浙江省中考数学考前冲刺复习：解直角三角形及其应用大题综合（原卷版+解析）

05解直角三角形及其应用大题综合

1.（2023•浙江绍兴•统考一模）某校数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用

所学知识测量铁塔的高度，他们先在点D处用测角仪测得塔顶B的仰角为65。,再沿CD

方向前行40米到达点A处，在点A处测得塔顶B的仰角为45。，已知测角仪AE高为1.5

米.请根据他们的测量数据,求此塔3F的高.（结果精确到0.1m,参考数据：sm65°«0.91,

2.（2023•浙江台州•统考一模）图1是一个太阳能面板，其侧面如图2,点C是的

中点，8C=30cm,支架CD可绕点C旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效

率最高.若太阳光与地面夹角为54。，要想吸收光能的效率最高，求A端离地面的高

度.（参考数据：sin54°®0.81,cos54°«0.59,tan54°«1.38）

图1图2

3.（2023•浙江丽水•统考一模）如图1,是一台小型输送机，其示意图如图2所示.已

知两个支架的端点的距离AB=240cm,传输带AE与支架所成的角/ABC=70。，支

架端点A离地面CD的高度AD=15cm,求支架端点8离地面的高度BC.（结果精确到

0.1m；参考数据sin70。a0.94,cos70。20.34,tan70°®2.75).

4.（2023•浙江台州•统考一模）虎年岁末，台州进入轻轨时代，极大地方便了市民的出

行，如图1是台州市城铁路S1线恩泽医院站出入口的自动扶梯，图2是其截面示意图，

已知扶梯8C与购票厅地面的夹角N3CD=130。，扶梯的长度为12m,求扶梯的底端C

距离入口平台的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin50°«0.77,cos50°«0.64,

tan50°®1.19）

正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键.

5.（2023•浙江台州•统考一模）如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，AC

是可以绕点A旋转的支架，是可以绕点8旋转的支架，C为灯泡的位置.量得

AB=10cm,AC=20cm,当NC4B=127。时，求点C到以'的距离.（参考

数据，sin37°«0.6,cos37。它0.8,tan37°«0.75)

图1图2

6.（2023•浙江宁波•统考一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其

基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变-43C的大小（菱形的边

长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.经测量，可在20。和

160。之间发生变化，（包含20。和160。），">=40cm.

（1）当NADC=120。时，求此时3D的长；

⑵当—ADC从20。变为160。时，这个千斤顶升高了多少cm?（sin80°=0.98,

cos80°=0.17,tan80°=5.67）

7.（2023•浙江宁波•统考二模）图示为某校园的闸口，其双翼展开时为两个30。圆心角

的扇形，PC=OQ=60cm,C、。处于同一水平线上且距离地面高度为18cm,8水

平距离为62cm.

（1）求A点距离地面的高度（精确到1cm）

（2）为了起到有效的阻隔作用，要求4?45cm,请通过计算说明该设备的安装是否符合

要求.（参考数据退合1.73）解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形.

8.（2023•浙江宁波•统考一模）读书架也称临帖架、书托架，可帮助我们解放双手和保

护眼睛，非常适合书法人群和学生使用.图1是实木读书架实物图，图2是其侧面示意

图，其工作原理是通过调节点。在CE上的位置，来改变A3的倾斜角度.已知

A?=30cm,AD=20cm,当点。调节到图2位置时，测得/ABE=65。，ZCAD=50°,

NDEB=30°.

图1图2

⑴求点A到破的距离.

(2)求DE的长.(参考数据：sin65°»0.91,cos65°«0.42,tan65°®2.14)

9.（2023•浙江绍兴•统考一模）某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块

固定于水平木板加上，05=50cm,将木板。“绕一端点。旋转40。至Q0'（即

ZMOM'=40°）（如图为该操作的截面示意图）.

（1）求点C到C'竖直方向上升高度（即过点c,C'水平线之间的距离）；

⑵求点。到。，竖直方向上升高度（即过点。，以水平线之间的距离）.

（参考数据：Sin40°y0.64,cos40020.77,tan40°，0.84,（1）（2）题中结果精确至IJ个位）

解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形.

10.（2023•浙江宁波•统考一模）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个

位置的示意图.A3是缓降器的底板，压柄可以绕着点8旋转，液压伸缩连接杆DE

的端点。、石分别固定在压柄3C与底板45上，已知

BE=12cm.

图1图2图3

（1）如图2,当压柄8C与底座垂直时，NDEB约为226。,求30的长;

⑵现将压柄从图2的位置旋转到与成37。角（即NABC=37。），如图3的所示,

求此时液压伸缩连接杆OE的长.（结果保留根号）

5175

(参考数据：sin22.6。Q—,cos22.6°®,tan22.6。2一

131312

343

sin37O«-,cos37o~-,tan370®-)

554

11.（2023•浙江温州•模拟预测）如图为某学校安装的红外线体温检测仪（如图1）,该

设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点

。可以在垂直于地面的支杆。尸上下调节（如图2）,已知探测最大角（NO3C）为58.0°,

探测最小角（NQ4C）为26.6。.

图1图2

（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度4B.

（2）该校要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度

0c.（结果精确到001米，参考数据:sin58.0°«0.85,cos58.0°«0.53,tan58.0°«1.60,

sin26.6°«0.45,cos26.6°«0.89,tan26.6°«0.50)

12.（2023•浙江舟山•统考一模）如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，AC

是可以绕点A旋转的支架，点C为灯泡的位置，灯罩可绕点C旋转.量得AB=10cm,

AC=20cm,此时NABF=37。，且CE_LDE.

（1）当NA=90。，CDLAC时（图2）,求灯泡C所在的高度；

⑵在（1）的条件下，旋转支架AC（AB固定）.当NA从90。变成57°（图3）时，且

的度数不变，CE'LD'E',求DE-DE的值.（结果精确到0.1,参考数据：

sin37°«0.60,cos37°~0.80,tan37°«0.75,sin20°~0.34,cos20°~0.94,tan20°~0.36）

图3

13.（2023•浙江宁波•校考一模）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm,BC

为支杆，它可绕点2旋转，其中8C长为50cm,DE为悬杆，支杆3C与悬杆OE之间

的夹角ZBCD为60。.

图I图2图3

⑴如图2,当支杆3C与地面垂直，且灯泡悬挂点。距禺地面的图度为100cm,求CO

的长；

⑵在图2所示的状态下，将支杆BC绕点8顺时针旋转20。，如图3,求此时灯泡悬挂

点D到地面的距离.（结果精确到1cm,参考数据：sin20°«0.34,cos20°«0.94,

tan20°®0.36,sin40°®0.64,cos40°它0.77,tan40°«0.84）

14.（2023•浙江宁波•统考一模）如图，从点。处观测楼房A3的楼顶端点B的仰角为63。,

从点。处沿着直线A£＞直走18m到达点E,从点E处观测楼顶端点8的仰角为35。，观

测广告牌端点C的仰角为38。,求楼房AB的高度和广告牌BC的高度（结果精确到0.1m；

参考数据：sin35。aQ57,cos35°®0.82,tan35°»0.70,sin38°»0.62,cos38°®0.79,

tan38°«0.78,sin63°«0.89,cos63°®0.45,tan63°®1.96）.

8

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15.（2023•浙江宁波•统考一模）如图1是一架踏板式人字梯，如图2是其侧面结构示

意图，左支撑架A2和右支撑架AC长度都为100cm,最上一层的踏板侧面DE平行于地

^BC,AD=20cm,若支撑架的张角ZBAC=40°.

⑴求BC的长.

(2)求踏板DE到地面的距离(结果精确到1cm)(参考数据:

sin20°«0.34,cos20°«0.94,tan80°«0.36)

16.（2023•浙江台州•台州市书生中学统考一模）如图是汽车尾门向上开启时的截面图，

已知车高钻=1.8m,尾门AC=1.2m,当尾门开启时，4c=110。，求点C离地面

的高度.（参考数据：sin20°«0.34,cos20°«0.93,tan200®0.36,结果精确到0.1m）

17.（2023•浙江台州•统考一模）图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻

使用者的颈椎压力.图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图.已知AC,BD

互相平分于点。，AC=BD=24cm,若NAO3=60。，ZDCE=28°.

⑴求。的长.

（2）求点。到底架CE的高。尸.（结果精确到Qla〃；参考数据:sin28°«0.47,

cos28°u0.88,tan28°®0.53)

18.（2023•浙江湖州•统考一模）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开启

4

侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且.〃BE,sinZBAF=~,箱盖开启

过程中，点2,E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点3',E'的位置，点E'在

线段EB的延长线上.若直线

图1图2

⑴求旋转角/E4E'的度数.（2）若BE'=28,求AB的长度.

19.（2023•浙江嘉兴•统考一模）如图1,一吸管杯放置在水平桌面上，矩形ABCD为

其横截面，OE为吸管，其示意图如图2所示,

AD=20cm,AB=6cm,OE—4cm,Z.EOB=36°.

（1）当杯子盖上时，吸管OE绕点O按顺时针方向转动到处，求OE扫过的面积.

（2）当杯子绕点C按顺时针方向转动到OE与水平线CM平行时（如图3）.

①求杯子与水平线CM的夹角NBCM的度数.

②由图2到图3,点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？（结果精确到

0.1cm,参考数据：sin36°«0.59,cos36°®0.81,tan36°®0.73)

20.（2023•浙江宁波•统考一模）如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分

布，水平地面上的点〃在旋转中心。的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶

片OAOB,此时各叶片影子在点M右侧形成线段CE,。的对应点为。，测得

MC=4m,CE=16m,此时太阳的与地面的夹角为30。（即NODW=30。）.

（1）求旋转中心到地面的距离的值.

（2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于2.5米，请判断此风车是否符合要

求.

21.（2023•浙江杭州•统考一模）若小红的眼睛离地面的距离为1.7米，在一处用眼睛看

篮球框，测得仰角30。，继续向正前方走1.6米再看篮球框，测得仰角60。，问篮球框距

地面的高度是多少米？

22.（2023•浙江宁波•统考一模）如图1,是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的

支架左侧平面示意图，当C,在上滑槽上左右滑动时，A,8同时在与平

行的下滑槽E/上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2

中R4=PB=OC=OD=15cm,中间7个菱形的边长均为15cm.

图1图2

（1）当NAPfi调节至120。时，求两滑槽间的距离（即MN与所之间的距离）；

（2）根据生活经验，当一个身高160cm的人，头顶与下滑槽所的距离不超过30cm时,

晒衣服比较方便，若上滑槽距离地面270cm,那么至少调整到多少度？

（参考数据：sinl9.5°=0.33,cos70.5°=0.33,tan70.5°=2.82）

23.（2023•浙江宁波•统考一模）桑梯——登以探桑，它是我国古代劳动人民发明的一

种采桑工具.图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图

如图2所示，已知四=AC=1.6米，AD=L2米，设NB4c=&,为保证安全，a的调

整范围是30。<&<90。.

（1）当》=60。时，若人站在AD的中点E处，求此人离地面（8C）的高度.

⑵在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面的距离范围.（参考数据：sin75°。0.97,

cos75°«0.26,tan75°«3.73,尺1.73,0^1.41，精确到0.1米）

24.（2023•浙江宁波•统考一模）如图①是一把折叠躺椅，其示意图如图②所示，其中DE

平行地面，人们可通过调整/FDE和NDEG的大小来满足不同需求，经测量两支脚

AB=AC=50cm,支点。在AC上且AD=10cm,椅背。尸=80cm,躺椅打开时两支脚

的夹角/BAC=80。.

图①图②

（1）求躺椅打开时两支脚端点B、C之间的距离；

（2）躺椅打开时，调整椅背使N£D尸=140。，求此时椅背的最高点尸到地面的距离.（参

考数据：sin40°»0.64,cos40°«0.77,tan40°«0.84）

通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

25.（2023•浙江嘉兴•统考一模）在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方

安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1）,其中AC为移门的高度，8为遮阳棚固定点，BD为

遮阳棚的宽度（可变动）AB=50cm,AC=210cm,

ZCBD=80°.

小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查

阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳

高度角。最小（约35。）；夏至日正午的太阳高度角。最大（约80。）.请你协助该小组，

完成以下任务：

【任务1］如图2,在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，3。应该不超过多少长

度（结果精确到Qlcm）

【任务2］如图3,有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为180cm,

桌子高度MV=80cm.若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则80应该多

长？（结果精确至iJCUcm.参考数据：sin55°«0.82,cos55°«0.57,tan55°»1.43,

sinl0°«0.17,cosl0°«0.98,tanl0°®0.18,虎=1.41）.

05解直角三角形及其应用大题综合

1.（2023•浙江绍兴•统考一模）某校数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学

知识测量铁塔的高度，他们先在点。处用测角仪测得塔顶8的仰角为65。，再沿CD方向前

行40米到达点A处，在点A处测得塔顶8的仰角为45。，已知测角仪AE高为1.5米.请根

据他们的测量数据，求此塔斯的高.（结果精确到0.1m,参考数据：sin65°«0.91,

【答案】76.6米

［分析］根据题意得到NBDC=65°,AD=40,ABAC=45°,分别在Rt^BCD和RtAACB

中，得到8C=tan65。-CD,BC=AC=tan65°x,据此列出方程，解之可得x,从而求出BC,

再加上CT即可.

【详解】解：由题意可得：NBDC=65。,AD=40,ZBAC=45°,

设CD=x,在RtAiBCD中，8C=tan65°-CD=tan65°x,

在RtAACB中，BC=AC=tan65°x,

由题意列方程得：tan65°x=x+40,

解得：35.09,

BC=tan650r«75.09,

.••塔高为75.09+1.5»76.6米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的判定

与性质、锐角三角函数的定义，熟练掌握以上知识是解答此题的关键.

2.（2023•浙江台州•统考一模）图1是一个太阳能面板，其侧面如图2,点C是A3的中点，

BC=30cm,支架CD可绕点C旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高.若

太阳光与地面夹角为54。，要想吸收光能的效率最高，求A端离地面的高度.（参考数据：

sin54°«0.81,cos540工0.59,tan54°=1.38）

图1图2

【答案】35.4cm

【分析】作于点利用三角函数解即可.

【详解】解：如图，作AELBD于点

由题意知，ZABE=180°-54°-90°=36°,

Z.BAE=90°-ZABE=54°,

•・•点C是AB的中点，5C=30cm,

AB=2BC=60cm,

AE

在RIAAEB中，cos/BAE=——,

AB

AE=AB-cosZBAE=60xcos54°«35.4（cm）,

即A端离地面的高度为35.4cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握三角函数的定义，通过作

辅助线构造直角三角形.

3.（2023•浙江丽水•统考一模）如图1,是一台小型输送机，其示意图如图2所示.已知两

个支架的端点的距离AB=240cm,传输带AE与支架8C所成的角NABC=70。，支架端点A

离地面8的高度AD=15cm,求支架端点5离地面的高度BC.（结果精确到0.1m；参考数

®sin700-0.94,cos700-0.34,tan70°72.75）.

【答案】BC=1.0m

【分析】过点A作AFL3c于点F,可得CF=AD=15cm,在Rt~45/利用三角函数求

出BF,利用3C=b+3尸即可得解.

【详解】解：过点A作A/IBC于点F，可得CF=AD=15cm,

在中，ZAfiF=70°,Afi=240cm

BF=AB-cosNABF«240x0.34=81.6cm

BC=CF+BF=15+81.6=96.6cm=1.0m

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数、矩形的判定和性质等知识，解题

的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型.

4.（2023•浙江台州•统考一模）虎年岁末，台州进入轻轨时代，极大地方便了市民的出行,

如图1是台州市城铁路S1线恩泽医院站出入口的自动扶梯，图2是其截面示意图，已知扶

梯8C与购票厅地面的夹角N3CD=130。，扶梯的长度为12m,求扶梯的底端C距离入口平

台的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin50°»0.77,cos50°«0.64,tan50°«1.19）

AB

【答案】扶梯的底端C距离入口平台AB的高度约为9.2m.

【分析】过点8作5ELCD,交。C的延长线于点E.由题意可求N3CE=50。，再结合锐

角三角函数即可求出BE的长，即扶梯的底端C距离入口平台AB的高度.

【详解】解：如图，过点8作BE,CD,交。C的延长线于点E.

VZBCD=130°,

/BCE=180°-/BCD=50°.

由题意可得3C=12m,

在RaBCE中，BE=SC-sinZBCE=12sin50°«9.2m.

，扶梯的底端C距离入口平台AB的高度约为9.2m.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用.正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键.

5.（2023•浙江台州•统考一模）如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，AC是

可以绕点A旋转的支架，A8是可以绕点B旋转的支架，C为灯泡的位置.量得

AB=10cm,AC=20cm,当NC4B=127。时，求点C到收的距离.（参考数据，

sin37°®0.6,cos37°~0.8,tan37°®0.75)

c

图1

【答案】22cm

【分析】过点C作CDL54交54的延长线于点。，根据解直角三角形的AD长，求出点C

到3厂的距离即可.

【详解】解：过点C作CD，区4交胡的延长线于点£）,

则"=90。，

...ZDCA=ABAC-ZD=127°-90°=37°，

在RtAACD中,

AD=ACxsin/DCA«20x0.6=12cm,

・••点C到BF的距离为D4+AB=12+10=22cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

6.（2023•浙江宁波•统考一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本

形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变-ADC的大小（菱形的边长不变）,

从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.经测量，/ADC可在20。和160。之间发生

变化，（包含20。和160。），AD=40cm.

（1）当/ADC=120。时，求此时8。的长;

（2）当/ADC从20。变为160。时，这个千斤顶升高了多少cm?（sin80°=0.98,cos80°=0.17,

tan80°=5.67）

【答案】（l）40cm

（2）64.8cm

【分析】（1）连接AC交3。于点E,由四边形ABCD是菱形得到ACIBD,AC=2AE,

BD=2DE,ZADB=-ZADC,当ZADC=120。时，ZAD£=60°,由AB=AD得到AADB

2

是等边三角形，则B£>=AT）=40（cm）；

（2）当ZADC=20。时，在Rt^ADE中，ZADB=^ZADC=10°,贝l]AE=6.8,贝ij

AC=2AE=13.6（cm）,当ZADC=160。时，R5ADE中ZAD3=80。，则可得到AE=39.2,

得到AC=2AE=78.4（cm）,即可得到答案

【详解】（1）连接AC交3。于点E,

:四边形ABC。是菱形，AAC1BD,AC=2AE,BD=2DE,ZADB=-ZADC,

2

当ZADC=120。时，ZADE=|ZADC=60°,

又：AB=AD,

AADB是等边三角形，

/.BD=AD=40（cm）；

（2）当Z4DC=20。时，

RtzXADE中，ZADB=-ZADC=10°,ZDAC=90°-ZADB=80°,

2

・・・AE=ADcos80°=40x0.17=6.8,

AC=2AE=13.6（cm）,

当NADC=160。时，

RtZ\ADE中，NADB=|ZADC=80°,

/.AE=ADsin80°=40x0.98=39.2,

/.AC=2AE=78.4（cm）

这个千斤顶升高了78.4—13.6=64.8（cm）,

答：这个千斤顶升高了64.8cm.

【点睛】此题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关

键.

7.（2023•浙江宁波•统考二模）图示为某校园的闸口，其双翼展开时为两个30。圆心角的扇

形，PC=DQ=60cm,C、。处于同一水平线上且距离地面高度为18cm,。水平距离为

（2）为了起到有效的阻隔作用，要求45cm,请通过计算说明该设备的安装是否符合要

求.（参考数据石"73）【答案】⑴70cm

（2）该设备的安装符合要求

【分析】（1）过点A作AM±PC于M点，在中，求出CM的长，即可得出

结果;

(2)作BN，。。于N点，分别求出AM,BN的长，进而求出AB的长，即可得出结论.

【详解】(1)解：过点A作AMLPC于M点.

在RtZVIMC中，AC=PC=60,ZACP=30°.

MC=AC-cos30°=60乂立~~52cm，

2

：C点距离地面的高度为18cm

点距离地面的高度为52+18=70(cm)

(2)解：作于N点，在RtZ^AMC中，AC^PC=6,ZACP=30。.

AM=AC-sin30°=60x|=30(cm).

同理=BD•sin30°=60x1=30(cm).

CD=62(cm)

AB=62-30x2=2(cm)

2cm<5cm该设备的安装符合要求.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用.解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形.

8.(2023•浙江宁波•统考一模)读书架也称临帖架、书托架，可帮助我们解放双手和保护眼

睛，非常适合书法人群和学生使用.图1是实木读书架实物图，图2是其侧面示意图，其工

作原理是通过调节点。在CE上的位置，来改变的倾斜角度.己知A3=30cm,

AD=20cm,当点。调节到图2位置时，测得NABE=65。，ZCAD=50°,"£6=30。.

(1)求点A到BE的距离.

(2)求DE的长.(参考数据：sin65°~0.91,cos65°~0.42,tan65°«2.14)

【答案】⑴27.3(cm)

(2)18.2(cm)

【分析】(1)如图，过点人作„助于点尸，解尸，即可求解；

(2)延长AD交3E于点G,过点。作于点H.根据已知得出NABG=NAGB,

进而得出AG=至=30cm,在RtADHG中，求得DH,在RtADHE中，根据含30度角的直

角三角形的性质，即可求解.

【详解】(1)解：如图，过点A作”XBE于点尸.

在RMAB尸中，ZABF=65°,

AF=AB-sinZABF«30x0.91=27.3(cm).

A

BFHGE

（2）延长AO交5E于点G,过点。作石于点H.・・・NABG=65。，ZCAD=50°,

ZAGB=180。—ZABG-ACAD=65°.

，ZABG=ZAGB.

AG=AB=30cm.

DG=AG-AD=30-20=10（cm）.

在中，DH=DG-sinZDGH®10x0.91=9.l（cm）.

在RtADHE中，•••ZDEB=30°

z.。石=2DH=2x9.1=18.2（cm）.

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键.

9.（2023•浙江绍兴•统考一模）某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块固定

于水平木板上，（9B=50cm,将木板绕一端点。旋转40。至W（即/MOM'=40。）

（如图为该操作的截面示意图）.

⑴求点C到C'竖直方向上升高度（即过点C,C'水平线之间的距离）;

⑵求点。到次竖直方向上升高度（即过点£>,次水平线之间的距离）.

(参考数据：sin40°«0.64,cos400®0.77,tan40°«0.84,(1)(2)题中结果精确到个位)

【答案】(l)38cm

(2)36cm

【分析】(1)过点C作C'ELOW,在RtAC'OE中，利用锐角三角函数求出C'E的长度即

可.

(2)过点M作D'FLC'E,交EC的延长线于点尸，设C'E交AD于点H,分别求出C'F,C'H

的长，即可得出结果.

【详解】(1)解：过点C'作C'ELOM于点E,

:正方体木块的棱长为10cm,OB=50cm,

OC=OB+BC=60cm,

:旋转，

OC=OC=60cm,

在RMC'OE中，C'E=OC'•sin40°=60x0.64«38cm；

..•点c到C竖直方向上升高度为38cm；

(2)过点。，作。交EC的延长线于点/，设C'E交AD于点H

则：四边形A/7EB矩形，HE=AS=10cm,

D'

;旋转,

：.C'D'=10cm,ND'C'B'=90°,

ZD'CF=90°-NOC'E=ZC'OC=40°,

在RtAZXFC'中，C'V=CD'-cos40°g10x0.77=7.7cm,

/.FH=C'F+（CE-HE）»7.7+38-10®36cm；

...点D到DC竖直方向上升高度为36cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用.解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形.

10.（2023•浙江宁波•统考一模）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置

的示意图.A2是缓降器的底板，压柄BC可以绕着点2旋转，液压伸缩连接杆DE的端点

D、E分别固定在压柄BC与底板上，已知

（1）如图2,当压柄8c与底座AB垂直时，NDEB约为22.6。,求&）的长；

（2）现将压柄8C从图2的位置旋转到与A3成37。角（即NABC=37。），如图3的所示，求

此时液压伸缩连接杆DE的长.（结果保留根号）

5p5343

(参考数据：sin22.6°«—,cos22.6°»—,tan22.6°»—；sin37°«cos37°®,tan370®-)

「'''131312554

【答案】（l）5cm

（2）773cm

【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案；

（2）过点。作。垂足为在RtZXB。”中，根据三角函数解直角三角形求出

班的值，根据段=班—求出的长度，然后根据勾股定理可得DE的长度.

【详解】（1）解：在RL^BDE中，BD=BEtanABED=12xtan22.6°»12x-^=5,

答：此时BD的长约为5cm；

（2）过点。作垂足为a,

在RtABDH中，BH=BDcosNDBE=5cos37°®4,

DH=BD-sinZDBE=5sin37°«3,

EH=BE—BH=12—4=8,

在RtZsZ）瓦/中，DE=\lDH2+EH2=773>

答：此时液压伸缩连接杆OE的长约为"cm.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以

及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键.

11.（2023•浙江温州•模拟预测）如图为某学校安装的红外线体温检测仪（如图1）,该设备

通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点。可以

在垂直于地面的支杆。尸上下调节（如图2）,已知探测最大角Q0BC）为58.0°,探测最

小角(ZOAC)为26.6°.

p

图1图2

(1)若该设备的安装高度OC为L6米时，求测温区域的宽度A2.

(2)该校要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC.(结

果精确到0.01米，参考数据：sin58.0°«0.85,cos58.0°q0.53,tan58.0°«1.60,

sin26.6°«0.45,cos26.6°«0.89，tan26.6°«0.50）

【答案】(1)2.2米

（2）1.84米

【分析】(1)根据题意可得OC，AC,ZOBC=58.0°,NQ4C=26.6。，OC=1.6米，利

用锐角三角函数列式计算即可;

(2)根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可.

【详解】(1)根据题意可知:

OC±AC,NO8C=58.0°,NOAC=26.6°,OC=L6米,

OC1.61.6

在RtZXOBC中，BC=--------«------=1.00（米），

tanZOBCtan58.0°1.60

OC1.61.6

在RWAC中，AC=--------H------=3.20（米），

tanZOACtan26.6°0.50

;.AB=AC—3。=3.2—1=2.20（米）.

答：测温区域的宽度A3为2.2米;

(2)根据题意可知:

AC=AB+BC=2.53+BC,

OC

在RtZXOBC中，BC=

.-.(9C=1.60BC,在RMQ4c中，OC=AC-tanZOAC~(2.53+BQx0.50,

.-.1.60BC=（2.53+BC）x0.50,

解得3c=1.15米，

,OC=L605C=1.84（米）.

答：该设备的安装高度OC约为L84米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程.

12.（2023•浙江舟山•统考一模）如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，AC是

可以绕点A旋转的支架,点C为灯泡的位置，灯罩可绕点C旋转.量得Afi=10cm,AC=20cm,

此时ZAB产=37。，且CEJ_DE.

（1）当NA=90。，CDLAC时（图2）,求灯泡C所在的高度；

⑵在（1）的条件下，旋转支架AC（A3固定）.当—A从90。变成57。（图3）时，且ZDCE

的度数不变，C'E'ID'E',求座-DE的值.（结果精确到0.1,参考数据：sin37°«0.60,

cos37°®0.80,tan37°®0.75,sin20°®0.34,cos20°«0.94,tan20°®0.36）

图3

【答案】（1）灯泡C所在的高度为22cm；

⑵12.3cm.

【分析】（1）过点A作ANLDR于N,40，。£于对，利用直角三角形求出4V,CM的

长度即可求解；

（2）由（1）可知，CE=22cm,Z.CDE=AC'D'E'=2>T,过点A作于Q,AP±C'E'

于尸，同（1）方法相同，求出C'E,进而求出DE,DE即可求解.

【详解】（1）解：过点A作4V_LDF于N,AM_LCE于Af,

•/CELDE,

四边形4VEM为矩形，

则NM4N=90°,AN=ME,

在Rt^ABN中，；NAB尸=37°,AB=10cm,

ZBAN=53°,ME=AN=ABsinZABF=10x0.6=6cm,

则NBAM=37。，

:ZSAC=90°,

NM4c=53°,贝lJZACM=37°,

CM=AC-cosZACM=20x0.8=16cm,

...灯泡C所在的高度为：CM+ME=16+6=22cm；

即：灯泡C所在的高度为22cm；

(2)由(1)可知，ZACM=37。,CDLAC,CE=CM+ME=\6+6=22cm

CF

：.ZDCE=53°,则NCDE=37。，DE=------------,

tanZCDE

当—A从90。变成57。时，且ZD'C'E'的度数不变,

则NCDE=37。，过点A作A。，。尸于Q,AP_LCE于尸,

•."C'E'LD'E',

四边形AQEP为矩形，贝I]A尸〃EQ,AQ=PE',

：.ZBAP=ZABF=3T,

•.*ABAC=ST,

：.ZPAC=20°,在RSAB。中，CP=AC-sinZPAC',

在RtAABQ中，；ZAB尸=37。，AB=10cm,

/.ZBAQ=53°,PE'=AQ=ABsinZABF,

：.C'E'=CP+PE'=AC-sinZPAC+ABsinZABF=20sin20°+lOsin37°；

C'E'

则D'E'=

XanAC'D'E'

CECE

DE-D'E'=

tanZ.CDEtan"'。®

1

(22-20.sin20。-10.sin37°)

tan37°

=12.3cm

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程.

13.（2023•浙江宁波•校考一模）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm,BC为

支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为50cm,DE为悬杆，支杆BC与悬杆DE之间的夹角

N3CD为60°.

(1)如图2,当支杆8C与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为100cm,求。的长；

(2)在图2所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转20。，如图3,求此时灯泡悬挂点。

到地面的距离.(结果精确到1cm,参考数据：sin200~0.34,cos200~0.94,tan20°«0.36,

sin40°»0.64,cos40°®0.77,tan40°q0.84)

【答案】⑴CD的长为40cm

(2)此时灯泡悬挂点D到地面的距离为86cm.

【分析】(1)过点£＞作OGLAC于点G,过点。作与于点R从而可求出CG的长

度，然后利用锐角三角函数的定义即可求出答案.

(2)过点。作于点尸,过点C作厂于点过点。作于点

过点8作BN1.C”于点N,从而可知四边形和四边形物巴4是矩形，利用锐角三角

函数的定义可求出QV,CH,CM,MH的长度即可求出答案.

【详解】(1)过点。作OGLAC于点G,过点。作。尸，AF于点E

四边形GDE4是矩形，

/.G4=r）F=100（cm）,

•.*CA=CB+BA,

AC4=50+70=120（cm）,

/.CG=CA-DF=n0-100=20（cm）,

/BCD=60°,

ZCDG=30°,

/.CD=2CG=40(cm),

答：8的长为40cm；

(2)过点。作AF于点F,过点C作C”，AF于点H,过点。作DM，C”于点M,

过点B作BNLC”于点M,

，四边形MDFH和四边形BNHA是矩形，

由题意可知：ZBCN^2Q0,/BCD=60。,Z.ZMCD=60°-20°=40°,

在Rt&BCN中，

cos/BCN=cos20°=,

BC

CN=BCcos20°®50x0.94»47(cm),

/.CH=CN+NH=CN+AB^47+10=117(cm),

在RtZiCDM中，

cosZMCD=cos40°=—,

CD

：.CM=CDcos40°~40x0.77~31(cm),

MH=CH-CM=117-31=86(cm),

答：此时灯泡悬挂点D到地面的距离为86cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义.

14.(2023•浙江宁波•统考一模)如图，从点。处观测楼房A3的楼顶端点8的仰角为63。,

从点。处沿着直线AD直走18m到达点E,从点E处观测楼顶端点8的仰角为35。，观测广

告牌端点C的仰角为38。，求楼房AB的高度和广告牌BC的高度(结果精确到0.1m；参考

数据：sin35°“0.57,cos35°«0.82,tan350~0.70,sin38°«0.62,cos38°«0.79,

tan38°®0.78,sin63°«0.89,cos63°«0.45,tan63°®1.96).

□□□

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【答案】楼房A3的高度为19.6m,广告牌BC的高度为2.2m

【分析】设AD=x(m),利用正切定义，表示出A3和AE的长，根据AO+DE=钻，列

方程求出AB和AE的长，在RSACE中，利用正切定义求出AC的长，根据3C=AC-AB,

可求出广告牌的高度.

【详解】解：由题意，得/AD3=63。，NAEB=35°,设AD=x(m),则

1丫

AB=xtan63°«1.96x(m),AE=—:------«2.8x(m).

tan35°