sinBW0,所以cosC=sinA=sin—=,

42

IT

因为Ce（0m）,所以C=巴，

4

所以2=兀一4一。=兀一二一二=工，

442

所以ABC为等腰直角三角形，

故选：A

7.（2022・安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知ABC的内角A民C所对的边分别为a,6,c,且

（＜2-Z?）sinA=csinC-Z?sinB,若ABC的面积为3#，贝的最小值为（）

A.2如B.46C.2D.4

【答案】A

【分析】根据题意（a-6）sinA=csinC-6sinB化简得C=g,再由ABC的面积为3而得仍=12,再由关

于角C的余弦定理加基本不等式即可求出答案.

【详解】-b）sinA=csinC-bsinB

c2=a2+b2—ab>lab-ab=12(当且仅当c=2道时取等号)，

C>2A/3

故选：A.

8.（2022•陕西西安•模拟预测（文））已知AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。=4,6=46,

3=120。，则AABC的面积为.

【答案】473

【分析】根据余弦定理和三角形面积公式即可求得面积.

222

【详解】由己知及余弦定理可得6?=a+c-2accosB=>48=16+c+4c,

故c?+4c-32=0,解得c=4或c=-8（舍）

所以S=LesinB=-x4x4x—=4A/3

222

故答案为：45/3

■JT

9.(2022•江苏南京•模拟预测)在MC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=:，/-/=缶2,

4

则A=.

【答案】95万

O

［分析］先利用边角变换得到sin2A-sin2B=6sin2C，再由sinB=sin1-金与C=?代入化简得到

sin(2A+j1=T,再根据O<A<¥，求得2A+£=若，即4=乎.

I4J4428

【详解】由正弦定理得，/一加=002可化为sin?A-sin?2=0side，

又因为。=:，所以sinC=X^,B=7i—A—C=——C,

424

口.9(3"八.3乃3兀.屈y/2

XsinB=sin------A=sin——cosA-cos——sinA=——cosAd------sinA,

I4J4422

(6历、

所以sin?B=——cosA+