最值问题-2024年中考数学考试易错题（原卷版）

专题11最值问题

易错点1:将军饮马

易错点8:阿氏圆

直线轨迹专题

易错点1:将军饮马

例：如图，在平面直角坐标系中，A(1,1),B(3,3),点尸为x轴上的动点，则为+P8的最小值为

()

A.275B.2百C.5D.V15

变式1:如图，。是。。的直径，CD=8,448=20。，点8为弧4D的中点，点?是直径上的一个动

易错点2：三点共线

例：如图，在中，48=13,80=10,。是8c中点，E/垂直平分48,交边于点E,交/C边于

点尸，在E尸上确定一点?，使-尸口最大，则这个最大值为()

A

A.10B.5C.13D.6.5

变式1：如图,四边形/BCD中，AB//CD,NABC=90。，AB=5,BC=3,CD=3,点P为直线BC左

a

侧平面上一点,ABCP的面积为:，则I尸”一尸C|的最大值为.

易错点3：两动一定

例：如图，已知4408=15。，点M在边03上，且（W=4,点N和点尸分另1J是OM和CM上的一个动点，则

PM+PN的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

变式1：如图，在四边形48C。中，AD//BC,4B=AC,BC=6,△D8C的面积为24,的垂直平

分线儿W分别交N8,AC于点、M、N,若点P和点0分别是线段儿W和BC边上的动点，则可+尸0的最小

值为.

CQB

易错点4：两动两定

例：如图，已知正比例函数＞=履（左＞0）的图象与x轴相交所成的锐角为70。，定点/的坐标为（0,4）,

P为y轴上的一个动点，M、N为函数了=依（左＞0）的图象上的两个动点，则/M+MP+PN的最小值为（）

B.4sin40°

C.2GD.4sin20°(l+cos20°+sin200cos20°)

变式1：如图，已知正比例函数＞=履（左＞0）的图象与x轴相交所成的锐角为70。，定点A的坐标为（0,4）,p

为V轴上的一个动点，M、N为函数、=日化＞0）的图象上的两个动点，则4W+"尸+PN的最小值

易错点5：两动一定长

例：如图，长方形中，AB=4,BC=2,G是4D的中点，线段E尸在边上左右滑动，若EF=1,

则GE+CF的最小值为（）

A.2A/3B.272C.3亚D.3g

变式1：如图，中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,若。，£是边43上的两个动点，/是边/C上的

一个动点，DE=①，则CD+E尸的最小值为.

易错点6：三动点

例：如图，在直角三角形48c中，，//C8=30。，4B=8,点P为BC上任意一点,连接P4,以尸/,PC

为邻边作平行四边形尸/0C,连接P。，则尸。的最小值为()

A.3B.4GC.6D.273

变式1：如图，△N3C中，AC=BC=3,AB=2,将它沿翻折得到△48。，点尸、E、尸分别为线段

AD、DB上的动点，则尸E+尸尸的最小值是.

D

易错点7：周长最小

例：如图，N/O3=30。，0c为/Z08内部一条射线，点尸为射线0C上一点，。尸=6,点M、N分别为04、

03边上动点，则△MAP周长的最小值为()

A

A.6B.8C.12D.18

变式1：如图，在。8c中，点。为48上一动点，连接C。，点£为线段上一点，点尸，点G分别为

边G4,边C8上的动点，若N/C8=30。，CE=6,贝!JAEFG的周长的最小值为.

易错点8：中位线

例：如图，在平行四边形48CD中，ZC=135°,AB=2,AD=3,点、H,G分别是CD,3c上的动点，连

接力",GH.E,F分别为4H,G〃的中点，则斯的最小值是（）

A.2B.41C与D.2A/2

变式1：已知矩形/BCD中，48=240=4,点£、尸分别是边48、CD的中点，点P为4D边上动点，过

点尸作与平行的直线交在'于点G,连接尸E,点M是PE中点，连接MG,则MG的最小值=.

易错点9：斜中定值

例：如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点/、5是坐标轴上的动点，若正方形的边长为

4,则线段OC长的最大值是0

c.4V2D.8

变式1：如图，长方形两边长/8=2,4D=1,两顶点4、8分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动,

则顶点D到原点。的距离最大值是

易错点10：隐直线

例：如图，在长方形N8CD中，AB=5,/。=3,动点P满足长方形相小，则P/+P8的最小值为

()

A.V41C.V29D.572

变式1：如图，在矩形/BCD中，=5,4。=12,点E是矩形内一动点，连接BE、CE,S.BCE=^S^ABCD,

尸为ND上一动点，连接防，则8E+CE+FE的最小值是

A

B

易错点11:矩形对角线

例：如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,ZC=3,BC=4.点。是边上的动点，过点。作边/C、BC

垂线，垂足分别为E,F.连接E/，则E尸的最小值为（）

A.3B.2.4C.4D.2.5

变式1:如图，直线y=。+3与坐标轴分别交于点A,3,点尸是线段48上一动点，过点P作尸轴于

4

点作PNLy轴于点N,连接MN,则线段儿W的最小值为.

易错点12：数形结合

例：函数」=6+2工+2+&一6工+13的最小值是（）

A.2+V17B.1+2亚C.5D.V17

变式1：数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东

西，这是数学解题的一个重要原则”.在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当

0<x<12时，求代数式Jx2+4+J（12-xy+9的最小值”,其中石帝可看作两直角边分别为x和2的

RtA/C尸的斜边长，而二拉方可看作两直角边分别是12-x和3的RtAB。尸的斜边长.于是构造出如图,

将问题转化为求NP+5P的最小值.运用此方法，请你解决问题：已知°,6均为正数，且。-10=-人则

yJa2+9+”2+25的最小值是•

易错点13：蚂蚁爬行

例：如图，已知圆柱底面的周长为6m,圆柱高为3m,3C为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点

A爬到点C的最短距离为（）m.

A.2A/5B.3亚C.375D.572

变式1：如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点3离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体

的表而从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是.

易错点14：切线与勾股定理

例：如图，OO的半径为2,点。到直线/的距离为3,点尸是直线/上的一个动点，尸。切OO于点0,

则尸。的最小值为（）

P

A.V13B.75C.3D.2

变式1：如图，在平面直角坐标系中，尸是直线48：y=；x+3上的一个动点，＜30的半轻为1,过点P作。。

的切线，切点为。，则P。长度的最小值为.

易错点15：圆锥侧面展开图

例：如图，圆锥的底面半径是2,母线长是6.如果点A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧

面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（）

B.673C.12D.4〃

变式1：如图，圆锥的母线长N3为2,底面圆的直径为2,若一只蚂蚁从圆锥的点3出发，沿表面爬到ZC

的中点。处，则其爬行的最短路线长为

易错点16：手拉手

例：如图，在“中，乙4cB=90。，AC=BC=2,点。是5C边的中点，点尸是ZC边上一个动点，连

接PD,以尸。为边在尸。的下方作等边三角形尸口。，连接C。，则C0的最小值是（

A

变式1：如图，ZX/BC中，Z5=30°,ZACB=90°,48=2,。在8C上，将线段绕点/逆时针旋转60。

得4P,则CP的最小值为.

易错点17：费马点

例：在RtZ\48C中，ZABC^90°,/ACB=3Q°,BC=6,尸为△/8C内一点，连接E4、PB、PC,则

B4+P3+PC的最小值为（）

A

A.2V2T475C.273+6D.473+3

变式1：如图，抛物线y="+6x+c经过点N（T0）,顶点为且抛物线与了轴的交点2在（0,-2）

和（0，-3）之间（不含端点），则下列结论:

①当一3VxWl时，＞W0；

②当AABM的面积为地时,_V3

a---

22

③当AABM为直角三角形时，在“03内存在唯一点尸，使得尸/+PO+P8的值最小，最小值的平方为

18+9方.

其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)

易错点18：胡不归

例：如图，矩形/BCD的对角线交于点。，AB=2,BC=2百，点尸是BC上的动点，则。P+的最小

值是()

A.V3B.3C.2A/3D.6

变式1：已知：在平面直角坐标系xOy中，点/(0,3),8(10,0),在x轴上存在一点P,使/尸+好台尸的值最

5

小，此时尸的坐标为,4P+也AP的最小值为.

圆轨迹专题

易错点1:两动一定

例：如图，矩形48CD中，AB=2BC=3,以/为圆心，1为半径画圆，£是。/上一动点，P是3C上

的一动点，则尸£+尸。的最小值是（

A.2B.3C.4D.273

变式1：如图，正方形4BCD中，AB=4,M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与血相交于点。,

P为CD上另一个动点，连接AP,PQ,则AP+PQ的最小值是.

易错点2：点运动路径

例：如图，是等腰直角三角形，乙4cB=90。，ZC=8C=4,点。是斜边上一点，^.BD^-AB,

4

将绕点。逆时针旋转90。，得到8'C'交48于点E.其中点C的运动路径为弧CC,则弧CC

的长度为（）

-5万

A*-------D.--------------D.—

244

变式1:如图，在矩形4BCD中，AB=2^,BC=4,某一时刻，动点E从点/出发，沿/。方向以每秒

1个单位长度的速度向点。匀速运动；同时，动点尸从点8出发，沿8C方向以每秒2个单位长度的速度向

点C匀速运动，当其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接E尸，过点。作E尸的垂线，垂足

为G.在这一运动过程中，点G所经过的路径长是

易错点3：折叠圆

例：如图，在矩形4BCD中，AB=4,AD=6,£是边的中点，下是线段3c上的动点，将AEB尸沿EF

所在直线折叠得到AEHR连接夕。，则夕。的最小值是（）

A.2M-2B.6C.2^/13-2D.4

变式1:如图，在矩形48co中，4B=10,BC=12,M为中点，N为BC边上一动点，将AACVB沿

折叠，得到△肱▽9,则CQ的最小值为

易错点4：直角圆

例：如图，在RtZ\4BC中，ABIBC,AB=6,BC=4,尸是A4BC内部的一个动点，满足NPAB=NPBC,

则线段C尸的长的最小值为（）

A

A.2B.4C.5D.7

变式1：如图，48是半圆。的直径，点。在半圆。上，AB=2屈,AD=IO,C是弧8。上的一个动点,

连接/C,过。点作。〃_L/C于，，连接在点C移动的过程中，8〃的最小值是.

易错点5：定角定长

例：如图，四边形/BCD中，ZABC=30°,ZADC=90°,DA=DC,BD=y/6,则四边形48CD的面积

C3-6