天津市某中学2024-2025学年高二年级上册第一次限时训练数学试卷（含答案解析）

天津市南开中学滨海生态城学校2024-2025学年高二上学期第

一次限时训练数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若直线/的方向向量a=(1,2,-1),平面二的一个法向量%=(-2,-4,左)，若/_Ltz,则实数

k=()

A.2B.-10C.-2D.10

2.已知平面a的一个法向量为=(-2,点N(-l,3,0)在平面a内，则点尸(-2,1,4)到平

面a的距离为()

108

A.10B.3C.—D.-

33

3.设点/(3,2,1),点次1,0,5),点。(0,2,1),若的中点为“，则|CN|等于()

A.372B.V3C.2A/3D.3

4.如图，平行六面体—其中48=4,AD=3,AA'=3,ABAD=90°,

ABAA'=60°,ADAA'=60°,则NC'的长为()

A.V55B.V65C.D.795

5.已知三角形三个顶点4-5,0),8(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在直线方程是()

A.x-13〉+5=0B.x-13>-5=0C.x+13y+5=0D.x+13y=0

6.已知直线4:ax+4y-2=0与直线4：2x-5y+b=o互相垂直,交点坐标为(l,c),贝ija+b+c

的值为()

A.20B.-4C.0D.24

7.圆/+了2-2工一5=0与圆工2+/+2X-4>>-4=0的交点为人，B,则线段AB的垂直平分

线的方程是

试卷第1页，共4页

A.x+y-l=OB.2x—jv+1-0

C.x-2j+l=0D.x-y+l=0

8.圆/+/—4、—4y_io=。上的点到直线x+y—14=0的最大距离与最小距离的差是()

A.36B.18C.5亚D.672

9.在x轴上的截距为2且倾斜角为135。的直线方程为.

A.y=—x+2B.y=—x—2C.y=x+2D.y=x—2

10.由直线V=x+1上的点向圆(x-3y+V=i作切线，则切线长的最小值为()

A.1B.V7C.272D.3

11.已知圆C的圆心与点尸(-2,1)关于直线y=x+l对称,直线3x+4y-ll=0与圆C相交于A、

3两点，且|/%=6,则圆C的方程为().

A.(x-l)2+/=18B./+(y-l)2=18

C.x2+(y+l)2=18D.(X+1)2+J^2=18

12.直线/：ax+gy-l=0与x,y轴的交点分别为/,B,直线/与圆。：,+y=1的交点为

C,D,给出下面三个结论：①VaNl，S^AOB=Y②三d1，③三位1,SACOD

〈工其中，所有正确结论的序号是()

2

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空题

13.经过点』(3,2),且与直线4x+y-2=0垂直的直线的方程为.

14.已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若则/=.

15.已知空间向量2=(3,0,4),刃=(-3,2,1),则向量在在向量乙上的投影向量是.

16.已知实数x,y满足6x+8y-l=0,则Jx?+y?-2y+l的最小值为.

17.已知点尸(2,1)在圆。:/+/+^-2^+6=0上，点尸关于直线工+了-1=0的对称点也

在圆。上，则圆C的半径为.

18.如图，在正四面体尸-NBC中，分别为尸42c的中点，。是线段MV上一点，且

试卷第2页，共4页

ND=2DM,^PD=xPA+yPB+zPC,贝”+>+z的值为

19.已知圆x，+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值

范围是__________

20.在平面直角坐标系xOy中，已知直线了=x+加(优＞0)与x轴，y轴分别交于N两点,

点尸在圆(x-mf+V=1上运动，若NMPN恒为锐角，则正实数加的取值范围是.

三、解答题

21.已知空间三点4(0,2,3)津(—2,1,6),C(l,—1,5).

⑴求以AB,/C为邻边的平行四边形的面积；

⑵若向量£分别与48,/C垂直，且|°|=6，求£的坐标.

22.已知圆。过点/(8,-1),且与直线L：2x-3y+6=0相切于点3(3,4).

(1)求圆C的方程；

⑵过点尸(-3,0)的直线/z与圆C交于M,N两点，若ACMN为直角三角形，求/z的方程.

23.如图，在四棱柱/BCD-44GA中，侧棱4/，底面NBC。，AB1AC,AB=1,

AC=AA,=2,AD=CD=y/5,且点W和N分别为8。和DQ的中点.

c

(1)求证：MN//平面4BCD；

试卷第3页，共4页

(2)求二面角A-ZC-耳的正弦值；

(3)设£为棱4耳上的点，若直线油和平面所成角的正弦值为:，求线段4E的长.

24.圆C:/+(y_3)2=l,点尸&0)为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分

别为M,N.

(1)若，=1,求切线方程；

(2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；

(3)若两条切线尸”，PN与直线＞=1分别交于/,3两点，求V/BC面积的最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ACDACBADAB

题号1112

答案CC

1.A

【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得.

【详解】由直线/的方向向量2=(1,2,-1),平面。的一个法向量片=(-2,-4,左)，11a,

得a///，则—=—=,解得k=2,

所以实数上=2.

故选：A

2.C

【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解.

【详解】由题得力=(1,2,-4),

\n-PA1-2-4-4110

所以尸(-2,1,4)到平面。的距离为^^」“+4+]=彳，

故选：C.

3.D

【分析】根据中点坐标公式求出点“，再根据两点间的距离公式求解即可.

【详解】因为43,2,1),点3(1,0,5),所以48的中点为以为(2点,3),又C(0,2,l),

所以|CM|=J(2_0)2+(l_2y+(3_ir=3.

故选：D

4.A

【分析】由/=Z§+75+Z?,^^AC'2=AB2+AD2+AA'2+2AB-AD+2AB-AA,+24D-AAr>

再利用数量积运算性质即可得出.

【详解】解：ABAD=9>AA'2=9，AB-AD=4x3xcos90°=0,

ZB-Z7=4X3XCOS600=6,15-Z?=3x3xcos60°=|.

AC'=AB+AD+AA',

答案第1页，共12页

•.2.2•2*2*.►.-•

••AC=AB+AD+AA'+24B-AD+2AB-AAr+TADAA1

9

=16+9+9+2x0+2x6+2x-=55,

2

"而|二A,

即4C的长为序.

故选：A.

5.C

【分析】由中点坐标公式求得5C的中点坐标，再求出5C边上中线的斜率，由直线方程的

点斜式得答案.

【详解】由8(3,-3),C(0,2),得8C的中点坐标为-；),

又4-5,0),

-+5j

2

,5C边上中线所在直线方程是y-0=-七(x+5),即x+13y+5=0.

故选：C.

【点睛】本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式的应用，是基础题.

6.B

【分析】根据两直线垂直可求出。的值，将公共点的坐标代入直线4的方程，可得出c的值,

再将公共点的坐标代入直线4的方程，可得出。的值，由此可得出a+6+c的值.

【详解】已知直线4的斜率为-直线4的斜率为：.

又两直线垂直，贝「qx2=_l,解得。=10.

45

二.4:10x+4y-2=0,即5%+2>-1=0,

将交点(l,c)代入直线4的方程中，得。=-2.

将交点(1,-2)代入直线/2：2x-5y+/>=0的方程中，得6=-12.

所以，a+b+c=10-12-2=-4.

故选：B.

答案第2页，共12页

7.A

【详解】圆2x—5=0的圆心为M（1,O）,圆/+/+2、——=0的圆心为N（—1,2）,

两圆的相交弦的垂直平分线即为直线其方程为=即x+.y-l=0；故

X-L-1-1

选A.

【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时,

往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆

心的直线方程）可减小运算量.

8.D

【分析】求出圆的圆心坐标及半径，判断直线与圆的位置关系即可求解.

【详解】解：因为圆/+产一4无一4/-10=0,即（》一2『+（>-2）2=18,

所以圆心坐标为（2,2）,半径厂=3行，

_|2+2-14|I-/-

因为圆心到直线x+y-14=0的距离5V2>3立，

Vi2+i2

所以直线》+〉一14=0与圆（工一2『+（y—2）2=18相离，

所以圆/+/一4》-4了-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差为

（d+厂）-（（/-,■）=2r—642,

故选：D.

9.A

【详解】直线的斜率为tanl35o=-l，由点斜式求得直线的方程为y=-x+b,将截据y=0,x=2代

入方程，解得b=2,所以，可得y=-x+2,故答案为A

10.B

【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值.

【详解】切线长的最小值是当直线y=x+i上的点与圆心距离最小时取得，

圆心（3,0）到直线的距离为d=%+h=2亚，

圆的半径为1,

故切线长的最小值为:T7=抠二？=V7,

故选：B.

答案第3页，共12页

【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题.

II.C

【分析】根据对称性得到圆心的坐标，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线

3x+4y-ll=0,利用弦长公式求得半径，进而得到圆的方程.

【详解】点尸(-2,1)关于直线y=x+1对称的点C(O,-1),

|0-4-11|

圆心到直线3x+4y-ll=0的距离为4==3,

62+下

所以r=J32+3?=3^2，

所以圆的方程为V+0+1>=18,

故：C.

12.C

【分析】①当时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当

时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得SACOD=；sin/NOCW；,

可得结论③正确.

【详解】解:①当时，把x=0代入直线方程可得把>=0代入直线方程可得了=1，

a

'.S^AOB=}-xa^—=}-,故结论①正确；

2a2

②当时，|4凶=Jo?+4'故|45|2=/_|—_,

、.\-a\

直线I可化为a2x+y-a=Q,圆心。到I的距离d=—r==

Vu+1

Q_11

-V7+I-[2±»故|C02=4（1-屋）=4（T21）,

V/0/

1----1---

假设|48|<|CD|,则必砰V|CZ>|2,即/+<4（121）,

aq+=

a

整理可得（6Z2H--7）2-4（6Z2H--z-）+4<0,即--2）2V0,

aaa

显然矛盾，故结论②错误；

S^COD=1\OA\\OC\sinZAOC=|sinZAOC<1,

故女21,使得品COD<；,结论③正确.

答案第4页，共12页

故选：c.

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属中档题.

13.无一4y+5=0

【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程

【详解】解：因为所求直线与直线4x+y-2=0垂直，

所以所求直线的斜率为:，

因为所求直线过点/（3,2）,

所以所求直线方程为＞-2=（（彳-3）,即x-4y+5=0,

故答案为：X-47+5=0

14.2

【分析】由题意可得限但一篇）=0,由向量的数量积公式求解即可.

【详解】因为方，（》-花），所以方•（3-篇）=0,即/一花石=0，

所以14-72=0,解得2=2.

故答案为：2

【解析】设向量5在向量4上的投影向量是42，由题意可得H=求得实数4的值,

即可得解.

【详解】设向量5在向量乙上的投影向量是彳7,

由题意可得H=即-5=252,解得4=一^,

因此，向量5在向量3上的投影向量是-gZ=：|,0,-g］

故答案为：［［。―

【分析】可得收+丫2-2丫+1=J（x-0）2+（广1）2,原式的最小值即为点N（0,l）到直线的距

离，可得答案.

【详解】解：­••7x2+y2-2y+l=7（x-0）2+（j^-l）2，

答案第5页，共12页

，上式可看成是一个动点M(x,y)到定点N(O,1)的距离，

即为点N到直线6x+8y-l=0上任意一点M(x,y)到定点N(O,1)的距离，

S=\MN\的最小值应为点N到直线1的距离，

,,|8-1|7

即：\MN\.=d='——L=—.

1lm,n病TFio

故答案：小7

【点睛】本题主要考查圆的相关知识及点到直线的距离公式，相对简单.

17.2

【分析】写出圆的标准方程，由点P关于直线》+了-1=0的对称点也在圆。上，则圆心在

直线x+y-1=0上，将圆心坐标代入直线方程，再根据点尸(2,1)在圆

C:x123+y2+ax-?.y+b=0上列方程组求解即可.

【详解】解：由C:x2+/+ax-2y+6=0得++(y-l)2=^-6+1,

则圆C的圆心为(-于1],

由点P关于直线x+V-1=0的对称点也在圆。上，则圆心在直线x+y-1=0上,

BP--+1-1=00,

2

又4+1+2。-2+6=0②

由①②得。=0,6=-3,

所以圆C的半径为，宁-6二=\[4=2.

故答案为：2.

【分析】利用基向量表示丽，结合空间向量基本定理可得.

【详解】PD=PM+MD=-PA+-MN=-PA+-(PN-7M)=-PA+-PB+-PC

2323366

112

所以x=-,y=z=-,所以x+〉+z=—.

363

【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.

19.-13<c<13

答案第6页，共12页

\c\

【分析】转化为原点到直线12x-5y+c=0的距离为小于一1,解不等式溟

即得解.

【详解】因为圆/+，=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,

所以原点至U直线12x-5y+c=0的距离为1<r一1=2—1=1,

由点到直线的距离公式可得

解得一13<c<13,

故答案为：-13<c<13.

V10+V2]

20.---------------------,4-00

4

7

【分析】设以"N为直径的圆的圆心为力,求出圆心坐标与半径得到圆的方程，由题意可转

化为两圆外离，据此列出不等式即可求解.

【详解】设以"N为直径的圆的圆心为力,

由题意可知M（-加,0）,N（0,加）,

叵

所以的中点半径为R=----m，

2

又圆（X—加）2+J?=1得圆心为（加,0）,半径尸=1,

由恒为锐角可知两圆外离，如图,

6即回>1+与,

所以H---------m，

222

融zVTo+y/2

解何B加〉--------

4

V10+V2

故答案为:--------------,+00

4

答案第7页，共12页

21.⑴76

⑵a—(1,1,1)或a=(-1,-1,-1)

【分析】(1)利用空间向量的夹角余弦公式求出NBNC=60。，从而得到以/瓦/C为邻边的

平行四边形的面积；

(2)设出Z=(x),z),根据空间向量垂直关系和模长，列出方程组，求出£的坐标.

【详解】(1)=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

AB|=,4+1+9=V14,|l4C|=Jl+9+4=V14，

ABAC(-2,-1,3)-(I-3,2)1

cosABAC=

714x714-2

\AB\-\AC\

Z5/lCe[0o,180o],

ABAC=60°.

故以N5,NC为邻边的平行四边形的面积S=2xLgx&ixsin6()o=7G.

2

(2)设Q=(%/,z).

aJLAB,aJLAC,且|a|=6,

—2x—y+3z=0x=1,\x=—1,

<x-3y+2z=0,解得〈y=i,或"{y=T

x2+y2+z2=3z=1.z=-1.

故:=(1,1,1)或(-1,T,T).

22.(l)(x-5)2+(y-l)2=13

(2)x+5y+3=0或1lx-23y+33=0

【分析】(1)根据题意中设圆心C(a,6),分别求出过圆心与切点的直线斜率，且圆过8点,

利用|G4|=|C@,从而求解.

(2)根据题意设出过点尸的直线，然后利用圆心到直线乙的距离建立等式，从而求解.

答案第8页，共12页

【详解】(1)设圆心坐标为C(a,6),又直线4与圆C相切，所以：CB",

设场；，勺分别代表直线CB,4的斜率，所以有：kCB-klt=-1,

由题意得：k,=|,所以有：UN—,

3a-32

b-4_3

结合|C4|二|CS|,并联立得:(〃—32

(a-8)2+(/?+l)2=(a-3)2+(6-4)2

a=5

解之得:

6二1

所以：圆的半径尸=J(叱3)2+"4)2=岳,

所以：圆c的方程为：(x-5)，(y-l『=13.

(2)因为ACW为直角三角形且|CM|=|CN|,所以CMLGV,

7V2衣

圆心C到直线4的距离:a=--r=----,

22

易知直线4的斜率存在，记为左，又直线4过点尸(-3,0),

设直线方程乙的方程为:y=k(x+i),

即:日一>+3左=0,

因为圆心。(5,1)到直线。的距离为：=，

整理得：115人2—32左—11=0,解之得：左二—J或左=三，

523

所以直线方程4的方程为：％+5>+3=0或llx-23y+33=0.

23.(1)证明见解析；(2)噜；(3)V7-2

【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得

4(0,0,0),5(0,1,0),C(2,0,0),。(1,-2,0),

答案第9页，共12页

zk

又因为MN分别为耳。和*的中点，得川

(I)证明：依题意，可得万=(0,0」)为平面N8C。的一个法向量，MV=k-1,0

由此可得，加.元=0，又因为直线AGVU平面48CD,所以MN//平面48CD

-----——n,•AD,=0

=(LT2)：aC=(2©0)，设4=(x,%2)为平面/cn的法向量，贝iJU一］

e4c—0

%—2v+22=0UL

即£=0,不妨设z=l，可得4=(。，1』)，

一名•ABy=0---->

设〃2=(x,%z)为平面4cBi的一个法向量，则｛一_.，又力用=(0,1,2),得

n2AC=0

y+2z=0一

，不妨设z=l,可得〃2=(0,-2,1)

2x=n0

因此有cos〈晨元〉==-雪，于是s%〈晨凌=誓，

所以二面角A-NC-片的正弦值为题.

10

(III)依题意，可设m=4泡，其中北[0内，则颐0,42),从而屉=(-1,2+2,1),又

元=(0,0,1)为平面/BCD的一个法向量，由已知得

NE-n________1__1

cos〈NE,弁〉=整理得分+44-3=0,

阳.同7(-1)2+(2+2)2+12~3

又因为2e[0,l],解得彳=疗一2,

所以线段4E的长为疗-2.

考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应

用.

答案第10页，共12页

24.(l)x=l和4x+3y—4=0；

Q

⑵直线MN过定点(0,；),理由见解析;

⑶e

2

【分析】(1)设过点尸。,0)且与圆C相切的直线方程x-叼-1=0,由直线与圆相切的相关

知识求解即可；

(2