专题06利用导数进行不等式恒成立证明-2020-2021学年高二数学导数知识题型全归纳（人教A版选修2-2）

导数章节知识题型全归纳专题06利用导数进行不等式恒成立证明例：1．已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【分析】（1）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；（2）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证.【详解】解：（1）当时，由已知得，所以，令得，即时，；时，；故单调递增区间为，单调递减区间为；（2），由得，所以在单调递减，设从而对任意，恒有，即，令，则等价于在单调递减，即恒成立，从而恒成立，故设，则，当时，为减函数，时，，为增函数.∴,∴a的取值范围为.【点晴】方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证．2．已知函数，.（1）设时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由切点处导数的几何意义求切线斜率，并由函数解析式求切点坐标，写出切线方程即可.（2）由题设得当时，；设，利用导数研究单调性，即可证结论.【详解】解：（1）当时，，，，，则曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，设，，设，知其在上单调递增，且，当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增，，即.【点睛】关键点点睛：（1）根据导数的几何意义求切点处的切线方程.（2）利用导数研究在不同区间的单调性，其中注意构造中间函数研究单调性及其最小值，进而确定.3．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求得，由，结合，得到或，分类讨论结合导数的符号，即可求解；（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，根据，转化为在上恒成立，再结合，转化为，设，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得其定义域为，且.令，即，由，解得或①若，则，所以在上单调递增，②若，此时，在上恒成立，所以在上单调递增.③若，此时，方程的两根为，且，，所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增.综上所述；若，在上单调递增﹔若，在，上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知当时，函数在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，下面证，即证，设，可得，设，可得在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即当时，.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.变式1．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）对任意，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求导，分和，分别令，求解；（2）将不等式，转化为，令，用导数法证明即可．【详解】解：（1）由题意得的定义域是，，当时，恒成立，在单调递增，当时，令，解得，令，解得：，在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：要证，即证，令，则，令，则，由在单调递增，且，，存在唯一的实数，使得，在上单调递减，在上单调递增，，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，综上，，即．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式．2．已知，函数（1）若，求的取值范围；（2）记（其中）为在上的两个零点，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）求导，对参数分类讨论，根据单调区间，使最小值大于等于0，即可求得参数范围.（2）先由函数有2个零点求出参数范围及两个零点的区间范围，然后构造新函数，利用函数单调性证明不等式，对于，方法一利用放缩法证明，方法二找到与的关系，利用不等式的传递性证得.【详解】（1）解析：（ⅰ）当时，在上单调递增，又符合条件，（ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增，（ⅲ）当时，在上单调递增，当时，，不符合条件，综上可得：（2）令，则．记，由于，故在及上单调递减，在上单调递增．且当时，；当时，；当时，，当时，．根据题意及图像可知：．解法一：先证：令，，当时，，单增，即，则；再证：只须证：只须证：即证：，令，，则，，单增，，，单减，则，即只须证：又解法二：先证：，证明同解法一；再证：．由于，故，化简得：，所以，即．【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调区间，从而求得最值问题，构造新函数，利用导数证明不等式，在证明不等式过程中借助放缩法，基本不等式性质进行证明.3．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（2）构造函数F（x）=f（x）x+1，先求出函F（x）的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）通过讨论k的范围，结合函数的单调性求解即可试题解析：（1）得.得，解得故的单调递增区间是（2）令,则有当时，所以在上单调递减，故当时，，即当时，（3）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意．当时，对于，有则从而不存在满足题意．当时，令，由得，．解得当时，，故在内单调递增．从而当，即综上吗，k的取值范围是考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用6.1与ex和lnx例：1．已知函数．（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：．【解析】解：（Ⅰ），是函数的极值点，即，所以．（2分）于是函数，，由，可得，因此，当时，；当时，，所以，函数在上单调递减，在上单调递增．（6分）（Ⅱ）当时，对于任意，恒成立，又，恒成立，，即，．即．2．已知函数．（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：．【解析】解：（Ⅰ），，，是函数的极值点，（1），解得．，定义域为，，，是的唯一零点，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．（Ⅱ）证明：当，时，，又，．取函数，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）．，而上式三个不等号不能同时成立，故．3．已知函数．（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：．【解析】（Ⅰ）解：，，由是函数的极值点得（1），即，．于是，，由知在上单调递增，且（1），是的唯一零点．因此，当时，，递减；时，，递增，函数在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）证明：当，时，，又，．取函数，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）．，而上式三个不等号不能同时成立，故．6.2数列型不等式证明：例：1.已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若，证明：．【解析】解：（1），，令，得．当时，，当时，．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．当时，有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．令，，2，，则，．即．，．，．2.已知函数，其中为实常数．（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；（2）证明：当时，；（3）求证：．【解析】解：（1）由题意则即在，上单调递增，，，；（2）即证，，，设，在，上单调递减，，，，；（3）利用，，，令，得：，，，，累加得：，当时，；变式：1已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）求证：【解析】解：（1）因为函数，其定义域为所以即当时，增区间为；当时，减区间为，增区间为，（2）当时，函数增区间为，此时不满足在上恒成立；当时，函数减区间为，增区间为，，要使在上恒成立，只需即可，即，令（a）则（a），解得，因此（a）在单调递增，在上单调递减，所以当时，（a）取最大值0，故在上恒成立，当且仅当时成立，即；（3）由（2）知，令时，令，则综上成立．2.已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）求证：对任意的且，都有：．（其中为自然对数的底数）．【解析】解：（1）函数的定义域为，，①当时，，所以在上单调递增，②当时，令，解得．当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，要证明，即证，即．即．设则，令得，．当时，，当时，．所以为极大值点，也为最大值点所以（1），即．故．（3）证明：由（2），（当且仅当时等号成立）令，则，所以，即，所以6.3洛必达法则方法介绍：例：1.若不等式对于恒成立，则的取值范围是.法一：设，问题转化为对于恒成立，因为，所以当，则，因此在上递减，所以，得，矛盾，舍；当，，因此在上递增，所以，恒成立，所以；当，，使，又在递增，所以，当时，，因此在递减，所以当时，，矛盾，舍。综上，的取值范围是。法二：应用洛必达法则和导数当时，原不等式等价于.记，则.且时，，所以.因此在上单调递减..所以.法三：作图。2.已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，，求的取值范围.解：（1）因为，所以由在处取极值，得，求得，所以.（2）应用洛必达法则和导数当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递增，所以.由洛必达法则有：，即当时，，所以，即有.综上所述，当，时，成立.通过本题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：（1）可以分离变量；（2）用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；（3）出现“”型式子.变式：1.已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】解：(1),；函数在处取得极值，；又曲线在点处的切线与直线垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化为，即；当时，恒成立；当时，恒成立，令，则；令，则；令，则；得在是减函数，故，进而（或，，得在是减函数，进而）．可得：，故，所以在是减函数，而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．用洛必达法则得到了正确答案．2.设函数=；（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求a的取值范围.【答案】解：（1）易得，.（2）方法一：分类讨论、假设反证法由（1）知，所以.考虑函数，则.(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，，可得；当时，，可得，从而当且时，，即；（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.6.4拉格朗日中值定理方法介绍：例：1.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明:若,则对任意,,有【解析】：（1）,,取决于分子,开口向上的抛物线,两根为:1,;讨论两根的大小.=1\*romani.若,两根相等:,单调递增;=2\*romanii.若,,单调递减,单调递增;=3\*romaniii.若,,单调递减,单调递增;（2）法一:设,只需证:,即,构造函数,只需证明在上单调递增，,,,即在单调递增,当时,,即,,同理当时,.法二:由拉格朗日中值中定值可知存在,使,,,设,,则,即2.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设,如果对任意,,求的取值范围.【解析】：（1）,,=1\*romani.当时,,在单调递增;=2\*romanii.当时,,在单调递减;=3\*romaniii.当时,由得,在单调递增,在单调递减.（2）法一:不妨设,而当时,由（1）可知在单调递减,从而,等价于,.构造函数,只需在单调递减,即在恒成立,分离变量法:,只需.法二:由拉格朗日定理知,,等价于,在存在,使得成立,只需恒成立,只需,得或(舍去).变式；1．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点为，且，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接求切线斜率及切线方程即可；（2）先由极值点得到，把不等式可化为，令，定义利用导数讨论单调性，求出最大值即可.【详解】（1）当时，，.因为，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2），因为有两个极值点为，所以关于x的方程有两正根，且，解得：.由可得：，同理：，所以不等式可化为：，把代入，则有：因为，且，所以，所以上式可化为：，即只需因为，所以令，则，记，则，设，则，所以单增，当时，有，则，所以单减，，即所以，所以b的范围是.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.2．已知函数，.（1）求的极值点；（2）若，证明：对任意，且，有.【答案】（1）函数有极小值点，无极大值点；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）首先根据（1）证明，再证明，即可证明，当且仅当时等号成立，令，求出函数的导数，结合，得到在上为增函数，从而证明结论成立.【详解】（1）∵，∴，由，得，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增，故函数有极小值点，无极大值点；（2）证明：当时，，由（1）可知，故，当且仅当时等号成立，又，当时，，，故，当时，，当时，，，故，故时，，当且仅当时等号成立，故成立，当且仅当时等号成立，令，则，∵，∴，∴，∵在的任意子区间内不恒为0，∴在上为增函数，不妨设，则，故，故